Anuitas Dan Angsuran Matematika Keuangan

Posted on

         Pondok Soal.com – Misalkan kita akan membeli sesuatu dengan cara mencicil (mengangsur) melalui suatu forum keuangan ibarat bank, berapakah besarnya cicilan yang harus kita bayarkan setiap bulannya? Setelah mencicil $ n $ kali, berapakah sisa proteksi kita? Semua ini akan kita dibahas dalam bahan Anuitas. Pada artikel ini kita akan membahas bahan Anuitas dan Angsuran Matematika Keuangan.

         Anuitas merupakan sejumlah pembayaran proteksi yang sama besarnya yang dibayarkan setiap jangka waktu tertentu, dan terdiri atas bab bunga dan bab angsuran. Sesampai kemudian sanggup kita tuliskan :
         Anuitas = angsuran + bunga atau $ A = a_n + b_n $
dengan $ n \, $ bilangan asli.

         Dari rumus anuitas ini, artinya setiap kali pembayaran (sebesar A), kita membayarkan angsuran dan bunganya. Semakin usang pembayaran maka nilai angsuran semakin besar dan nilai bunganya semakin kecil. Ketika waktu pembayaran sudah selesai, maka kita juga sudah menutup semua hutang sebesar jumlah semua angsuran dan semua bunganya. Dari bentuk $ A = a_n + b_n \, $ , artinya $ A = a_1 + b_a = a_2 + b_2 = a_3 + b_3 = …. $

Menentukan Rumus Angsuran ke-$n$ ($a_n$)

       Jika suatu proteksi sebesar M dilunasi dengan sistem anuitas tahunan selama n tahun dengan suku bunga i%/tahun, dan setiap anuitas sama besarnya, maka berlaku:
$ \begin{align} A_{n+1} & = A_n \\ a_{n+1} + b_{n+1} & = a_n + b_n \\ a_{n+1} & = a_n + b_n – b_{n+1} \\ a_{n+1} & = a_n + (b_n – b_{n+1} ) \\ a_{n+1} & = a_n + (a_n.i) \\ a_{n+1} & = a_n( 1 + i) \end{align} $
Sesampai kemudian dari rumus : $ a_{n+1} = a_n( 1 + i) \, $
$ \begin{align} a_2 & = a_1(1+i) \\ a_3 & = a_2(1+i) = a_1(1+i)(1+i) = a_1(1+i)^2 \\ a_4 & = a_3(1+i) = a_1(1+i)^2(1+i) = a_1(1+i)^3 \\ … & \text{dan seterusnya} \\ a_n & = a_1(1 + i)^{n-1} \end{align} $
Kita peroleh rumus penghitungan besarnya angsuran ialah :
$ a_n = a_1(1+i)^{n-1} \, $ atau $ a_n = a_k(1+i)^{n-k} $.

Catatan : Untuk mencari besarnya bunga pertama sanggup memakai rumus :
1). $ b_1 = M . i $.
2). Untuk pembuktian bentuk $ b_n – b_{n+1} = a_n.i $ secara mendetail, silahkan teman-teman baca artikelnya pada link “Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran

Baca Juga:   Tabel Pelunasan Anuitas

Rumus Menghitung Angsuran ke-$n$ ($a_n$)
Rumus angsuran ke-$n$ sanggup dihitung dengan rumus :
$ a_n = a_1(1+i)^{n-1} \, $ atau $ a_n = a_k(1+i)^{n-k} $

Keterangan :
$a_n = \, $ angsuran ke-$n$
$a_k = \, $ angsuran ke-$k$
$a_1 = \, $ angsuran pertama
$i = \, $ suku bunga setiap periodenya

Contoh soal Anuitas dan Angsuran :
1). Suatu proteksi akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan. Jika besarnya Anuitas Rp400.000.00, tentukan:
a). Besarnya angsuran pertama apabila bunga pertama = Rp250.000,00!
b). Besarnya bunga ke-5 apabila angsuran ke-5 merupakan Rp315.000,00!

Penyelesaian :
*). Diketahui : anuitas (A) = 400.000
*). Rumus umum anuitas : $ A = a_n + b_n $
a). Menentukan $a_1 $ dengan $ b_1 = 250.000 $
$ \begin{align} A & = a_n + b_n \\ A & = a_1 + b_1 \\ a_1 & = A – b_1 \\ & = 400.000 – 250.000 \\ & = 150.000 \end{align} $
a). Menentukan $b_5 $ dengan $ a_5 = 315.000 $
$ \begin{align} A & = a_n + b_n \\ A & = a_5 + b_5 \\ b_5 & = A – a_5 \\ & = 400.000 – 315.000 \\ & = 85.000 \end{align} $

2). Suatu proteksi akan dilunasi dengan anuitas tahunan. Tentukan besarnya anuitas apabila besarnya angsuran ke-6 dan bunga ke-6 masing-masing merupakan Rp415.000,00 dan Rp85.000,00!

