Aturan Perkalian, Hukum Penjumlahan, Dan Faktorial

Posted on

         Pondok Soal.com – Halow teman-teman, bagaimana kabarnya hari ini? Mudah-mudahan baik-baik saja.
Pada artikel kali ini kita akan mempelajari bahan yang berkaitan dengan kaidah pencacahan ialah menentukan kayanya cara dalam menyusun suatu percobaan. Kaidah pencacahan terdiri dari aturan persobat semua dan hukum penjumlahan, permutasi dan kombinasi.

         Untuk khusus pada hari ini ini, kita akan membahas lebih mendetail wacana Aturan Persobat semua, Aturan Penjumlahan, dan Faktorial. Materi faktorial digunakan untuk duduk kasus permutasi dan kombinasi.

Aturan Persobat semua pada kaidah pencacahan
       Jika terdapat $ n \, $ unsur yang tersedia,
$k_1 = \, $ kaya cara untuk menyusun unsur pertama
$ k_2 = \, $ kaya cara untuk menyusun unsur kedua sesudah unsur pertama tersusun
$ k_3 = \, $ kaya cara untuk menyusun unsur ketiga sesudah unsur kedua tersusun
dan seterusnya hingga
$k_n = \, $ kaya cara untuk menyusun unsur ke-$n$ sesudah objek $ n – 1 $ unsur sebelumnya tersusun
Maka kaya cara untuk menyusun $ n \, $ unsur yang tersedia merupakan:
$ k_1 \times k_2 \times k_3 \times … \times k_n $

Catatan :
Aturan persobat semua biasanya digunakan untuk sedikit kejadian yang semuanya “SEKALIGUS TERJADI” dan biasanya memakai kata penghubung “DAN”

Contoh soal penggunaan hukum persobat semua :
1). Budi memiliki 3 buah baju berwarna putih, cokelat, dan batik. Ia juga terdapat 2 buah celana warna hitam dan cokelat yang berbeda. Ada berapa pasang baju dan celana sanggup digunakan dengan pasangan yang berbeda?
Penyelesaian :
*). Cara I : Mendaftarkan semua pasangan dengan diagram
Berikut diagram kecukupan pasangan baju dan celana.

Dari diagram di atas, kayanya pasangan baju dan celana yang sanggup digunakan oleh Budi sekaya 6 pasang ialah (baju putih, celana hitam), (baju putih, celana cokelat), (baju batik, celana hitam), (baju batik, celana cokelat), (baju cokelat, celana hitam), dan (baju cokelat, celana cokelat).

*). Cara II : Menggunakan hukum persobat semua.
Pada soal ini kita akan menentukan kayanya pasangan baju dan celana, artinya setiap pasangan harus memuat baju dan celana sesampai kemudian SEKALIGUS kedua-duanya (baju dan celana) harus ada sesampai kemudian kita sanggup memakai hukum persobat semua secara langsung.
*). Unsur pertama merupakan baju,
ada 3 pilihan baju, sesampai kemudian $ k_1 = 3 $.
*). Unsur kedua merupakan celana,
ada 2 pilihan celana, sesampai kemudian $ k_2 = 2 $.
*). Total pasangan baju dan celanan :
Total pasangan $ = k_1 \times k_2 = 3 \times 2 = 6 $.
Jadi, kayanya pasangan baju dan celana ada 6 pasang berbeda.

2). Iwan terdapat 5 jenis baju yang berbeda, 2 jenis celana yang berbeda, 2 topi yang berbeda, 3 dasi yang berbeda, dan 4 pasang sepatu serta kaosnya. Tentukan ada berapa kaya cara Iwan memakai seragam sekolah apabila semua jenis harus dipakai?
Penyelesaian :
Total seragam yang cukup terbentuk merupakan
$ 5 \times 2 \times 2 \times 3 \times 4 = 240 \, $ pilihan.
Jadi, ada 240 pilihan seragam yang sanggup digunakan oleh Iwan.

Baca Juga:   Kombinasi Pada Peluang Dan Contohnya

3). Untuk menuju kota C dari kota A harus melewati kota B. Dari kota A ke kota B melewati 4 jalur dan dari kota B ke kota C ada 3 jalur. Dengan berapa jalur Budi sanggup pergi dari kota A ke kota C?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan hukum persobat semua lantaran jalur AB dan BC harus ditempuh semua, artinya ketiga jalur SEKALIGUS dilewati untuk perjalanan dari kota A ke kota C.
Total jalur $ = 4 \times 3 = 12 \, $ jalur.

