Aplikasi Vektor : Luas Berdiri Datar

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari bahan “aplikasi vektor : jarak titik ke garis“, pada artikel ini kita lanjutkan lagi pembahasan aplikasi vektor yang lainnya ialah Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar. Luas berdiri datar yang akan kita hitung merupakan berdiri datar yang diketahui titik-titik sudutnya. Setiap berdiri datar pada pada dasarnya tersusun dari sedikit segitiga, sesampai kemudian kita harus sanggup menghitung luas segitiga dengan aplikasi dari vektor. Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar melibatkan rumus “persobat semua silang antara dua vektor” ialah khusus memilih panjangnya. Untuk memudahkan mempelajari bahan Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar ini, teman-teman harus menguasai terlebih dahulu bahan “pengertian vektor dan penulisannya” dan “persobat semua silang dua vektor“. Selain itu juga tentu kita harus mengetahui rumus luas segitiga dan luas berdiri datar lainnya serta rumus “perbandingan trigonometri segitiga siku-siku“. Pada SBMPTN, soal-soal berkaitan Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar ini kerap keluar untuk soal matematika IPA (saintek). Langsung saja kita pelajari bahan “Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar” ini secara mendetail berikut ini.

Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar
       Perhatikan gambaran gambar jajar genjang dan segitiga yang dibuat oleh vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $.
$ \spadesuit \, $ Luas jajar genjang
Rumus luas jajar genjangnya ialah :
     Luas jajargenjang $ = |\vec{u} \times \vec{v}| $
$ \clubsuit \, $ Luas segitiga
Rumus luas segitiga ialah :
     Luas segitiga $ = \frac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}| $
Catatan :
$ |\vec{u} \times \vec{v}| = \, $ besar/panjang vektor $ \vec{u} \times \vec{v} $

Pembuktian Rumus luas berdiri datar :
*). Rumus panjang persobat semua silang dua vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $
$ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}|\sin \theta $.
*). Perhatikan sudut $ \theta $ pada jajar genjang,
$ \sin \theta = \frac{t}{|\vec{v}|} \rightarrow t = |\vec{v}| \sin \theta $

*). Luas jajargenjang
       Perhatikan jajargenjang di atas, luas jajar genjangnya :
$ \begin{align} \text{Luas jajargenjang} & = \text{alas } \times \text{ tinggi} \\ & = |\vec{u}| \, t \\ & = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin \theta \\ & = |\vec{u} \times \vec{v}| \end{align} $
Jadi, terbukti luas jajargenjang $ = |\vec{u} \times \vec{v}| $ .

*). Luas segitiga
Segitiga merupakan berdiri datar yang bentuknya separuh dari jajargenjang ibarat pada gambar di atas, sesampai kemudian luas segitiga :
$ \begin{align} \text{luas segitiga } & = \frac{1}{2}\text{ luas jajargenjang} \\ & = \frac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}| \end{align} $
Jadi, terbukti luas segitiga $ = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}| $.

Contoh Soal Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar

1). Tentukan luas jajar genjang dan luas segitiga yang dibuat oleh vektor $ \vec{u} = (-1,2,3) $ dan $ \vec{v} = (2, -1,2) $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan hasil persobat semua silangnya $ \vec{u} \times \vec{v} $ :
$ \begin{align} \vec{u} \times \vec{v} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = (2.2.\vec{i} + 3.2.\vec{j} + (-1).(-1).\vec{k}) – (-1.3.\vec{i} + (-1).2.\vec{j} + 2.2.\vec{k}) \\ & = (4\vec{i} + 6\vec{j} + \vec{k}) – (-3\vec{i} -2\vec{j} + 4\vec{k}) \\ & = 7\vec{i} + 8\vec{j} -3\vec{k} \\ & = ( 7 , 8 , -3) \end{align} $
*). Menentukan luas jajargenjangnya :
$ \begin{align} \text{Luas jajargenjang} & = |\vec{u} \times \vec{v}| \\ & = \sqrt{7^2 + 8^2 + (-3)^2} \\ & = \sqrt{49 + 64 + 9} = \sqrt{112} \\ & = \sqrt{16.7} = 4\sqrt{7} \end{align} $
Jadi, luas jajargenjangnya merupakan $ 4\sqrt{7} $ satuan luas.

Baca Juga:   Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis

*). Menentukan luas segitiganya :
Luas segitiga $ = \frac{1}{2} . 4\sqrt{7} = 2\sqrt{7} $
Jadi, luas segitiga yang terbentuk merupakan $ 2\sqrt{7} $ satuan luas.

