Akar-Akar Dan Faktor Persamaan Suku Banyak

Posted on

         Pondok Soal.com – Artikel kali ini akan membahas bahan Akar-akar dan Faktor Persamaan Suku Banyak. Untuk memilih akar-akar persamaan suku kaya, kita akan memakai bagan horner yang sanggup kita pelajari pada bahan “Menentukan Nilai Suku Banyak” dan “Operasi Pembagian Suku Banyak“. Akar-akar dan Faktor Persamaan Suku Banyak tentu ada kaitannya dengan teorema faktor yang ada pada bahan “Teorema Sisa dan Teorema Faktor pada Suku Banyak“.

Pengertian Akar-akar Persamaan Suku Banyak
       Jika diketahui suatu suku kaya $ f(x) \, $ dan ($x – a$) merupakan faktor dari $ f(x) $, maka $ a \, $ merupakan akar dari persamaan $ f(x) \, $ yang memenuhi $ f(a) = 0 $.

Contoh soal akar-akar persamaan suku kaya :
1). Apakah 1 dan $ \, -1 \, $ merupakan akar dari persamaan suku kaya $ 2x^5 – 3x^2 + 2x – 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Misalkan suku kayanya $ f(x) = 2x^5 – 3x^2 + 2x – 1 \, $
*). Kita substitusi $ x = 1 \, $ dan $ x = -1 \, $ ke $ f(x) $.
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) & = 2x^5 – 3x^2 + 2x – 1 \\ f(1) & = 2.1^5 – 3.1^2 + 2.1 – 1 \\ & = 2 – 3 + 2 – 1 \\ & = 0 \\ x = -1 \rightarrow f(x) & = 2x^5 – 3x^2 + 2x – 1 \\ f(-1) & = 2.(-1)^5 – 3.(-1)^2 + 2.(-1) – 1 \\ & = 2.(-1) – 3.(1) – 2 – 1 \\ & = -2 – 3 – 2 – 1 \\ & = -8 \end{align} $
*). Kita peroleh :
$ f(1) = 0 \, $ artinya $ x = 1 \, $ merupakan akar dari suku kayanya.
Karena $ x = 1 \, $ merupakan akarnya, maka $ x = 1 \rightarrow x – 1 = 0 \, $ atau ($x – 1$) merupakan faktor dari $ f(x) $.
$ f(-1) = -8 \, $ artinya $ x = -1 \, $ bukan akar dari suku kayanya lantaran $ f(-1) \neq 0 $ .

Cara Menentukan Akar-akar dan faktor Persamaan Suku Banyak
Misalkan ada persamaan suku kaya
$ ax^n + cx^{n-1} + c_1x^{n-2} + … +c_{n-1}x + b = 0 \, $
Langkah-langkah memilih akar-akarnya :
(i). Menentukan akar-akar Rasional yang cukup diperoleh dari pembagian faktor $ b \, $ dan faktor $ a \, $ atau $ \, \frac{ \text{faktor } b }{\text{faktor } a} $. Jika nilai $ a = 1 \, $ maka akar-akar yang cukup hanya ditentukan oleh faktor dari $ b \, $ saja.
(ii). Dari akar-akar yang cukup tersebut, kita substitusi ke bentuk suku kayanya, apabila alhasil merupakan nol maka bilangan tersebut merupakan akar pertamanya.
(iii). Dari akar pertamanya tersebut, kita gunakan bagan Horner untuk memilih hasil pembagiannya.

