Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis

Posted on

         Pondok Soal.com – Aplikasi vektor yang akan kita bahas pada artikel ini merupakan Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis. Aplikasi vektor dalam bangkit datar atau bangkit ruang cukuplah kaya, diantaranya kita sudah membahas bahan “aplikasi vektor : jarak titik ke garis“, “aplikasi vektor : luas bangkit datar“, dan “aplikasi vektor : volume bangkit ruang“. Pada dimensi tiga, sesungguhnya juga kita pelajari bahan “jarak dua garis bersilangan“, namun pengerjaannya memakai konsep keruangan pada dimensi tiga dimana berdasarkan kami memang tak gampang dalam aplikasi pengerjaan pada soalnya. Nah pada konsep vektor ialah Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis ini, kita hanya terfokus pada pengerjaan soalnya memakai konsep vektor ialah “proyeksi orthogonal vektor pada vektor” khususnya panjang vektor proyeksinya. Hal-hal yang harus teman-teman kuasai terlebih dahulu untuk memudahkan mempelajari bahan Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis ialah “pengertian vektor dan penulisannya“, “panjang vektor“, “persobat semua dot“, “persobat semua silang dua vektor“, dan “panjang proyeksi vektor“.

Langkah-langkah Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis
       Perhatikan gambaran gambar di atas. Misalkan kita akan mencari jarak antara garis $ g_1 $ dan garis $ g_2 $. Garis $ g_1 $ dan $ g_2 $ diwakili oleh masing-masing vektor $ \vec{v}_1 $ dan $ \vec{v}_2 $. Pada garis $ g_1 $ kita pilih titik A. Berikut langkah-langkah memilih jarak dua garis bersilangan memakai konsep vektor :
1). Impitkan kedua pangkal vektor $ \vec{v}_1 $ dan $ \vec{v}_2 $ di titik A.
2). Kita buat bidang W melalui kedua vektor $ \vec{v}_1 $ dan $ \vec{v}_2 $.
3). Tentukan vektor normal yang tegak lurus dengan bidang W ialah vektor $ \vec{u} $ dengan $ \vec{u} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 $.
4). Tentukan salah satu vektor dari garis $ g_1 $ ke garis $ g_2 $, misalkan vektor $ \vec{AC} $.
5). Jarak kedua garis merupakan panjang proyeksi vektor $ \vec{AC} $ ke vektor $ \vec{u} $.

Dapat kita ringkas rumus jaraknya ialah :
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{AC} $ ke $ \vec{u} \, $ atau
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{AD} $ ke $ \vec{u} \, $ atau
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{BC} $ ke $ \vec{u} \, $ atau
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{BD} $ ke $ \vec{u} $.

Contoh Soal Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis

1). Sebuah kubus ABCD.EFGH terdapat panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak BG dan CE!
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambaran gambar berikut ini,

*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis BG dan CE :
B(12, 12, 0); G(0, 12, 12); C(0, 12, 0) dan E(12, 0, 12)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{BG} = \vec{g} – \vec{b} = (-12, 0, 12) $
$ \vec{CE} = \vec{e} – \vec{c} = (12, -12, 12) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis ialah $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{BG} \times \vec{CE} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -12 & 0 & 12 \\ 12 & -12 & 12 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 144\vec{j} +144\vec{k}) – (-144\vec{i} – 144\vec{j} + 0) \\ & = 144\vec{i} + 288\vec{j} + 144\vec{k} = (144, 288 , 144 ) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{144^2 + 288^2+144^2} = 144\sqrt{6} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan BG dan CE, misalkan kita pilih vektor $ \vec{BE} $ ialah $ \vec{BE} = \vec{e} – \vec{b} = (0, -12, 12) $
*). Jarak BG ke CE merupakan panjang proyeksi vektor $ \vec{BE} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{BE} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BE}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(0, -12, 12).(144, 288 , 144 ) }{144\sqrt{6}} \right| \\ & = \left| \frac{0 + (-12).288 + 12. 144 }{144\sqrt{6}} \right| \\ & = \left| \frac{-12. 144 }{144\sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-12 }{ \sqrt{6}} \right| = \frac{12 }{ \sqrt{6}} = 2\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak BG dan CE merupakan $ 2 \sqrt{6} \, $ cm.

Baca Juga:   Aplikasi Vektor Pada Bangkit Ruang Dan Datar

2). Sebuah kubus ABCD.EFGH terdapat panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak BG dan AC!
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambaran gambar berikut ini,

*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis BG dan AC :
B(6, 6, 0); G(0, 6, 6); A(6, 0, 0) dan C(0, 6, 0)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{BG} = \vec{g} – \vec{b} = (-6, 0, 6) $
$ \vec{AC} = \vec{c} – \vec{a} = (-6, 6, 0) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis ialah $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{BG} \times \vec{AC} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -6 & 0 & 6 \\ -6 & 6 & 0 \end{matrix} \right| \\ & = (0 -36\vec{j} -36\vec{k}) – (36\vec{i} + 0 + 0) \\ & = -36\vec{i} -36\vec{j} -36\vec{k} = (-36, -36, -36) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{(-36)^2 + (-36)^2+(-36)^2} = 36\sqrt{3} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan BG dan AC, misalkan kita pilih vektor $ \vec{BA} $ ialah $ \vec{BA} = \vec{a} – \vec{b} = (0, -6, 0) $
*). Jarak BG ke AC merupakan panjang proyeksi vektor $ \vec{BA} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{BA} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BE}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(0, -6, 0).(-36, -36, -36) }{36\sqrt{3} } \right| \\ & = \left| \frac{0 + 6. 36 + 0}{36\sqrt{3} } \right| \\ & = \left| \frac{6.36}{36\sqrt{3} } \right| = \left| \frac{6 }{ \sqrt{3}} \right| = \frac{6 }{ \sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak BG dan AC merupakan $ 2 \sqrt{3} \, $ cm.

