Anuitas Yang Dibulatkan

Posted on

         Pondok Soal.com – Dalam transaksi perbankan, pembayaran dukungan baik memakai sistem anuitas inginpun lainnya nilainya bulat. Oleh lantaran itu, besarnya anuitas dibulatkan ke atas atau ke bawah dengan kelipatan menurut persetujuan peserta hutang dengan pihak perbankan, dengan tujuan biar pembayaran gampang untuk dilaksanakan. Misalkan anuitas dibulatkan ke bawah atau ke atas dengan kelipatan Rp1.000,00 atau Rp100,00 dan lain-lain. Pada artikel ini kita khusus membahas bahan anuitas yang dibulatkan.

         Jika anuitas di bulatkan ke atas, maka akan terjadi kelebihan pembayaran. Sebaliknya apabila anuitas dibulatkan ke bawah, maka akan terjadi kekurangan pembayaran. Kelebihan atau kekurangan pembayaran tersebut akan diperhitungkan pada pembayaran anuitas terakhir.

a). Anuitas dibulatkan ke atas
       Setiap bilangan yang akan dibulatkan ke atas dalam puluhan, ratusan, ribuan, puluhan ribu atau yang lainnya selalu ditambah satu dari nilai sebelumnya. Lambang untuk pembulatan anuitas ke atas merupakan: A$^+$

$\spadesuit \, $ Jika $a_1 = A^+ – b_1 = A^+ – M . i$, maka kelebihan pembayaran dari semua angsuran (NL) merupakan:
$ \begin{align} NL & = (a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n) – M \\ & = (a_1 + a_1(1+i) + a_1(1+i)^2 + … + a_1(1+i)^{n-1}) – M \\ & = (a_1 + a_1[(1+i) +(1+i)^2 + … + (1+i)^{n-1}]) – M \\ & = (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r]) – M \end{align} $
Keterangan :
NL = Nilai Lebih,
$ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r = \, $ daftar nilai tamat rente kolom i% baris (n-1).

$ \clubsuit \, $ Dengan cara lain, apabila $ L = A^+ – A$, maka nilai tamat kelebihan dari anuitas pertama hingga anuitas terakhir = nilai tamat rente post numerando, yaitu:
$ \begin{align} NL & = L + L(1+i) + L(1+i)^2 + … + L(1+i)^{n-1} \\ & = L + L[(1+i) +(1+i)^2 + … + (1+i)^{n-1}] \\ & = L + L[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Besarnya anuitas terakhir (At):
$ At = A – NL $

Contoh soal anuitas dibulatkan ke atas :
1). Hasil perhitungan nilai anuitas diperoleh A = Rp2.351.405,78. Bulatkan anuitas di atas dalam:
a. Puluhan ke atas
b. Ratusan ke atas
c. Ribuan ke atas
d. Puluhan ribu ke atas

Baca Juga:   Sisa Proteksi Pada Anuitas

Penyelesaian :
a. Dibulatkan puluhan ke atas: A$^+$ = Rp2.351.410,00
b. Dibulatkan ratusan ke atas: A$^+$ = Rp2.351.500,00
c. Dibulatkan ribuan ke atas: A$^+$ = Rp2.352.000,00
d. Dibulatkan puluhan ribu ke atas: A$^+$ = Rp2.360.000,00

2). Suatu dukungan Rp20.000.000.00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 6%/tahun selama 20 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke atas dalam puluhan ribu, tentukan:
a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan setelah dibulatkan
b. Total kelebihan pembayaran anuitas
c. Pembayaran anuitas terakhir!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 20.000.000, $ i = 6\% \, $/tahun, dan $ n = 20 \, $ tahun
a). Menentukan nilai anuitasnya :
$ \begin{align} A & = M \times \text{ tabel anuitas kolom 6% baris 20} \\ & = 20.000.000 \times 0,087184557 \\ & = 1.743.691,14 \end{align} $
Artinya kita peroleh anuitas : A = Rp1.743.691,14
Dibulatkan puluhan ribu ke atas: A$^+$ = Rp1.750.000,00

b). Kelebihan tiap anuitas (L) :
$ \begin{align} L & = A^+ – A \\ & = 1.750.000,00 – 1.743.691,14 \\ & = 6.308,86 \end{align} $

Total kelebihan pembayaran anuitas (NL) :
$\begin{align} NL & = L + L[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \\ NL & = L + L \times \text{ Daftar Nilai tamat rente kolom i% baris (n – 1)} \\ & = 6.308,86 + 6.308,86 \times \text{ Daftar Nilai tamat rente kolom 6% baris 19} \\ & = 6.308,86 + 6.308,86 \times 35,785591204 \\ & = Rp232.075,14 \end{align} $

Dengan memakai cara lain:
$ \begin{align} a_1 & = A^+ – M.i \\ & = 1.750.000,00 – 20.000.000,00 \times 6\% \\ & = 1.750.000,00 – 1.200.000,00 \\ & = 550.000,00 \\ NL & = (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai tamat rente kolom 6% baris (20-1)}) – M \\ NL & = (550.000,00 + 550.000,00 \times 35,785591204) – 20.000.000 \\ & = 232.075,14 \end{align} $
(hasilnya sama yakni NL = Rp232.075,14).