Contoh Soal memilih akar-akarnya :
2). Tentukan akar-akar dan faktor dari persamaan suku kaya $ \, x^3 + 2x^2 – 5x – 6 = 0 $.
Penyelesaian :
*). Suku kayanya : $ f(x) = x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \, $.
*). Akar-akar yang cukup merupakan dari faktor dari $ – 6 \, $ adalah $ \{ \pm 1 , \, \pm 2, \, \pm 3, \, \pm 6 \} $.
Faktor disini maksudnya merupakan pembaginya.
*). Kita akan substitusi akar-akar yang cukup $ \{ \pm 1 , \, \pm 2, \, \pm 3, \, \pm 6 \} $ ke suku kayanya.
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \\ f(1) & = 1^3 + 2.1^2 – 5.1 – 6 \\ f(1) & = 1 + 2 – 5 – 6 = – 8 \\ x = -1 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \\ f(-1) & = (-1)^3 + 2(-1)^2 – 5.(-1) – 6 \\ f(-1) & = -1 + 2 + 5 – 6 = 0 \end{align} $
Karena $ f(-1) = 0 \, $ maka $ x = -1 \, $ merupakan akar pertamanya.
*). Kita gunakan bagan Horner :
Suku kayanya : $ f(x) = x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \, $ koefisiennya $ 1, \, 2, \, -5, \, -6 $
Akarnya : $ x = -1 \, $ atau faktornya ($x + 1$).

Hasilnya merupakan $ x^2 + x – 6 \, $ . Artinya bentuk suku kaya $ x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \, $ sanggup difaktorkan menjadi
$ \begin{align} x^3 + 2x^2 – 5x – 6 & = 0 \\ (x^2 + x – 6)(x+1) & = 0 \\ (x-2)(x+3)(x+1) & = 0 \end{align} $
Sesampai lalu faktor-faktor dari $ x^3 + 2x^2 – 5x – 6 = 0 \, $ merupakan $ \, (x – 2), \, (x + 3) , \, $ dan $ \, (x + 1) $.
*). Menentukan akar-akarnya :
Faktor pertama : $ (x – 2) = 0 \rightarrow x = 2 $
Faktor kedua : $ (x + 3) = 0 \rightarrow x = -3 $
Faktor ketiga : $ (x + 1) = 0 \rightarrow x = -1 $
Jadi, akar-akarnya merupakan $ \{ -3, \, -2, \, 2 \} $.

Baca Juga:   Pengertian Suku Banyak Dan Operasinya

Catatan :
*). Bentuk persamaan kuadrat sanggup eksklusif difaktorkan apabila memang sanggup difaktorkan.
*). Bentuk $ x^2 + x – 6 = (x-2)(x+3) \, $
*). Untuk pemfaktoran bentuk persamaan kuadrat, silahkan baca pada artikel “Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat“.

3). Jika ($ x + 1$) merupakan salah satu faktor dari $ 2x^3 – 3x^2+ px + 2 = 0 \, $, maka tentukan faktor-faktor lainnya.
Penyelesaian :
*). Misal suku kayanya : $ f(x) = 2x^3 – 3x^2+ px + 2 \, $.
*). Menentukan nilai $ p $,
Karena ($ x + 1$) merupakan faktor dari $ f(x) \, $ maka $ f(-1) = 0 $.
$ \begin{align} f(x) & = 2x^3 – 3x^2+ px + 2 \\ f(-1) & = 0 \\ 2(-1)^3 – 3(-1)^2+ p(-1) + 2 & = 0 \\ -2 – 3 -p + 2 & = 0 \\ – 3 -p & = 0 \\ p & = -3 \end{align} $
Sesampai lalu suku kayanya menjadi : $ f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 3x + 2 $
*). Memfaktorkan suku kaya dengan bagan horner :
Suku kayanya : $ f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 3x + 2 \, $ koefisiennya $ 2, \, -3, \, -3, \, 2 $
Faktornya ($x + 1$), sesampai lalu akarnya : $ x + 1 = 0 \rightarrow x = -1 $.

Hasilnya merupakan $ 2x^2 – 5x + 2 \, $ . Artinya bentuk suku kaya $ 2x^3 – 3x^2 – 3x + 2 \, $ sanggup difaktorkan menjadi
$ \begin{align} 2x^3 – 3x^2 – 3x + 2 & = 0 \\ (2x^2 – 5x + 2)(x+1) & = 0 \\ (2x-1)(x-2)(x+1) & = 0 \end{align} $
Sesampai lalu faktor-faktor dari $ 2x^3 – 3x^2 – 3x + 2 = 0 \, $ merupakan $ \, (2x – 1), \, (x – 2) , \, $ dan $ \, (x + 1) $.
Jadi, faktor-faktor lainnya merupakan $ \, (2x – 1), \, $ dan $ \, (x – 2) $ .