4). Seorang ingin menciptakankan plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu tak boleh ada angka yang sama. Berapa kaya plat nomor sanggup dibuat?
Penyelesaian :
*). Plat nomor tak boleh ada angka yang berulang, artinya angka yang sudah digunakan tak boleh digunakan lagi. Misalkan palat nomor 2113 tak boleh lantaran angka 1 berulang. Contoh yang boleh merupakan plat nomor 2134, 1234, 1235, dan lainnya.
*). Misalkan kita buat 4 buah kotak kosong ialah kotak (a), (b), (c) dan (d) lantaran nomor kendaraan itu terdiri dari 4 angka.
Berikut cara pengisian masing-masing kotak :
Pilihan angkanya merupakan 1, 2, 3, 4, 5, artinya totalnya ada 5 pilihan angka.
i). Kotak (a), sanggup diisi angka 1, 2, 3, 4, atau 5 sesampai kemudian ada 5 cara.
ii). Kotak (b), sanggup diisi dengan 4 pilihan bilangan lantaran satu bilangan sudah digunakan untuk kotak (a).
iii). Kotak (c), sanggup diisi dengan 3 pilihan bilangan lantaran dua bilangan sudah digunakan untuk kotak (a) dan (b).
iv). Kotak (d), sanggup diisi dengan 2 pilihan bilangan lantaran tiga bilangan sudah digunakan untuk kotak (a), (b), dan (c).
Sesampai kemudian gambar kompleks kotaknya merupakan :

Banyaknya plat nomor $ = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120 \, $ plat nomor.
Jadi, kayanya plat nomor yang sanggup dibentuk merupakan 120 plat nomor.

5). Seorang ingin menciptakankan plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu boleh ada angka yang sama. Berapa kaya plat nomor sanggup dibuat?
Penyelesaian :
Soal ini gotong royong seakan-akan dengan soal nomor (4), hanya saja syaratnya yang dibedakan sedikt.
Plat nomor boleh ada angka yang sama, artinya angka yang sudah digunakan boleh digunakan lagi.
*). Kita buat 4 kota lantaran plat nomor terdiri dari 4 angka saja.
Pilihan angkarnya merupakan 1, 2, 3, 4, 5, artinya totalnya ada 5 pilihan angka.
Cara pengisian setiap kotak :
i). Kotak I, sanggup diisi angka 1, 2, 3, 4, atau 5 sesampai kemudian ada 5 cara.
ii). Kotak II, sanggup diisi dengan 5 pilihan angka juga lantaran angka yang sudah digunakan pada kotak I sanggup digunakan lagi pada kotak II. Begitu juga dengan kotak III dan kotak IV ada 5 pilihan angka masing-masing.
Banyaknya plat nomor $ = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625 \, $ plat nomor.
Jadi, kayanya plat nomor yang sanggup dibentuk merupakan 625 plat nomor.

Aturan Penjumlahan pada kaidah pencacahan
       Jika terdapat $ n \, $ insiden yang saling lepas,
$k_1 = \, $ kaya cara pada insiden pertama
$ k_2 = \, $ kaya cara pada insiden kedua
$ k_3 = \, $ kaya cara pada insiden ketiga
dan seterusnya hingga
$k_n = \, $ kaya cara pada insiden ke-$n$
Maka kaya cara untuk $ n \, $ buah insiden secara keseluruhan merupakan:
$ k_1 + k_2 + k_3 + … + k_n $

Baca Juga:   Permutasi Pada Peluang Dan Contohnya

Catatan :
Aturan penjumlahan biasanya digunakan untuk sedikit kejadian yang “TIDAK SEKALIGUS TERJADI” artinya yang terjadi hanya salah satu saja atau sanggup dibilang “PILIHAN” dan biasanya memakai kata penghubung “ATAU”

Contoh soal hukum penjumlahan :
6). Di rumahnya Wati terdapat 3 jenis sepeda berbeda, 2 jenis sepeda motor berbeda, dan 2 kendaraan beroda empat yang berbeda. Jika Wati ingin berpergian, ada berapa cara Wati memakai kendaraan yang ada di rumahnya?
Penyelesaian :
Pada masalah ini, ada tiga pilihan kendaraan ialah sepeda, sepeda motor, dan mobil. Wati tak cukup memakai SEKALIGUS ketiga jenis kendaraan tersebut yang artinya Wati harus menentukan salah satu jenis kendaraan saja. Sesampai kemudian kita sanggup memakai hukum penjumlahan pada masalah ini.
*). Menentukan kaya cara memakai kendaraan
Total cara $ = 3 + 2 + 2 = 7 \, $ cara.
Jadi, ada 7 cara pilihan kendaraan yang sanggup digunakan oleh Wati.