c). Pembayaran anuitas terakhir (At) :
$ At = A – NL = 1.743.691.14 – 232.075.14 = Rp 1.511.616.00 $

b). Anuitas dibulatkan ke bawah
       Setiap bilangan yang akan dibulatkan ke bawah dalam puluhan, ratusan, ribuan, puluhan ribu atau yang lainnya selalu tetap dari nilai sebelumnya. Lambang untuk pembulatan anuitas ke atas merupakan: A$^-$
Baca Juga:   Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran

$\spadesuit \, $ Jika $a_1 = A^- – b_1 = A^- – M . i$, maka kekurangan pembayaran dari semua angsuran (NK) merupakan:
$ \begin{align} NL & = M – (a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n) \\ & = M – (a_1 + a_1(1+i) + a_1(1+i)^2 + … + a_1(1+i)^{n-1}) \\ & = M – (a_1 + a_1[(1+i) +(1+i)^2 + … + (1+i)^{n-1}]) \\ & = M – (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r]) \end{align} $
Keterangan :
NK = Nilai Kekurangan,
$ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r = \, $ daftar nilai tamat rente kolom i% baris (n-1).

$ \clubsuit \, $ Dengan cara lain, apabila $ K = A – A^- $, maka nilai tamat kekurangan dari anuitas pertama hingga anuitas terakhir = nilai tamat rente post numerando, yaitu:
$ \begin{align} NK & = K + K(1+i) + K(1+i)^2 + … + K(1+i)^{n-1} \\ & = K + K[(1+i) +(1+i)^2 + … + (1+i)^{n-1}] \\ & = K + K[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Besarnya anuitas terakhir (At):
$ At = A + NK $

Contoh soal anuitas dibulatkan ke bawah :
3). Hasil perhitungan nilai anuitas diperoleh A = Rp4.357.895,78 Bulatkan anuitas di atas dalam:
a. Puluhan ke bawah
b. Ratusan ke bawah
c. Ribuan ke bawah
d. Puluhan ribu ke bawah

Penyelesaian :
a. Dibulatkan puluhan ke bawah: A$^-$ = Rp4.357.890,00
b. Dibulatkan ratusan ke bawah: A$^-$ = Rp4.357.800,00
c. Dibulatkan ribuan ke bawah: A$^-$ = Rp4.357.000,00
d. Dibulatkan puluhan ribu ke bawah : A$^-$ = Rp4.350.000,00

4). Suatu dukungan Rp12.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 5%/tahun selama 15 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke bawah dalam ratusan ribu, tentukan:
a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan setelah dibulatkan
b. Total kekurangan pembayaran anuitas
c. Pembayaran anuitas terakhir!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 12.000.000, $ i = 5\% \, $/tahun, dan $ n = 15 \, $ tahun
a). Menentukan nilai anuitasnya :
$ \begin{align} A & = M \times \text{ tabel anuitas kolom 5% baris 15} \\ & = 12.000.000 \times 0,096342288 \\ & = 1.156.107,46 \end{align} $
Artinya kita peroleh anuitas : A = Rp1.156.107,46
Dibulatkan ratusan ribu ke bawah: A$^-$ = Rp 1.100.000,00

Baca Juga:   Penerapan Anuitas Pada Obligasi

b). Kekurangan tiap anuitas (K) :
$ \begin{align} K & = A – A^- \\ & = 1.156.107,46 – 1.100.000,00 \\ & = 56.107,46 \end{align} $

Total kekurangan pembayaran anuitas (NK):
$\begin{align} NK & = K + K[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \\ NK & = K + K \times \text{ Daftar Nilai tamat rente kolom i% baris (n – 1)} \\ & = 56.107,46 + 56.107,46 \times \text{ Daftar Nilai tamat rente kolom 5% baris 14} \\ & = 56.107,46 + 56.107,46 \times 20,578563588 \\ & = 1.210.718,39 \end{align} $

Dengan memakai cara lain:
$ \begin{align} a_1 & = A^- – M.i \\ & = 1.100.000,00 – 12.000.000,00 \times 5\% \\ & = 1.100.000,00 – 600.000,00 \\ & = Rp500.000,00 \\ NK & = M – (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai tamat rente kolom 5% baris (15-1)}) \\ NK & = 12.000.000 – (500.000,00 + 500.000,00 \times 20,578563588) \\ & = 1.210.718,21 \end{align} $
(hasilnya hampir sama dengan cara sebelumnya untuk nilai NK).

c). Pembayaran anuitas terakhir (At) :
$ At = A + NK = 1.156.107,46 + 1.210.718,39 = 2.366.825,85 $

Catatan :
Bentuk $ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r \, $ sanggup dihitung dengan jumlah $ n $ suku pertama deret geometri.

         Demikian pembahasan bahan Anuitas yang Dibulatkan beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga bahan lain yang berkaitan dengan anuitas yakni tabel pelunasan anuitas.