Aplikasi Vektor : Jarak Titik Ke Garis

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas bahan Aplikasi Vektor : Jarak Titik ke Garis . Aplikasi vektor pertama yang kita bahas merupakan jarak titik ke garis lurus. Sebenarnya bahan ini sudah kita bahas pada artikel “Jarak Dua Titik dan Titik ke Garis“, pada artikel tersebut kita bahas rumusnya dan pola soalnya. Nah pada artikel ini, kita akan membahas pembuktian rumusnya memakai konsep vektor. Tentu juga akan kita bahas contoh-contoh soalnya. Untuk memudahkan mempelajari bahan Aplikasi Vektor : Jarak Titik ke Garis, teman-teman harus menguasai bahan “pengertian vektor“, “panjang vektor“, “persobat semua dot dua vektor“, “proyeksi vektor“, dan “vektor normal garis lurus“. Materi-materi dasar ini akan kita gunakan dalam pembuktian Rumus Jarak Titik ke Garis. Garis lurus yang dimaksud disini merupakan berkaitan dengan persamaannya adalah biasanya berbentuk $ ax + by + c = 0 $. Berikut penterangan Aplikasi Vektor : Jarak Titik ke Garis yang berkaitan dengan rumus jaraknya dan pembuktian serta pola soalnya.

Aplikasi vektor : Jarak titik ke garis lurus
Pada R$^2$ , jarak titik $ A(x_1,y_1) $ ke garis $ ax + by + c = 0 $ merupakan
       Jaraknya $ = \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| $

Aplikasi vektor : Jarak titik ke bidang
Pada R$^3$ , jarak titik $ b(x_1,y_1,z_1) $ ke bidang $ ax + by + cz + d = 0 $ merupakan
       Jaraknya $ = \left| \frac{ax_1+by_1+cz_1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \right| $

$ \spadesuit \, $ Pembuktian jarak titik ke garis lurus :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut,

*). Misalkan kita pilih sembarang titik $ B(x_2,y_2) $ yang terletak pada garis $ ax + by + c = 0 $ . Berikutnya kita buat vektor normal $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ yang melalui titik B.
*). Titik $ B(x_2,y_2) $ terletak pada garis, artinya titik B sanggup kita substitusikan ke persamaan garis $ ax + by + c = 0 $ adalah $ ax_2 + by_2 + c $. Kita peroleh :
$ ax_2 + by_2 + c \rightarrow c = -ax_2 – by_2 \, $ ……(i)
*). Pada gambar, terbentuk vektor $ \vec{BA} $ adalah
$ \vec{BA} = \vec{a} – \vec{b} = \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x_1 – x_2 \\ y_1 – y_2 \end{matrix} \right) $
*). Kita proyeksikan vektor $ \vec{BA} $ ke vektor normal $ \vec{u} $ sesampai kemudian menghasilkan vektor $ \vec{c} $. Jarak titik $ A(x_1,y_1) $ ke garis $ ax+by+c=0 $ sama dengan panjang vektor proyeksi $ \vec{BA} $ ke vektor $ \vec{u} $.
*). Menentukan jarak titik $ A(x_1,y_1) $ ke garis $ ax + by + c = 0 $ dan dengan bentuk $ c = ax_2 – by_2 $ :
$ \begin{align} \text{Jarak } & = panjang \, proyeksi \, vektor \, \vec{BA} \, ke \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BA} . \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{\left( \begin{matrix} x_1 – x_2 \\ y_1 – y_2 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right)}{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \\ & = \left| \frac{a(x_1-x_2) + b(y_1 – y_2) }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \\ & = \left| \frac{ax_1-ax_2 + by_1 – by_2 }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \\ & = \left| \frac{ax_1 + by_1 -ax_2 – by_2 }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \\ & = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \end{align} $
Jadi, terbukti jaraknya $ = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| $.

Baca Juga:   Aplikasi Vektor : Volume Bangkit Ruang

Dengan cara yang hampir mirip, kita sanggup menunjukan rumus jarak titik ke bidang $ ax + by + cz + d = 0 $.