Operasi Akar-akar Persamaan Suku Banyak
       Berikut akan kita bahas operasi akar-akar persamaan suku kaya, maksudnya kita akan bahas rumus-rumusnya tanpa memilih akar-akarnya terlebih dahulu.

Baca Juga:   Operasi Pembagian Suku Banyak

Rumus-rumus operasi akar-akar :
*). Suku kaya berderajat 2 : $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, \, x_2 $
penjumlahan satu-satu : $ x_1 + x_2 = – \frac{b}{a} $
penjumlahan dua-dua : $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
*). Suku kaya berderajat 3 : $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, \, x_2, \, x_3 $
penjumlahan satu-satu : $ x_1 + x_2 + x_3 = – \frac{b}{a} $
penjumlahan dua-dua : $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a} $
penjumlahan tiga-tiga : $ x_1. x_2.x_3 = – \frac{d}{a} $
*). Suku kaya berderajat 4 : $ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, x_2, x_3, x_4 $
penjumlahan satu-satu : $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = – \frac{b}{a} $
penjumlahan dua-dua :
$ x_1. x_2 + x_1.x_3 + x_1.x_4 + x_2.x_3 + x_2.x_4 + x_3.x_4 = \frac{c}{a} $
penjumlahan tiga-tiga :
$ x_1. x_2.x_3 + x_2. x_3.x_4 + x_3. x_4.x_1 + x_4. x_1.x_2 = – \frac{d}{a} $
penjumlahan empat-empat : $ x_1. x_2.x_3 .x_4 = \frac{e}{a} $

Berlaku juga untuk suku kaya berderajat lebih dari 4, dengan pola rumus yang hampir mirip.

Contoh soal operasi akar-akar persamaan suku kaya :
4). Diketahui persamaan suku kaya $ x^3 – 2x^2 + 5x + 1 = 0 \, $ dengan akar-akar $ \, x_1, x_2, x_3 $.
Tentukan nilai :
a). $ x_1 + x_2 + x_3 $
b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 $
c). $ x_1. x_2.x_3 $
Penyelesaian :
*). Untuk penyelesaian soal-soal ini, kita tak perlu memilih akar-akarnya terlebih dahulu, eksklusif saja kita gunakan rumus-rumus operasi akar-akar.
*). Menentukan koefisiennya : $ x^3 – 2x^2 + 5x + 1 = 0 \, $ maka $ a = 1, b = -2, c = 5, d = 1 $.
a). $ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = – \frac{-2}{1} = 2 $
b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5 $
c). $ x_1. x_2.x_3 = – \frac{d}{a} = -\frac{1}{1} = – 1 $

5). Jika 2 merupakan salah satu akar persamaan $ \, 2x^4 – 6x^3 + px – 1 = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1, x_2, x_3, x_4 $ , maka tentukan jumlah akar-akarnya.
Penyelesaian :
*). Kita tak perlu memilih nilai $ \, p \, $ terlebih dahulu, namun eksklusif memakai operasi akar-akarnya.
*). Menentukan koefisiennya : $ 2x^4 – 6x^3 + px – 1 = 0 \rightarrow a = 2, b = -6, c = 0, d = p, e = -1 $.
$ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = – \frac{b}{a} = – \frac{-6}{2} = 3 $
Jadi, jumlah akar-akarnya merupakan 3.

