Asimtot Tegak Dan Mendatar Fungsi Aljabar

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas bahan Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar. Apa sih asimtot itu? Asimtot merupakan suatu garis lurus yang akan didekati oleh suatu kurva baik secara tegak (asimtot tegak) atau secara mendatar (asimtot mendatar) atau mendekati miring (disebut asimtot miring, akan kita pelajari pada bahan lainnya termasuk pada asimtot kurva hiperbola). Garis yang kita sebut asimtot ini akan selalu didekati oleh kurva namun tak pernah bersentuhan atau tak akan berpotongan antara garis dan kurva tersebut di titik jauh tak tersampai kemudian (jaraknya semakin usang semakin kecil mendekati nol). Di sini, kurva yang kita maksud merupakan grafik selain garis lurus. Apakah semua fungsi aljabar terdapat asimtot? Tentuk jawabannya tak. Kita akan coba bahas menyerupai apa syarat suatu fungsi aljabar terdapat asimtot tetak atau asimtot mendatar.

         Sebagai citra bentuk dari Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar, perhatikan grafik dibawah ini dari fungsi $ f(x) = \frac{x+1}{x-2} $. Persamaan asimtot tegaknya merupakan $ x = 2 $ dan persamaan asimtot mendatarnya merupakan $ y = 1 $. Untuk titik-titik jauh tak tersampai kemudian (ujung-ujung grafik lengkung) semakin mendekati asimtotnya.

         Untuk mempermudah mempelajari bahan Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar ini, sebaiknya teman-teman menguasai bahan “grafik persamaan garis lurus“, “limit fungsi aljabar“, dan “limit tak hingga kemudian“. Tentu yang lebih ditekankan di sini merupakan penguasaan bahan limitnya.

Asimtot Tegak Fungsi Aljabar
       Fungsi $ y = f(x) $ terdapat asimtot tegak misalkan $ x = a $ apabila terpenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = +\infty $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = -\infty $ . Artinya terdapat $ x = a $ yang apabila kita cari nilai limit mendakati $ a $ akan menghasilkan nilai $ +\infty $ atau $ -\infty $ (dimana $ a \neq \infty $) . Untuk fungsi aljabar, kondisi ini (terdapat asimtot tegak) apabila fungsinya berbentuk pecahan.

       Fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ terdapat asimtot $ x = a $ apabila $ g(a) = 0 $ dan $ f(a) \neq 0 $, artinya $ x = a $ merupakan akar dari $ g(x) $ yang sebagai penyebutnya dan berbeda dengan akar pembilangnya (INGAT : suatu bilangan dibagi $ 0 $ pada limit kesannya $ \infty$). Suatu fungsi aljabar sanggup terdapat lebih dari satu asimtot tegak.

Asimtot Mendatar Fungsi Aljabar
       Fungsi $ y = f(x) $ terdapat asimtot mendatar misalkan $ y = b $ apabila terpenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $ dengan $ b \neq +\infty $ atau $ b \neq -\infty$. Artinya untuk $ x $ mendekati $ +\infty $ atau $ -\infty $ maka nilai fungsinya akan mendekati nilai konstanta tertentu ialah $ b $. Agar terdapat asimtot mendatar, biasanya fungsinya berbentuk pecahan.

Catatan asimtot mendatar :
i). Cukup terpenuhi salah satu saja ialah $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $, maka $ y = b $ sudah sanggup dikatakan sebagai persamaan asimtot mendatar fungsi $ y = f(x) $.
ii). Karena penghitungannya memakai limit $ x $ mendekati $ +\infty $ atau $ x $ mendekati $ -\infty $ maka ada tiga kecukupan kesannya untuk fungsi berbentuk bagian ialah :
a). pangkat pembilang dan penyebut tertingginya sama, maka ada asimtot mendatarnya,
b). pangkat pembilang lebih kecil dari pangkat penyebutnya, maka ada asimtot mendatarnya ialah $ y = 0 $,
c). pangkat pembilang lebih besar dari pangkat penyebutnya, maka ada tak ada asimtot mendatarnya, akan tenamun kecukupan besar terdapat asimtot miring.

Baca Juga:   Asimtot Tegak Dan Mendatar Fungsi Trigonometri

Contoh Soal Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar :

1). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar fungsi $ f(x) = \frac{x+1}{x-2} $ apabila ada!
Penyelesaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya ialah $ x – 2 $ yang terdapat akar $ x = 2 $. Sesampai kemudian persamaan asimtot tegaknya merupakan $ x = 2 $ lantaran $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \, \frac{x+1}{x-2} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to + \infty } \, \frac{x+1}{x-2} = 1 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ – \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to – \infty } \, \frac{x+1}{x-2} = 1 $
Sesampai kemudian persamaan asimtot mendatarnya merupakan $ y = 1 $.

Catatan :
Untuk memudahkan dalam memilih persamaan asimtot mendatarnya, kita harus benar-benar menguasai bahan limt tak hingga kemudian yang sanggup teman-teman baca pada artikel “penyelesaian limit tak hingga kemudian”.

2). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{3}{x^2 – 3x – 10 } $ !
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya ialah $ x^2 – 3x – 10 = (x+2)(x-5) $ yang terdapat akar $ x = -2 $ dan $ x = 5 $. Sesampai kemudian persamaan asimtot tegaknya merupakan $ x = -2 $ dan $ x = 5 $ lantaran $ \displaystyle \lim_{x \to – 2 } \, \frac{3}{x^2 – 3x – 10 } = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 5 } \, \frac{3}{x^2 – 3x – 10 } = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ +\infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \, \frac{3}{x^2 – 3x – 10 } = \frac{3}{\infty} = 0 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ -\infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } \, \frac{3}{x^2 – 3x – 10 } = \frac{3}{\infty} = 0 $
Sesampai kemudian persamaan asimtot mendatarnya merupakan $ y = 0 $.

3). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{3x^2 + x – 5}{x^2 + 2x} $ !
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya ialah $ x^2 + 2x = x(x+2) $ yang terdapat akar $ x = -2 $ dan $ x = 0 $. Sesampai kemudian persamaan asimtot tegaknya merupakan $ x = -2 $ dan $ x = 0 $ lantaran $ \displaystyle \lim_{x \to – 2 } \, \frac{3x^2 + x – 5}{x^2 + 2x} = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{3x^2 + x – 5}{x^2 + 2x} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \, \frac{3x^2 + x – 5}{x^2 + 2x} = \frac{3}{1} = 3 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ – \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } \, \frac{3x^2 + x – 5}{x^2 + 2x} = \frac{3}{1} = 3 $
Sesampai kemudian persamaan asimtot mendatarnya merupakan $ y = 3 $.

Baca Juga:   Asimtot Miring Fungsi Aljabar

4). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{x^3+1}{x-1} $!
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya ialah $ (x-1) $ yang terdapat akar $ x = 1 $ . Sesampai kemudian persamaan asimtot tegaknya merupakan $ x = 1 $ lantaran $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{x^3+1}{x-1} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x^3+1}{x-1} = \infty $
Sesampai kemudian fungsi $ f(x) = \frac{x^3+1}{x-1} $ tak terdapat asimtot mendatar.

5). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{x^2 – 2x – 3}{x+1} $!
Penyelsaian :
*). Coba kita simpelkan dahulu fungsinya :
$ f(x) = \frac{x^2 – 2x – 3}{x+1} = \frac{(x+1)(x-3)}{x+1} = x – 3 $.
Ternyata fungsinya berbentuk $ f(x) = x – 3 $ yang artinya bukan berbentuk pecahan, sesampai kemudian tak terdapat persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar.

6). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{x – 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} $!
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya ialah $ x^2-3x+2 = (x-1)(x-2) $ yang terdapat akar $ x = 1 $ dan $ x = 2 $ . Sesampai kemudian persamaan asimtot tegaknya merupakan $ x = 1 $ dan $ x = 2 $ lantaran $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{x – 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \, \frac{x – 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to + \infty } \, \frac{x – 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = 1 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ – \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to – \infty } \, \frac{x – 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = -1 $
Sesampai kemudian persamaan asimtot mendatarnya merupakan $ y = -1 $ dan $ y = 1 $.

7). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \sqrt{4x^2 – 2x + 1} – \sqrt{4x^2 + 2x – 5} $!
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Fungsi $ f(x) = \sqrt{4x^2 – 2x + 1} – \sqrt{4x^2 + 2x – 5} $ tak terdapat asimtot tegak $ x = a $ lantaran tak ada yang memenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to a } \, \sqrt{4x^2 – 2x + 1} – \sqrt{4x^2 + 2x – 5} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Kita ubah dahulu menjadi bentuk bagian dengan merasionalkan :
$ \begin{align} f(x) & = \sqrt{4x^2 – 2x + 1} – \sqrt{4x^2 + 2x – 5} \times \frac{\sqrt{4x^2 – 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x – 5} }{\sqrt{4x^2 – 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x – 5} } \\ f(x) & = \frac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2 – 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x – 5} } \end{align} $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to + \infty } \, \frac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2 – 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x – 5} } = \frac{-4}{2.2} = -1 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ – \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to – \infty } \, \frac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2 – 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x – 5} } = \frac{4}{2.2} = 1 $
Sesampai kemudian persamaan asimtot mendatarnya merupakan $ y = -1 $ dan $ y = 1 $.

Baca Juga:   Persamaan Asimtot Hiperbola

       Soal-soal untuk memilih Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar ternyata dikeluarkan pada SBMPTN 2019 (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) untuk matematika IPA atau saintek. Berikut admin kami saapabilan 4 Soal SBMPTN 2019 berkaitan bahan asimtot tegak dan asimtot mendatar fungsi aljabar, silahkan teman-teman mencobanya. Jika kesulitan, maka teman-teman sanggup ikuti link pembahasan disetiap soalnya.

Nomor 12, SBMTPN 2019 Kode 165

Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{ax+5}{\sqrt{x^2+bx+1}} $ dengan $ a > 0 $ dan $ b < 0 $. Jika grafik fngsi $ f $ memiliki satu asimtot tegak dan salah satu asimtot datarnya merupakan $ y = -3 $ , maka $ a + 2b $ merupakan …..
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

Nomor 12, SBMPTN 2019 Kode 166

Jika kurva $ y = \frac{x^3 – 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} $ memiliki dua asimtot tegak, maka asimtot datar dari kurva tersebut merupakan ….
A). $ y = 1 \, $ B). $ y = \frac{1}{2} \, $
C). $ y=-\frac{1}{2} \, $ D). $ y = -1 \, $
E). $ y = -2 $

Nomor 12, SBMPTN 2019 Kode 167

Di antara pilihan berikut, kurva $ y = \frac{x^3+x^2+1}{x^3+10} $ memotong asimtot datarnya di titik $ x = …. $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

Nomor 12, SBMPTN 2019 Kode 168

Grafik fungsi $ f(x) = \frac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)} $ , $ k $ bilangan asli, memiliki satu asimtot tegak apabila $ k = …. $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

       Demikian pembahasan bahan Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “Asimtot miring Fungsi Aljabar” serta “Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri“.