7). Dari Kota A menuju kota D sanggup melalui sedikit jalur pada gambar di bawah ini. Berapa kaya kecukupan jalur yang sanggup dilalui dari Kota A ke Kota D?

Penyelesaian :
*). Untuk perjalanan dari kota A ke kota D sanggup melalui kota B atau kota C.
Beberapa jalur yang sanggup ditempuh :
Jalur Pertama : jalurnya A – B – D
A – B ada 4 jalan dan B – D ada 3 jalan,
toal jalur pertama $ = 4 \times 3 = 12 $
Jalur Kedua : jalurnya A – C – D
A – C ada 3 jalan dan C – D ada 3 jalan,
toal jalur kedua $ = 3 \times 3 = 9 $
*). Keseluruhan jalur yang ditempuh merupakan melalui jalur pertama atau jalur kedua sesampai kemudian sanggup memakai hukum penjumlahan.
Total jalur = jalur pertama $ + \, $ jalur kedua = $ 12 + 9 = 21 \, $.
Jadi, kaya kecukupan jalur yang ditempuh dari A ke D ada 21 jalur.

Definisi dan Notasi Faktorial
       Misalkan ada $ n \, $ bilangan asli,
Notasi faktorial merupakan $ n! \, $ dibaca “$n \, $ faktorial”.
Cara penghitungannya :
$ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times … \times 3 \times 2 \times 1 $
dengan $ 0! = 1 $.

Contoh soal faktorial :
8). Tentukan nilai faktorial berikut ini,
a). 5!
b). 3!
c). 6!
d). $ \frac{7!}{5!} $
e). $ 3! \times 2 ! $
f). $ \frac{8!}{3! \times 6!} $
Penyelesaian :
a). $ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $
b). $ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 $
c). $ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 $
d). $ \frac{7!}{5!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{5!} = 7 \times 6 = 42 $
e). $ 3! \times 2 ! = (3 \times 2 \times 1 ) \times ( 2 \times 1) = 6 \times 2 = 12 $
f). $ \frac{8!}{3! \times 6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{(3 \times 2 \times 1) \times 6!} = \frac{8 \times 7 }{(3 \times 2 \times 1) } = \frac{28}{3} $

Baca Juga:   Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton)

9). Nyatakan bentuk berikut dalam bentuk faktorial :
a). $ 4 \times 5 \times 6 $
b). $ \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3 \times 4} $
Penyelesaian :
a). $ \begin{align} 4 \times 5 \times 6 = \frac{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6}{1 \times 2 \times 3 } = \frac{6!}{3!} \end{align} $
b). $ \begin{align} \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3 \times 4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(1 \times 2 \times 3 \times 4) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) } = \frac{8!}{4! \times 4!} \end{align} $

10). Hitunglah nilai faktorial dari $ \frac{5}{7!} – \frac{1}{6!} + \frac{24}{8!} $
Penyelesaian :
*). Karena penyebutnya ada tiga jenis, maka kemunngkinan jawabannya ada 3 bentuk yang nilainya tetap sama.
$ \begin{align} \frac{5}{7!} – \frac{1}{6!} + \frac{10}{8!} & = \frac{8 \times 5}{8 \times 7!} – \frac{8 \times 7 \times 1 }{8 \times 7 \times 6!} + \frac{24}{8!} \\ & = \frac{40}{8!} – \frac{56 }{8!} + \frac{24}{8!} \\ & = \frac{40 – 56 + 24}{8!} \\ & = \frac{8}{8!} \\ & = \frac{8}{8 \times 7!} \\ & = \frac{1}{7!} \\ & = \frac{1}{7 \times 6!} \\ \end{align} $
Makara kesannya merupakan $ \frac{8}{8!} \, $ atau $ \frac{1}{7!} \, $ atau $ \frac{1}{7 \times 6!} $.

11). Tentukan nilai $ n \, $ , apabila $ \frac{n! – (n-2)!}{(n-1)!} = 1 $
Penyelesaian :
$ \begin{align} \frac{n! – (n-2)!}{(n-1)!} & = 1 \\ \frac{n \times (n-1) \times (n-2)! – (n-2)!}{(n-1) \times (n-2)!} & = 1 \\ \frac{n \times (n-1) – 1}{(n-1) } & = 1 \\ \frac{(n^2 – n ) – 1}{(n-1) } & = 1 \\ n^2 – n – 1 & = n – 1 \\ n^2 – 2n & = 0 \\ n(n-2) & = 0 \\ n = 0 \vee n = 2 \end{align} $
Yang memenuhi merupakan untuk $ n = 2 $ .
Jadi, diperoleh nilai $ n = 2 $.