2). Diketahui vektor $ \vec{a} = ( 1, -2 , 0) $ dan $ \vec{b} = ( -3, 1, p) $ . Jika luas jajargenjang yang dibuat oleh $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ merupakan $ 3\sqrt{5} $ satuan luas, maka tentukan semua nilai $ p $ yang cukup!
Penyelesaian :
*). Menentukan hasil persobat semua silang $ \vec{a} \times \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ -3 & 1 & p \end{matrix} \right| \\ & = (-2p\vec{i} + 0 + \vec{k} ) – ( 0 + p\vec{j} + 6\vec{k}) \\ & = -2p\vec{i} – p\vec{j} – 5\vec{k} \\ & = (-2p , -p , -5) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p $ :
$ \begin{align} \text{Luas } & = |\vec{a} \times \vec{b}| \\ 3\sqrt{5} & = \sqrt{(-2p)^2 + (-p)^2 + (-5)^2} \\ 3\sqrt{5} & = \sqrt{4p^2 + p^2 + 25} \\ 3\sqrt{5} & = \sqrt{5p^2 + 25} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 45 & = 5p^2 + 25 \\ 5p^2 & = 20 \\ p^2 & = 4 \\ p & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -2 $ atau $ p = 2 $

3). Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk ibarat gambar berikut,

Tentukan luas bidang ACH!
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan perhitungan, sebaiknya kita identifikasi terlebih dahulu koordinat titiktitik sudut yang diperlukan.
*). Dari gambar yang tersedia kita sanggup menyatakan bahwa koordinat titik
A(5, 0, 0) ; B(5, 6, 0) ; C(0, 6, 0) ; H(0, 0, 4) ; F(5, 6, 4) ; dan G(0, 6, 4).
*). Menentukan vektor $ \vec{AC} $ dan $ \vec{AH} $ :
$ \vec{AC} = \vec{c} – \vec{a} = (-5, 6, 0 ) $
$ \vec{AH} = \vec{h} – \vec{a} = (-5, 0, 4 ) $
*). Menentukan hasil persobat semua silangnya $ \vec{AC} \times \vec{AH} $ :
$ \begin{align} \vec{AC} \times \vec{AH} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 6 & 0 \\ -5 & 0 & 4 \end{matrix} \right| \\ & = (24\vec{i} + 0 + 0) – (0 -20\vec{j} – 30\vec{k}) \\ & = 24\vec{i} + 20\vec{j} + 30\vec{k} \\ & = ( 24 , 20 , 30) \end{align} $
*). Menentukan luas bidang ACH (segitiga) :
$ \begin{align} \text{Luas ACH} & = \frac{1}{2}|\vec{AC} \times \vec{AH}| \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{24^2 + 20^2 + 30^2} \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{1984} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \times 496} \\ & = \frac{1}{2} . 2\sqrt{ 496} = \sqrt{ 496} \end{align} $
Jadi, luas bidang ACH merupakan $ \sqrt{ 496} $ satuan luas.

Luas Bangun Datar Diketahui koordinat titik sudutnya
       Untuk menghitung Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya merupakan dengan memakai rumus yang ibarat dengan determinan matriks. Rumus ini berlaku untuk semua berdiri datar segi-$n$ yang diketahui koordinat titik-titik sudutnya.

Baca Juga:   Menentukan Titik Berat Segitiga

*). Rumus luas segitiga ABC dengan koordinat titik sudutnya ialah $ A(a_1,a_2), B(b_1,b_2) $ , dan $ C(c_1,c_2) $ merupakan
Luas $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas $ = \frac{1}{2} [(\color{white} {a_1b_2+b_1c_2+c_1a_2})-(\color{green} {b_1a_2+c_1b_2+a_1c_2})] $

*). Rumus luas segiempat ABCD dengan koordinat titik sudutnya ialah $ A(a_1,a_2), B(b_1,b_2) , C(c_1,c_2) $ , dan $ D(d_1,d_2) $ merupakan
Luas $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas $ = \frac{1}{2} [(\color{white} {a_1b_2+b_1c_2+c_1d_2+d_1a_2})-(\color{green} {b_1a_2+c_1b_2+d_1c_2+a_1d_2})] $

Catatan :
*). Begitu seterusnya untuk berdiri datar segilima, segienam, dan lainnya berlaku ibarat dengan rumus di atas.
*). Urutan titiknya harus berurutan sesampai kemudian membentuk berdiri yang dihitung luasnya.
*). Dari rumus di atas, satu titik paling kiri kita ulang lagi letakkan di simpulan paling kanan.

