Aplikasi Vektor : Volume Bangkit Ruang

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas bahan Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang yang merupakan salah satu bab dari aplikasi vektor, dimana sebelumnya kita telah membahas aplikasi vektor yang lainnya adalah “aplikasi vektor : jarak titik ke garis” dan “aplikasi vektor : luas bangkit datar“. Dengan mempelajari Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang ini, akan menambah wawasan kepada kita semua bahwa untuk mencari atau menentukan volume bangkit ruang selain dengan memakai rumus volume yang sudah kita pelajari di tingkat SMP, ternyata volume bangkit datar juga sanggup kita hitung dengan memakai konsep vektor. Untuk memudahkan mempelajari bahan Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang ini, teman-teman harus menguasai terlebih dahulu bahan “pengertian vektor dan penulisannya“, “panjang vektor“, “persobat semua dot dua vektor“, “persobat semua silang dua vektor“, dan “proyeksi orthogonal vektor pada vektor“. Salah satu bangkit ruang yang akan kita bahas merupakan Paralel Epipedum , prisma, dan limas dalam Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang ini.

Rumus Aplikasi vektor : Volume Bangun Ruang
$ \spadesuit \, $ Volume Paralel Epipedum
       Perhatikan bangkit ruang di atas. Paralel Epipedum merupakan benda ruang bersisi 6 yang sisi-sisi sejajarnya kongruen dan masing-masing sisinya berupa jajargenjang. Paralel Epipedum terbentuk dari tiga vektor adalah $ \vec{u} $ , $ \vec{v} $ , dan $ \vec{w}$. Rumus volume Paralel Epipedum adalah :
    Volume $ = |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| = |\vec{v}.(\vec{u} \times \vec{w})| = |\vec{w}.(\vec{u} \times \vec{v})| $ .

$ \clubsuit \, $ Volume Limas Segitiga
       Perhatikan gambar limas segitiga di atas yang terbentuk dari tiga vektor adalah $ \vec{u} $ , $ \vec{v} $ , dan $ \vec{w}$. Rumus volume limas segitiga dengan konsep vektor adalah :
    Volume $ = \frac{1}{6} |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| = \frac{1}{6} |\vec{v}.(\vec{u} \times \vec{w})| = \frac{1}{6} |\vec{w}.(\vec{u} \times \vec{v})| $ .

$ \clubsuit \, $ Volume Limas Segiempat
       Volume Limas segiempat dengan ganjal berbentuk persegi, persegi panjang, belah ketupat, atau jajargenjang, dimana limas terbentuk dari tiga vektor adalah $ \vec{u} $ , $ \vec{v} $ , dan $ \vec{w}$ adalah :
    Volume $ = \frac{1}{3} |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| = \frac{1}{3} |\vec{v}.(\vec{u} \times \vec{w})| = \frac{1}{3} |\vec{w}.(\vec{u} \times \vec{v})| $ .

$ \heartsuit \, $ Volume prisma segi empat
       Rumus Volume prisma segi empat (alasnya persegi atau persegi atau belahketupat) sama dengan rumus volume Paralel Epipedum di atas.

Catatan :
*). Bentuk $ \vec{a} \times \vec{b} \, $ merupakan persobat semua silang yang menghasilkan vektor.
*). Bentuk $ \vec{a} . \vec{b} \, $ merupakan persobat semua dot yang menghasilkan skalar.
*). bentuk $ |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| \, $ artinya nilainya selalu positif.
*). Bentuk $ |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| = |\vec{v}.(\vec{u} \times \vec{w})| = |\vec{w}.(\vec{u} \times \vec{v})| \, $ artinya kita sanggup menghitung volumenya dengan menentukan salah satu rumus lantaran karenanya akan sama, misalkan cukup memakai rumus $ |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| $ saja dengan mengerjakan operasi yang didalam kurung terlebih dahulu.