Contoh soal Aplikasi Vektor : Jarak Titik ke Garis :

1). Tentukan jarak titik $ A(-1,2) $ ke garis $ 3x – 4y + 9 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Ada dua cara yang akan kita gunakan untuk memilih jaraknya adalah :
Cara I : memakai konsep vektor
-). vektor normal dari $ 3x – 4y + 9 = 0 $ merupakan $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -4 \end{matrix} \right) $
-). kita pilih titik yang terletak pada garis adalah $ B(1,3) $.
-). Vektor $ \vec{BA} = \vec{a} – \vec{b} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} \right) $
-). Jarak titik $ A(-1,2) $ ke garis $ 3x – 4y + 9 = 0 $ sama dengan panjang proyeksi vektor $ \vec{BA} $ ke vektor $ \vec{u} $ :
$ \begin{align} \text{Jarak } & = panjang \, proyeksi \, vektor \, \vec{BA} \, ke \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BA} . \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{\left( \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 3 \\ -4 \end{matrix} \right)}{\sqrt{3^2 + (-4)^2} } \right| \\ & = \left| \frac{-2.3 + (-1).(-4) }{\sqrt{9 + 16} } \right| \\ & = \left| \frac{-6 + 4 }{\sqrt{25} } \right| \\ & = \left| \frac{-2}{5} \right| = \frac{2}{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik $ A(-1,2) $ ke garis $ 3x – 4y + 9 = 0 $ merupakan $ \frac{2}{5} $ satuan.

Cara II : Rumus jarak titik ke garis :
-). jarak titik $ A(-1,2) $ ke garis $ 3x – 4y + 9 = 0 $ :
artinya titik $ (x_1,y_1) + (-1,2) $ dan $ a = 3, b = -4 $.
-). Menenetukan jaraknya :
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \\ & = \left| \frac{3.(-1) – 4.2 + 9}{\sqrt{3^2 + (-4)^2} } \right| \\ & = \left| \frac{-3 -8 + 9}{\sqrt{25} } \right| \\ & = \left| \frac{-2}{5} \right| = \frac{2}{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik $ A(-1,2) $ ke garis $ 3x – 4y + 9 = 0 $ merupakan $ \frac{2}{5} $ satuan.

Baca Juga:   Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis

2). Tentukan jarak titik $ P(-1,2,3) $ ke bidang yang terdapat persamaan $ 2x – y + 2z – 8 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). kita eksklusif memakai rumus jaraknya,
*). Diketahui titiknya $ (x_1,y_1,z_1) = ( -1,2,3) $
*). persamaan bidangnya : $ 2x – y + 2z – 8 = 0 \rightarrow a = 2, b = -1 , c = 2 $
*). Menentukan jaraknya :
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 }{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} } \right| \\ & = \left| \frac{ 2.(-1) – 2 + 2.3 – 8}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} } \right| \\ & = \left| \frac{-2 -2 + 6 – 8}{\sqrt{25} } \right| \\ & = \left| \frac{-6}{5} \right| = \frac{6}{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik $ P(-1,2,3) $ ke bidang yang terdapat persamaan $ 2x – y + 2z – 8 = 0 $ merupakan $ \frac{6}{5} $ satuan.

3). Jika jarak titik $ Q(1,k) $ ke garis $ 12x – 5y + 11 = 0 $ merupakan 1 satuan dengan $ k < 5 $, maka tentukan nilai $ k^2 – 2k + 3$!
Penyelesaian :
*). Sifat nilai mutlak :
$ |x| = a \rightarrow x = \pm a $
*). Menentukan nilai $ k $ :
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \\ 1 & = \left| \frac{12.1 – 5.k + 11}{\sqrt{12^2 + (-5)^2} } \right| \\ 1 & = \left| \frac{12 – 5k + 11}{\sqrt{169} } \right| \\ 1 & = \left| \frac{23 – 5k }{\sqrt{169} } \right| \\ 1 & = \left| \frac{23 – 5k }{13} \right| \\ 13 & = | 23 – 5k| \\ \pm 13 & = 23 – 5k \end{align} $
$ 23 – 5k = 13 \rightarrow 5k = 10 \rightarrow k = 2 $
$ 23 – 5k = -13 \rightarrow 5k = 36 \rightarrow k = \frac{36}{5} $
Karena $ k < 5 $, maka $ k = 2 $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ k^2 – 2k + 3 $ !
$ k^2 – 2k + 3 = 2^2 – 2.2 + 3 = 3 $ .
Jadi, nilai $ k^2 – 2k + 3 = 3 $.