Contoh Soal Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar

4). Hitunglah luas segitiga ABC dengan koordinat titik sudutnya $A(-2,1), B(2,3) $, dan $ C(4,-5) $!

Penyelesaian :
*). Koordinatnya : $A(-2,1), B(2,3) $, dan $ C(4,-5) $
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -2 & 2 & 4 & -2 \\ 1 & 3 & -5 & 1 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(-2.3+2.-5+4.1)-(2.1+4.3+-2.-5)] \\ & = \frac{1}{2} [(-6-10+4)-(2+12+10)] \\ & = \frac{1}{2} [(-12)-(24)] \\ & = \frac{1}{2} [-36] = -18 = 18 \end{align} $
(luas selalu bernilai positif).
Jadi, luas segitiga ABC merupakan $ 18 $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

Untuk teladan lainnya ihwal luas berdiri datar yang diketahui koordinat titik sudutnya, silahkan baca pada artikel “Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya

Pembuktian Rumus luas berdiri datar yang diketahui koordinatnya :
$ \clubsuit \, $ Luas segitiga dengan koordinat $ A(a_1,a_2), B(b_1,b_2) $ , dan $ C(c_1,c_2) $
*). Untuk memilih luas segitiganya , kita bentuk dua vektor ialah $ \vec{AB} $ dan $ \vec{AC} $ yang berpotongan di titik A.
$ \vec{AB} = (b_1 – a_1, b_2 – a_2 ) $ dan $ \vec{AC} = (c_1 – a_1, c_2 – a_2) $
*). Karena rumus persobat semua silang hanya berlaku di R$^3$, maka kita tambahkan $ 0 $ pada vektor maing-masing yang searah dengan sumbu $ Z $ ibarat berikut ini :
$ \vec{AB} = (b_1 – a_1, b_2 – a_2 , 0) $ dan $ \vec{AC} = (c_1 – a_1, c_2 – a_2, 0 ) $
*). Menentukan hasil persobat semua silangnya $ \vec{AB} \times \vec{AC} $ :
$ \begin{align} \vec{AB} \times \vec{AC} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_1 – a_1 & b_2 – a_2 & 0 \\ c_1 -a_1 & c_2 – a_2 & 0 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 0 + (b_1-a_1)(c_2-a_2)\vec{k} ) – ( 0 + 0 + (c_1-a_1)(b_2-a_2)\vec{k}) \\ & =[(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(c_1-a_1)(b_2-a_2)]\vec{k} \\ & = (0,0,(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(c_1-a_1)(b_2-a_2)) \end{align} $
*). Menentukan Luas segitiganya :
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta & = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{0^2 + 0^2 + [(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(c_1-a_1)(b_2-a_2)]^2 } \\ & = \frac{1}{2} [(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(c_1-a_1)(b_2-a_2)] \\ & = \frac{1}{2} [(b_1c_2 – b_1a_2 – a_1c_2 + a_1a_2)-(c_1b_2 – c_1a_2 – a_1b_2 + a_1a_2)] \\ & = \frac{1}{2} [b_1c_2 – b_1a_2 – a_1c_2 + a_1a_2 – c_1b_2 + c_1a_2 + a_1b_2 – a_1a_2] \\ & = \frac{1}{2} [b_1c_2 – b_1a_2 – a_1c_2 – c_1b_2 + c_1a_2 + a_1b_2] \\ & = \frac{1}{2} [ a_1b_2 + b_1c_2 + c_1a_2 – b_1a_2 – c_1b_2 – a_1c_2 ] \\ & = \frac{1}{2} [ (a_1b_2 + b_1c_2 + c_1a_2 ) – (b_1a_2 + c_1b_2 + a_1c_2 )] \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \end{align} $
Jadi, terbukti luas segitiga $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| $ .

Baca Juga:   Aplikasi Vektor : Volume Bangkit Ruang

$ \spadesuit \, $ Luas segiempat dan lainnya
       Untuk menerangkan rumus luas segiempat dan segi lainnya, kita cukup menghitung dengan membagi-bagi bangunnya menjadi segitiga-segitiga, kemuadian luasnya kita jumlahkan, dengan sedikit pengaturan maka akan terbukti luas yang kita inginnkan. Silahkan teman-teman coba ya. Semoga berhasil.

       Demikian pembahasan bahan Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “materi vektor tingkat SMA” ialah “aplikasi vektor : Volume berdiri ruang“.