Contoh soal Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang

Baca Juga:   Aplikasi Vektor : Jarak Titik Ke Garis

1). Tentukan volume Paralel Epipedum yang dibuat oleh vektor $ \vec{u} = (3, -1 , 2) $ , $ \vec{v} = (1, 0 , -2) $ , dan $ \vec{w} = (2, 1, 3) $ !
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus $ |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| $.
*). Menentukan hasil $ \vec{v} \times \vec{w} $ :
$ \begin{align} \vec{v} \times \vec{w} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right| \\ & = (0.3.\vec{i} + (-2).2.\vec{j} + 1.1.\vec{k}) – (-2.1.\vec{i} + 1.3.\vec{j} + 0.2.\vec{k}) \\ & = – 4\vec{j} + \vec{k} + 2\vec{i} – 3\vec{j} \\ & = 2\vec{i} – 7\vec{j} + \vec{k} \\ & = ( 2 , -7 , 1) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w}) $
$ \begin{align} \vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w}) & = (3, -1 , 2) . ( 2 , -7 , 1) \\ & = 3.2 + (-1).(-7) + 2.1 \\ & = 6 + 7 + 2 = 15 \end{align} $
*). Menentukan volume Paralel Epipedum
Volume $ = | \vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w}) | = | 15 | = 15 $
Jadi, volume Paralel Epipedum tersebut merupakan 15 satuan volume.

Gambar balok ABCD.EFGH berikut merupakan untuk pola soal nomor 2,3,4, dan 5.

Untuk memudahkan, mari kita daftar titik-titik sudut masing-masing adalah :
A(5, 0, 0) ; B(5, 6, 0) ; C(0, 6, 0) ; D(0,0,0) ; E(5, 0, 4) ;
F(5, 6, 4) ; G(0, 6, 4) ; dan H(0, 0, 4) .

2). Tentukan volume Balok ABCD.EFGH di atas.
Penyelesaian :
Cara I : Rumus volume balok $ = p . l . t $
Pada gambar , $ p = 6, l = 5, t = 4 $.
Volume $ = p.l.t = 6.5.4 = 120 \, $ satuan volume.

Cara II : Aplikasi vektor .
*). Alas balok merupakan ABCD yang terbentuk oleh vektor $ \vec{AB} $ dan $ \vec{AD} $
$ \vec{AB} = (0, 6, 0 ) $ dan $ \vec{AD} = (-5, 0 , 0 ) $
*). Balok ABCD. EFGH terbentuk juga oleh vektor $ \vec{AE} $
$ \vec{AE} = (0, 0, 4) $
*). Volume balok $ = | \vec{AE} . (\vec{AB} \times \vec{AD} ) | $
*). Menentukan hasil $ \vec{AB} \times \vec{AD} $ :
$ \begin{align} \vec{AB} \times \vec{AD} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 6 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 0 + 0) – (0 + 0 -30\vec{k}) \\ & = 30 \vec{k} \\ & = ( 0 , 0 , 30 ) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{AE}.(\vec{AB} \times \vec{AD}) $
$ \begin{align} \vec{AE}.(\vec{AB} \times \vec{AD}) & = (0, 0, 4) . ( 0 , 0 , 30 ) \\ & = 0 + 0 + 120 = 120 \end{align} $
Sesampai kemudian volume balok ABCD.EFGH merupakan 120 satuan volume.
(hasilnya sama dengan cara I ).

3). Pada balok ABCD.EFGH di atas, tentukan volume limas segitiga F.ACH!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut

*). Limas segitiga F.ACH terbentuk dari :
ganjal segitiga ACH dengan $ \vec{AC} = (-5, 6, 0) $ dan $ \vec{AH} = (-5, 0, 4) $
vektor ketiga $ \vec{AF} = (0, 6, 4) $
*). Volume Limas F.ACH $ = \frac{1}{6} | \vec{AF} . (\vec{AC} \times \vec{AH} ) | $
*). Menentukan hasil $ \vec{AC} \times \vec{AH} $ :
$ \begin{align} \vec{AC} \times \vec{AH} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 6 & 0 \\ -5 & 0 & 4 \end{matrix} \right| \\ & = (24\vec{i} + 0 +0) – (0 -20\vec{j} – 30\vec{k}) \\ & = 24\vec{i} + 20\vec{j} + 30 \vec{k} \\ & = (24, 20 , 30 ) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{AF}.(\vec{AC} \times \vec{AH}) $
$ \begin{align} \vec{AF}.(\vec{AC} \times \vec{AH}) & = (0, 6, 4) . (24, 20 , 30 ) \\ & = 0 + 120 + 120 = 240 \end{align} $
*). Volume limas F.ACH :
Volume $ = \frac{1}{6} | \vec{AF} . (\vec{AC} \times \vec{AH} ) | = \frac{1}{6} |240 | = 40 $
Sesampai kemudian volume limas F.ACH merupakan 40 satuan volume.

Baca Juga:   Aplikasi Vektor Pada Bangkit Ruang Dan Datar

4). Pada balok ABCD.EFGH di atas, tentukan volume limas segitiga E.BCD!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut

*). Limas segitiga E.BCD terbentuk dari :
ganjal segitiga BCD dengan $ \vec{BC} = (-5, 0, 0) $ dan $ \vec{BD} = (-5, -6, 0) $
vektor ketiga $ \vec{BE} = (0, -6, 4) $
*). Volume Limas E.BCD $ = \frac{1}{6} | \vec{BE} . (\vec{BC} \times \vec{BD} ) | $
*). Menentukan hasil $ \vec{BC} \times \vec{BD} $ :
$ \begin{align} \vec{BC} \times \vec{BD} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 0 & 0 \\ -5 & -6 & 0 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 0 +30\vec{k}) – (0 + 0 + 0) \\ & = 30 \vec{k} \\ & = (0, 0 , 30 ) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{BE}.(\vec{BC} \times \vec{BD}) $
$ \begin{align} \vec{BE}.(\vec{BC} \times \vec{BD}) & = (0, -6, 4) . (0, 0 , 30 ) \\ & = 0 + 0 + 120 = 120 \end{align} $
*). Volume limas E.BCD :
Volume $ = \frac{1}{6} | \vec{BE}.(\vec{BC} \times \vec{BD}) | = \frac{1}{6} |120 | = 20 $
Sesampai kemudian volume limas E.BCD merupakan 20 satuan volume.

5). Pada balok ABCD.EFGH di atas, tentukan volume limas segiempat A.PQRS dengan titik P, Q, R, dan S berturut-turut terletak ditengah-tengah garis CD, CG, GH, dan DH!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut

Koordinat titik A(5, 0, 0) ; P(0, 3, 0) ; Q(0, 6, 2) : S(0, 0, 2)
*). Limas segiempat A.PQRS terbentuk dari :
ganjal PQRS dengan $ \vec{PQ} = (0, 3, 2) $ dan $ \vec{PS} = (0, -3 , 2) $
vektor ketiga $ \vec{PA} = (5, -3, 0 ) $
*). Volume Limas A.PQRS $ = \frac{1}{3} | \vec{PA} . (\vec{PQ} \times \vec{PS} ) | $
*). Menentukan hasil $ \vec{PQ} \times \vec{PS} $ :
$ \begin{align} \vec{PQ} \times \vec{PS} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & -3 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = (6\vec{i} + 0 +0) – (-6\vec{i} + 0 + 0) \\ & = 12\vec{i} \\ & = (12, 0, 0 ) \end{align} $
*). Menentukan nilai $\vec{PA} . (\vec{PQ} \times \vec{PS} ) $
$ \begin{align} \vec{PA} . (\vec{PQ} \times \vec{PS} ) & = (5, -3, 0 ) . (12, 0, 0 ) \\ & = 60 + 0 + 0 = 60 \end{align} $
*). Volume limas A.PQRS :
Volume $ = \frac{1}{3} | \vec{PA} . (\vec{PQ} \times \vec{PS} )| = \frac{1}{3} |60 | = 20 $
Sesampai kemudian volume limas A.PQRS merupakan 20 satuan volume.