Aplikasi Vektor : Jarak titik ke Garis pada dimensi Tiga
Misalkan jarak titik P ke garis $ g $ ibarat gambar berikut :

Kita pilih titik A dan B yang ada pada garis $ g $ dimana vektor $ \vec{AB} $ mewakili garis $ g $. Kita bentuk vektor yang menghubungkan titik P ke garis $ g $, misalkan kita pilih vektor $ \vec{AP} $. Jarak titik P ke garis $ g $ merupakan panjang vektor “komponen tegak lurus vektor $ \vec{AP} $ terhadap vektor $ \vec{AB}$” adalah :
Jarak $ = \left| \vec{AP} – \left( \frac{\vec{AP}.\vec{AB}}{|\vec{AB}|^2} \right) \vec{AB} \right| $

Baca Juga:   Aplikasi Vektor Pada Bangkit Ruang Dan Datar

Contoh soal Aplikasi vektor : jarak titik ke garis

4). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, tentukan jarak titik E ke garis AG!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar

*). Menentukna titik sudut E, A, dan G serta vektornya :
E(8, 0, 8); A(8, 0, 0) dan G(0, 8, 8)
$ \vec{AE} = (0, 0, 8) $ dan $ \vec{AG} = (-8, 8, 8) $
*). Menentukan jarak titik E ke garis AG :
jarak = panjang komponen tegak lurus vektor $ \vec{AE} $ terhadap $ \vec{AG} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \vec{AE} – \left( \frac{\vec{AE}.\vec{AG}}{|\vec{AG}|^2} \right) \vec{AG} \right| \\ & = \left| (0, 0, 8) – \left( \frac{(0, 0, 8).(-8, 8, 8)}{(\sqrt{(-8)^2 + 8^2 + 8^2})^2} \right) (-8, 8, 8) \right| \\ & = \left| (0, 0, 8) – \left( \frac{0 + 0 + 64}{(\sqrt{3 . 64})^2} \right) (-8, 8, 8) \right| \\ & = \left| (0, 0, 8) – \left( \frac{64}{ 3 . 64 } \right) (-8, 8, 8) \right| \\ & = \left| (0, 0, 8) – \left( \frac{1}{ 3 } \right) (-8, 8, 8) \right| \\ & = \left| (0, 0, 8) – \left( -\frac{8}{ 3 } , \frac{8}{ 3 } , \frac{8}{ 3 } \right) \right| \\ & = \left| \left( \frac{8}{ 3 } , -\frac{8}{ 3 } , \frac{2. 8}{ 3 } \right) \right| \\ & = \sqrt{ (\frac{8}{ 3 } )^2 +( -\frac{8}{ 3 })^2 + ( \frac{2. 8}{ 3 } )^2 } \\ & = \sqrt{ 6. (\frac{8}{ 3 } )^2 } = \frac{8}{ 3 } \sqrt{ 6 } \end{align} $
Jadi, jarak titik E ke AG merupakan $ \frac{8}{ 3 } \sqrt{ 6 } \, $ cm.

Silahkan baca cara memilih jarak titik ke garis dengan konsep pada dimensi tiga adalah pada artikel “konsep jarak pada dimensi tiga

       Demikian pembahasan bahan Aplikasi Vektor : Jarak Titik ke Garis dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “materi vektor tingkat SMA” adalah “aplikasi vektor : Luas bangkit datar“.