Asimtot Tegak Dan Mendatar Fungsi Trigonometri

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari artikel “asimtot tegak dan mendatar fungsi aljabar” dan “asimtot miring fungsi”, pada artikel ini kita akan lanjutkan pembahasan bahan Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri. Sebagaimana yang telah kita ketahui bersama, asimtot merupakan sebuah garis lurus yang akan didekati (tak bersentuhan) oleh sebuah kurva di titik jauh tak hingga kemudian. Ada tiga jenis asimtot yakni asimtot tegak, asimtot mendatar, dan asimtot miring. Nah, yang akan kita bahas khusus dua asimtot pertama yakni tegak dan mendatar khusus fungsi trigonometri. Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri memang taklah mudah, namun jangan khawatir saja teman-teman, kita tak perlu menggambar kurva fungsi trigonometrinya, kita eksklusif gunakan analisa aljabar untuk mencari Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri.

         Untuk mempermudah mempelajari bahan Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri ini, sebaiknya teman-teman menguasai bahan “Penyelesaian Persamaan Trigonometri “, “limit fungsi trigonometri“, dan “limit tak hingga lalu fungsi trigonometri”. Tentu yang lebih ditekankan di sini merupakan penguasaan bahan limitnya.

Asimtot Tegak Fungsi Trigonometri
       Fungsi $ y = f(x) $ terdapat asimtot tegak misalkan $ x = a $ apabila terpenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = +\infty $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = -\infty $ . Artinya terdapat $ x = a $ yang apabila kita cari nilai limit mendakati $ a $ akan menghasilkan nilai $ +\infty $ atau $ -\infty $ (dimana $ a \neq \infty $) .

       Fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ terdapat asimtot $ x = a $ apabila $ g(a) = 0 $ dan $ f(a) \neq 0 $, artinya $ x = a $ merupakan akar dari $ g(x) $ yang sebagai penyebutnya dan berbeda dengan akar pembilangnya (INGAT : suatu bilangan dibagi $ 0 $ pada limit akhirnya $ \infty$). Suatu fungsi Trigonometri sanggup terdapat lebih dari satu asimtot tegak.

Asimtot Mendatar Fungsi Trigonometri
       Fungsi Trigonometri $ y = f(x) $ terdapat asimtot mendatar misalkan $ y = b $ apabila terpenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $ dengan $ b \neq +\infty $ atau $ b \neq -\infty$. Artinya untuk $ x $ mendekati $ +\infty $ atau $ -\infty $ maka nilai fungsinya akan mendekati nilai konstanta tertentu yakni $ b $. Agar terdapat asimtot mendatar, biasanya fungsinya berbentuk pecahan.

Catatan asimtot mendatar :
Cukup terpenuhi salah satu saja yakni $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $, maka $ y = b $ sudah sanggup dikatakan sebagai persamaan asimtot mendatar fungsi $ y = f(x) $.

Baca Juga:   Asimtot Tegak Dan Mendatar Fungsi Aljabar

Contoh Soal Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri :

1). Tentukan persamaan asimtot tegak dari fungsi trigonometri $ f(x) = \tan x $!
Penyelesaian :
*). Penyelesaian bentuk : $ \cos x = \cos \theta $ merupakan
$ x = \pm \theta + k.2\pi $
*). Menentukan Asimtot tegaknya :
Fungsi $ f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ , dengan penyebut $ \cos x $ akan bernilai $ 0 $ saat :
$ \begin{align} \cos x & = 0 \\ \cos x & = \cos \frac{\pi}{2} \\ x & = \pm \frac{\pi}{2} + k.2\pi \end{align} $
Artinya persamaan asimtot tegaknya merupakan $ x = \pm \frac{\pi}{2} + k.2\pi $ untuk $ k $ bilangan bulat, lantaran $ \displaystyle \lim_{x \to \pm \frac{\pi}{2} + k.2\pi } \, \tan x = \pm \infty $.

Catatan :
Untuk memudahkan dalam memilih persamaan asimtot tegak fungsi trigonometri, kita harus benar-benar menguasai bahan persamaan trigonometri yang sanggup teman-teman baca pada artikel “penyelesaian persamaan trigonometri“.

2). Tentukan persamaan asimtot tegak dari fungsi trigonometri $ f(x) = \frac{1 – \sin x }{2\sin x + 1} $!
Penyelesaian :
*). Penyelesaian bentuk : $ \sin x = \sin \theta $ merupakan
$ x = \theta + k.2\pi \, $ dan $ x = (\pi – \theta ) + k.2\pi $
*). Menentukan Asimtot tegaknya :
Fungsi $ f(x) = \frac{1 – \sin x }{2\sin x + 1} $, dengan penyebut $ 2\sin x + 1 $ akan bernilai $ 0 $ saat :
$ \begin{align} 2\sin x + 1 & = 0 \\ 2\sin x & = -1 \\ \sin x & = – \frac{1}{2} \\ \sin x & = \sin \frac{7\pi}{6} \end{align} $
Solusinya merupakan $ x = \frac{7\pi}{6} + k.2\pi \, $ atau
$ x = (\pi – \frac{7\pi}{6} ) + k.2\pi = -\frac{1}{6}\pi + k.2\pi = (2k – \frac{1}{6})\pi $ .
Artinya persamaan asimtot tegaknya merupakan $ x = \frac{7\pi}{6} + k.2\pi \, $ dan $ x = (2k – \frac{1}{6})\pi $ untuk $ k $ bilangan bulat.

3). Tentukan persamaan asimtot mendatar dari fungsi trigonometri $ f(x) = x . \tan \frac{1}{x} $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , sesampai lalu $ x = \frac{1}{y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x \tan \frac{1}{x} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1}{y} \tan y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ \tan y }{y} \\ & = 1 \end{align} $
Artinya persamaan asimtot mendatarnya merupakan $ y = 1 $.

Baca Juga:   Asimtot Miring Fungsi Aljabar

4). Tentukan persamaan asimtot mendatar dari fungsi trigonometri $ f(x) = \tan \frac{5}{x} . \csc \frac{2}{x} $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \tan \frac{5}{x} . \csc \frac{2}{x} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \tan 5y . \csc 2y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \tan 5y . \frac{1}{\sin 2y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\tan 5y}{\sin 2y} \\ & = \frac{5}{2} \end{align} $
Artinya persamaan asimtot mendatarnya merupakan $ y = \frac{5}{2} $.

5). Tentukan persamaan asimtot mendatar dari fungsi trigonometri $ f(x) = \frac{\cot \frac{1}{2x}}{\csc \frac{3}{x}} $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\cot \frac{1}{2x}}{\csc \frac{3}{x}} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\cot \frac{1}{2}y}{\csc 3y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\frac{1}{\tan \frac{1}{2}y}}{\frac{1}{\sin 3y}} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin 3y}{\tan \frac{1}{2}y} \\ & = \frac{3}{ \frac{1}{2} } = 6 \end{align} $
Artinya persamaan asimtot mendatarnya merupakan $ y = 6 $.

Catatan :
Untuk mempermudah dalam memilih persamaan asimtot mendatar suatu bentuk fungsi trigonometri, teman-teman harus menguasai bahan limit tak hingga lalu fungsi trigonometri yang sanggup dibaca pada artikel “limit tak hingga lalu fungsi trigonometri“.

       Demikian pembahasan bahan Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “Asimtot miring Fungsi Aljabar” serta “Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar“.