5). Diketahui -2 dan 3 merupakan akar-akar dari persamaan $ x^5 – 2x^3 + mx^2 + nx – 12 = 0 \, $ . Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar lainnya.
Penyelesaian :
*). Misalkan akar-akar dari persamaan merupakan $ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \, $ dengan $ x_1 = -2, x_2 = 3 $
*). $ x^5 – 2x^3 + mx^2 + nx – 12 = 0 \rightarrow a = 1, b = 0, c = -2, d = m, e = n, f = -12 $.
*). Karena yang diketahui merupakan $ x_1 = -2 \, $ dan $ x_2 = 3 \, $ , maka pertanyaannya :
Jumlah akar-akar lainnya merupakan $ x_3 + x_ 4 + x_ 5 $
Hasil kali akar-akar lainnya merupakan $ x_3 . x_ 4 . x_ 5 $
*). Kita tak perlu memilih semua akar-akarnya terlebih dahulu, namun eksklusif memakai rumus operasi akar-akarnya.
Jumlah akar-akar lainnya merupakan $ x_3 + x_ 4 + x_ 5 $
$ \begin{align} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_ 5 & = – \frac{b}{a} \\ (-2) + 3 + x_3 + x_4 + x_ 5 & = – \frac{0}{1} \\ 1 + x_3 + x_4 + x_ 5 & = 0 \\ x_3 + x_4 + x_ 5 & = -1 \end{align} $
Hasil kali akar-akar lainnya merupakan $ x_3 . x_ 4 . x_ 5 $
$ \begin{align} x_1 . x_2 . x_3 . x_4 . x_ 5 & = – \frac{f}{a} \\ (-2) . 3 . x_3 . x_4 . x_ 5 & = – \frac{-12}{1} \\ (-6) . x_3 . x_4 . x_ 5 & = 12 \\ x_3 . x_4 . x_ 5 & = \frac{12 }{-6} = -2 \end{align} $
Jadi, jumlah akar-akar lainnya merupakan $ -1 $ dan hasil kali akar-akar lainnya merupakan $ -2 $.

Baca Juga:   Menentukan Nilai Suku Banyak

6). Diketahui $ x_1, x_2 $, dan $ x_3 $ merupakan akar-akar persamaan $ 2x^3 – mx^2 – 18x + 36 = 0 $.
Tentukan: a). $ x_1 + x_2 + x_3 $
b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 $
c). $ x_1. x_2.x_3 $
d). nilai $ m \, $ dan akar-akarnya apabila $ x_2 \, $ merupakan lawan dari $ x_1 $.
Penyelesaian :
*). Menentukan koefisiennya :
$ 2x^3 – mx^2 – 18x + 36 = 0 \, $ maka $ a = 2, b = -m, c = -18, d = 36 $.
a). $ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = – \frac{-m}{2} = \frac{m}{2} \, $ ….pers(i).
b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a} = \frac{-18}{2} = -9 \, $ ….pers(ii).
c). $ x_1. x_2.x_3 = – \frac{d}{a} = -\frac{36}{2} = – 18 \, $ ….pers(iii).

d). $ x_2 \, $ merupakan lawan dari $ x_1 \, $ maksudnya $ x_2 = -x_1 $.
dari pers(i) :
$ \begin{align} x_1 + x_2 + x_3 & = \frac{m}{2} \\ x_1 + (-x_1) + x_3 & = \frac{m}{2} \\ x_3 & = \frac{m}{2} \\ m & = 2x_3 \end{align} $
dari pers(ii) :
$ \begin{align} x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 & = -9 \\ x_1. (-x_1) + (-x_1).x_3 + x_1.x_3 & = -9 \\ -x_1^2 – x_1.x_3 + x_1.x_3 & = -9 \\ -x_1^2 & = -9 \\ x_1^2 & = 9 \\ x_1 & = \pm \sqrt{9} \\ x_1 & = \pm 3 \end{align} $
*). Menentukan akar-akar dan nilai $ m \, $ dari $ x_2 = -x_1, \, m = 2x_3, \, x_1 = \pm 3 $ .
*). Untuk $ x_ 1 = 3 , \, $ maka $ x_2 = -x_1 = -3 $.
pers(iii) :
$ x_1. x_2.x_3 = -18 \rightarrow 3. (-3). x_3 = -18 \rightarrow x_3 = 2 $.
$ m = 2x_3 = 2. 2 = 4 $.
Sesampai lalu nilai $ m = 4, x_1 = 3, x_2 = -3, x_3 = 2 $
*). Untuk $ x_ 1 = -3 , \, $ maka $ x_2 = -x_1 = -(-3) = 3 $.
pers(iii) :
$ x_1. x_2.x_3 = -18 \rightarrow (-3). 3. x_3 = -18 \rightarrow x_3 = 2 $.
$ m = 2x_3 = 2. 2 = 4 $.
Sesampai lalu nilai $ m = 4, x_1 = -3, x_2 = 3, x_3 = 2 $
Jadi, ada dua jenis nilai akar-akar yang kita peroleh.