Penyelesaian :
*). Menentukan Anuitas dengan $a_6 = 415.000 \, $ dan $ b_6 = 85.000 $
$ \begin{align} A & = a_n + b_n \\ A & = a_6 + b_6 \\ & = 415.000 + 85.000 \\ & = 500.000 \end{align} $

3). Suatu proteksi Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas bulanan Rp500.000,00. Jika suku bunga 3%/ bulan, tentukan:
a. Besarnya bunga pertama dan angsuran pertama
b. Besarnya angsuran ke-9 dan bunga ke-9

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 10.000.000, A = 500.000, dan $ i = 3\% = 0,03 $ .
a). Menentukan $ b_1 \, $ dan $ a_1 $
Bunga pertama ($b_1$)
$ \begin{align} b_1 & = M . i \\ & = 10.000.000 \times 0,03 \\ & = 300.000 \end{align} $
Angsuran pertama ($a_1$)
$ \begin{align} a_1 & = A – b_1 \\ & = 500.000 – 300.000 \\ & = 200.000 \end{align} $
b). Menentukan $ a_9 \, $ dan $ b_9 $
Angsuran ke-9 ($a_9$)
$ \begin{align} a_n & = a_1(1 + i)^{n-1} \\ a_9 & = a_1(1 + 0,03)^{9-1} \\ & = 200.000 \times (1,03)^{8} \\ & = 200.000 \times 1,266770081 \\ & = 253.354,02 \end{align} $
Bunga ke-9 ($b_9$)
$ \begin{align} b_9 & = A – a_9 \\ & = 500.000 – 253.354,02 \\ & = 246.645,98 \end{align} $

Menentukan Rumus Anuitas (A)

       Penjabaran rumus anuitas memakai konsep barisn dan deret geomteri. Misalkan seseorang meminjam uang sebesar M yang akan dilunasi dengan mencicil sebesar A setiap periodenya. Besarnya suku bunga $ i \% \, $ per periode, maka besarnya Anuitas (A) dengan mencicil $ n \, $ kali sanggup dihitung dengan klasifikasi rumus berikut ini :

Hubungan Anuitas dan angsuran pertama :
$ \begin{align} \frac{A}{a_1} & = \frac{M.i.(a+i)^n}{(1+i)^n – 1 } : \frac{M.i}{(1+i)^n – 1} \\ \frac{A}{a_1} & = (1+i)^n \\ A & = a_1 (1+i)^n \end{align} $

Contoh soal anuitas dan angsuran :
4). Tentukan nilai anuitas dari suatu proteksi sebesar Rp5.000.000,00 selama 2 tahun dengan suku bunga 2%/bulan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 5.000.000, $ i = 2\% = 0,02 \, $ dan $ n = \, $ 2 tahun = 24 bulan.
*). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 – (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{5.000.000 \times 0,02}{1 – (1+0,02)^{-24}} \\ & = \frac{100.000}{1 – (1,02)^{-24}} \\ & = \frac{100.000}{0,378278512} \\ & = 264.355,49 \end{align} $
Jadi, besarnya anuitas ialah Rp264.355,49. Artinya besar cicilan setiap bulannya merupakan Rp264.355,49.

5). Pinjaman sebesar Rp10.000.000,00 dilunasi dengan anuitas bulanan selama 3 tahun dengan suku bunga 2,5%/bulan. Tentukan:
a. Anuitasnya
b. Bunga dan angsuran pertama

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 10.000.000, $ i = 2,5\% = 0,025 \, $/bulan dan $ n = $ 3 tahun = 36 bulan.
a). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 – (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{10.000.000 \times 0,025}{1 – (1+0,025)^{-36}} \\ & = \frac{250.000}{1 – (1,025)^{-36}} \\ & = \frac{250.000}{1 – 0,411093723} \\ & = 424.515,77 \end{align} $

b). Menentukan $ b_1 \, $ dan $ a_1 $
Bunga pertama ($b_1$)
$ \begin{align} b_1 & = M . i \\ & = 10.000.000 \times 0,025 \\ & = 250.000 \end{align} $
Angsuran pertama ($a_1$)
$ \begin{align} a_1 & = A – b_1 \\ & = 424.515,77 – 250.000 \\ & = 174.515,77 \end{align} $

6). Wati bersama suaminya berencana mengambil rumah di VILLA INDAH dengan harga Rp250.000.000,00. Wati hanya terdapat uang muka Rp 100.000.000,00. Sisanya akan dicicil dengan sistem anuitas tahunan selama 10 tahun dengan suku bunga 18%/tahun. Tentukan:
a. Nilai anuitasnya
b. Cicilan setiap bulan

Baca Juga:   Rente Dalam Matematika Keuangan

Penyelesaian :
*). Diketahui :
M = 250.000.000 – 100.000.000 = 150.000.000,
$ i = 18\% = 0,18 \, $/tahun dan $ n = $ 10 tahun.
a). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 – (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{150.000.000 \times 0,18}{1 – (1+0,18)^{-10}} \\ & = \frac{27.000.000}{1 – (1,18)^{-10}} \\ & = \frac{27.000.000}{0,808935533} \\ & = 33.377.196,20 \end{align} $
Jadi, besarnya anuitas/ciclan setiap tahunnya merupakan Rp33.377.196,20.

b). Menentukan besarnya cicilan per bulan :
Cicilan perbulan $ = \frac{ 33.377.196,20}{12} = 2.781.433,02 $
Jadi, cicilan setiap bulan merupakan Rp2.781.433,02.

         Demikian pembahasan bahan Anuitas dan Angsuran Matematika Keuangan beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga bahan lain yang berkaitan matematika keuangan yaitu  penerapan anuitas pada obligasi, anuitas yang dibulatkantabel pelunasan anuitas dan sisa proteksi anuitas.