3). Sebuah balok ABCD.EFGH terdapat panjang 6 cm, lebar 4 cm, dan tinggi 3 cm. Jika titik M merupakan titik tengah EF, maka tentukan jarak AG dan DM!
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambaran gambar berikut ini,

*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis AG dan DM :
A(4, 0, 0): G(0, 6, 3); D(0, 0, 0) dan M(4, 3, 3)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{AG} = \vec{g} – \vec{a} = (-4, 6, 3) $
$ \vec{DM} = \vec{m} – \vec{d} = (4, 3, 3) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis ialah $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{AG} \times \vec{DM} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 6 & 3 \\ 4 & 3 & 3 \end{matrix} \right| \\ & = (18\vec{i} + 12\vec{j} -12\vec{k}) – (9\vec{i} – 12\vec{j} + 24\vec{k}) \\ & = 9\vec{i} + 24\vec{j} -36\vec{k} = (9, 24, -36) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{9^2 + 24^2+(-36)^2} = \sqrt{1953} = 3\sqrt{217} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan AG dan DM, misalkan kita pilih vektor $ \vec{AD} $ ialah $ \vec{AD} = \vec{d} – \vec{a} = (-4, 0, 0) $
*). Jarak AG ke DM merupakan panjang proyeksi vektor $ \vec{AD} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{AD} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{AD}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(-4, 0, 0).(9, 24, -36) }{ 3\sqrt{217}} \right| \\ & = \left| \frac{-36 +0 + 0}{ 3\sqrt{217} } \right| \\ & = \left| \frac{-36}{ 3\sqrt{217}} \right| = \left| \frac{12 }{ \sqrt{217}} \right| = \frac{12}{217}\sqrt{217} \end{align} $
Jadi, jarak AG dan DM merupakan $ \frac{12}{217}\sqrt{217} \, $ cm.

Baca Juga:   Aplikasi Vektor : Jarak Titik Ke Garis

4). Sebuah kubus ABCD.EFGH terdapat panjang rusuk 6 cm. Jika titik P, Q, dan R terletak ditengah-tengah rusuk AB, EH, dan CD, maka tentukan jarak PQ dan FR!
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambaran gambar berikut ini,

 

*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis PQ dan FR:
P(6, 3, 0); Q(3, 0, 6); F(6, 6, 6) dan R(0, 3, 0)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{PQ} = \vec{q} – \vec{p} = (-3, -3, 6) $
$ \vec{FR} = \vec{r} – \vec{f} = (-6, -3, -6) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis ialah $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{PQ} \times \vec{FR} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & -3 & 6 \\ -6 & -3 & -6 \end{matrix} \right| \\ & = (18\vec{i} -36\vec{j} + 9\vec{k}) – (-18\vec{i} + 18\vec{j} + 18\vec{k}) \\ & = 36\vec{i} – 54\vec{j} -9\vec{k} = (36 , -54 , -9) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{36^2 + (-54)^2+(-9)^2} = 9\sqrt{53} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan PQ dan FR, misalkan kita pilih vektor $ \vec{PR} $ ialah $ \vec{PR} = \vec{r} – \vec{p} = (-6, 0, 0) $
*). Jarak PQ ke FR merupakan panjang proyeksi vektor $ \vec{PR} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{PR} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{PR}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(-6, 0, 0).(36 , -54 , -9) }{ 9\sqrt{53} } \right| \\ & = \left| \frac{-216 +0 + 0}{ 9\sqrt{53} } \right| \\ & = \left| \frac{-216}{ 9\sqrt{53} } \right| = \left| \frac{24 }{ \sqrt{53}} \right| = \frac{24}{53}\sqrt{53} \end{align} $
Jadi, jarak PQ dan FR merupakan $ \frac{24}{53}\sqrt{53} \, $ cm.

5). Sebuah kubus ABCD.EFGH terdapat panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak AH dan CF!
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambaran gambar berikut ini,

*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis AH dan CF :
A(6, 0, 0); H(0, 0, 6); C(0, 6, 0) dan F(6, 6, 6)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{AH} = \vec{h} – \vec{a} = (-6, 0, 6) $
$ \vec{CF} = \vec{f} – \vec{c} = (6, 0, 6) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis ialah $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{AH} \times \vec{CF} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -6 & 0 & 6 \\ 6 & 0 & 6 \end{matrix} \right| \\ & = (0 +36\vec{j} + 0 ) – (0 -36\vec{j} + 0 ) \\ & = 72\vec{j} = (0, 72, 0 ) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{0^2 + 72^2+0^2} = 72 $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan AH dan CF, misalkan kita pilih vektor $ \vec{AC} $ ialah $ \vec{AC} = \vec{c} – \vec{a} = (-6, 6, 0 ) $
*). Jarak AH ke CF merupakan panjang proyeksi vektor $ \vec{AC} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{AC} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BE}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(-6, 6, 0 ).(0, 72, 0 ) }{72} \right| \\ & = \left| \frac{0 + 6. 72 + 0}{72} \right| \\ & = \left| \frac{6.72}{72 } \right| = 6 \end{align} $
Jadi, jarak AH dan CF merupakan $ 6 \, $ cm.

Baca Juga:   Aplikasi Vektor : Volume Bangkit Ruang

       Demikian pembahasan bahan Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “Materi Vektor Tingkat SMA” ialah “aplikasi vektor : Jarak titik ke bidang”.