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Rumus Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang :

$ \heartsuit \, $ Volume Paralel Epipedum
       Perhatikan ilustrasi gambar berikut :

*). Alas Paralel Epipedum merupakan jajargenjang yang terbentuk dari vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $.
Luas ganjal $ = | \vec{u} \times \vec{v} | $
*). Persobat semua silang $ \vec{u} \times \vec{v} \, $ menghasilkan vektor normal $ \vec{n} $ yang tegak lurus dengan bidang alas, sesampai kemudian $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{n} $ dan $ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{n}| $
*). Tinggi Paralel Epipedum merupakan panjang hasil proyeksi $ \vec{w} $ pada $ \vec{n} $ adalah :
tinggi $ = \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| $
*). Volume Paralel Epipedum (berbentuk prisma) :
$ \begin{align} \text{Volume } & = \text{Luas ganjal } \times \text{ tinggi} \\ & = | \vec{u} \times \vec{v} | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = | n | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \left| \vec{w}. \vec{n} \right| \\ & = \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| \end{align} $
Jadi, terbukti volume Paralel Epipedum $ = \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| $.

Baca Juga:   Menentukan Titik Berat Segitiga

$ \heartsuit \, $ Volume Limas Segitiga
       Perhatikan ilustrasi gambar berikut :

*). Alas Limas merupakan segitiga yang terbentuk dari vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $.
Luas ganjal $ = \frac{1}{2}| \vec{u} \times \vec{v} | $
*). Persobat semua silang $ \vec{u} \times \vec{v} \, $ menghasilkan vektor normal $ \vec{n} $ yang tegak lurus dengan bidang alas, sesampai kemudian $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{n} $ dan $ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{n}| $
*). Tinggi limas segitiganya merupakan panjang hasil proyeksi $ \vec{w} $ pada $ \vec{n} $ adalah :
tinggi $ = \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| $
*). Volume limas segitiga :
$ \begin{align} \text{Volume } & = \frac{1}{3} \times \text{Luas ganjal } \times \text{ tinggi} \\ & = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}| \vec{u} \times \vec{v} | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \frac{1}{6} \times | n | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \frac{1}{6} \left| \vec{w}. \vec{n} \right| \\ & = \frac{1}{6} \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| \end{align} $
Jadi, terbukti volume limas segitiga $ = \frac{1}{6} \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| $.

$ \heartsuit \, $ Volume Limas Segiempat
       Perhatikan ilustrasi gambar berikut :

*). Alas Limas merupakan segiempat yang terbentuk dari vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $.
Luas ganjal $ = | \vec{u} \times \vec{v} | $
*). Persobat semua silang $ \vec{u} \times \vec{v} \, $ menghasilkan vektor normal $ \vec{n} $ yang tegak lurus dengan bidang alas, sesampai kemudian $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{n} $ dan $ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{n}| $
*). Tinggi limas segitiganya merupakan panjang hasil proyeksi $ \vec{w} $ pada $ \vec{n} $ adalah :
tinggi $ = \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| $
*). Volume limas segiempat :
$ \begin{align} \text{Volume } & = \frac{1}{3} \times \text{Luas ganjal } \times \text{ tinggi} \\ & = \frac{1}{3} \times | \vec{u} \times \vec{v} | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \frac{1}{3} \times | n | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \frac{1}{3} \left| \vec{w}. \vec{n} \right| \\ & = \frac{1}{3} \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| \end{align} $
Jadi, terbukti volume limas segiempat $ = \frac{1}{3} \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| $.

       Demikian pembahasan bahan Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “Materi Vektor tingkat SMA” adalah “Aplikasi vektor : Jarak dua garis bersilangan“.