Aturan Rantai Turunan Fungsi

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel kali ini kita akan membahas bahan Aturan Rantai Turunan Fungsi. Sebelumnya kita telah membahas bahan “Turunan Fungsi Aljabar“, dan rumus-rumus dasar turunan fungsi aljabar memakai aturan rantai turunan fungsi. Aturan rantai turunan fungsi kita gunakan untuk fungsi yang bergantung dari fungsi lainnya.

Penterangan Aturan Rantai Turunan Fungsi
       Misalkan ada fungsi $ y = f[g(x)] \, $ , kita akan memilih turunannya dengan hukum rantai.
Misalkan $ z = g(x) , \, $ maka fungsinya menjadi : $ y = f[g(x)] \rightarrow y = f[z] $ .
Untuk $ z = g(x) \rightarrow z^\prime = \frac{dz}{dx} = g^\prime (x) $
Untuk $ y = f[z] \rightarrow y^\prime = \frac{dy}{dz} = f^\prime [z] = f^\prime [g(x)] $
Sesampai lalu turunan dari $ y = f[g(x)] \, $ dengan hukum rantai :
$ \begin{align} y^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx} = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) \end{align} $

       Turunan $ y = [g(x)]^n \, $ dengan hukum rantai :
Misalkan $ z = g(x), \, $ maka fungsinya menjadi $ y = [z]^n $
$ z = g(x) \rightarrow z^\prime = \frac{dz}{dx} = g^\prime (x) $
$ y = z^n \rightarrow y^\prime = \frac{dy}{dz} = n.z^{n-1} = n[g(x)]^{n-1} $
Sesampai lalu turunan dari $ y = [g(x)]^n \, $ dengan hukum rantai :
$ \begin{align} y^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx} = n[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \end{align} $

Contoh :
1). Tentukan turunan fungsi $ y = (x^3 – 2x + 2)^{2019} \, $ dan nilai $ f^\prime (1) $
Penyelesaian :
*). Misalkan $ z = x^3 – 2x + 2 \rightarrow \frac{dz}{dx} = 3x^2 – 2 $
Sesampai lalu fungsinya : $ y = z^{2019} \rightarrow \frac{dy}{dz} = 2019z^{2014} = 2019(x^3-2x+2)^{2014} $
*). Turunan fungsi $ y = (x^3 – 2x + 2)^{2019} \, $ dengan hukum rantai :
$ \begin{align} y^\prime = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}.\frac{dz}{dx} = 2019(x^3-2x+2)^{2014} . (3x^2 – 2) \end{align} $
Artinya $ f^\prime (x) = 2019(x^3-2x+2)^{2014} . (3x^2 – 2) $
*). Menentukan nilai $ f^\prime (1) $
$ f^\prime (1) = 2019(1^3-2.1+2)^{2014} . (3.1^2 – 2) = 2019(1)^{2014}.1 = 2019 $
Jadi, nilai $ f^\prime (1) = 2019 $

2). Tentukan nilai $ g^\prime (1) \, $ dari fungsi $ g(2x-3) = 2x^2.f(x^2-1) \, $ apabila diketahui $ f(3) = -2 \, $ dan $ f^\prime (3) = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Kita turunkan bentuk $ g(2x-3) = 2x^2.f(x^2-1) \, $ dari kedua ruas,
Turunan ruas kiri : $ y = g(2x-3) \rightarrow y^\prime = g^\prime (2x-3) . 2 = 2g^\prime (2x-3) $
Turunan ruas kanan : $ y = 2x^2 . f(x^2 – 1) = U.V $
Misalkan :
$ U = 2x^2 \rightarrow U^\prime = 4x $
$ V = f(x^2 – 1) \rightarrow V^\prime = f^\prime (x^2 -1) . 2x = 2xf^\prime (x^2 -1 ) $
Sesampai lalu turunan ruas kanan :
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime.V + U.V^\prime = 4x.f(x^2 -1) + 2x^2. 2xf^\prime (x^2 -1 ) $
*). Yang ditanyakan $ g^\prime (1) \, $ dari $ g^\prime (2x-3 ) \, $ artinya $ 2x – 3 = 1 \rightarrow x = 2 $ .
*). Substitusi $ x = 2 \, $ ke turunan kedua ruasnya :
$ \begin{align} g(2x-3) & = 2x^2.f(x^2-1) \, \, \, \, \, \, \text{(turunkan kedua ruas)} \\ 2g^\prime (2x-3) & = 4x.f(x^2 -1) + 2x^2. 2xf^\prime (x^2 -1 ) \\ 2g^\prime (2x-3) & = 4x.f(x^2 -1) + 4x^3.f^\prime (x^2 -1 ) \, \, \, \, \, \, \text{(substitusi } x = 2 ) \\ 2g^\prime (2.2-3) & = 4.2.f(2^2 -1) + 4.2^3.f^\prime (2^2 -1 ) \\ 2g^\prime (1) & = 8f(3) + 32f^\prime (3 ) \\ 2g^\prime (1) & = 8.(-2) + 32. 1 \\ 2g^\prime (1) & = -16 + 32 \\ 2g^\prime (1) & = 16 \\ g^\prime (1) & = \frac{16}{2} = 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ g^\prime (1) = 8 $

Baca Juga:   Menggambar Grafik Fungsi Memakai Turunan

3). Diketahui $ f(1) = 1 \, $ dan $ f^\prime (1) = 2 \, $ ,
tentukan nilai $ g^\prime (1) \, $ dari fungsi $ g(x) = (f(f(f(f(f(f(x))))))) $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan $ g(x) \, $ dengan hukum rantai,
Misalkan :
$ z = f(x) \rightarrow \frac{dz}{dx} = f^\prime (x) $
Nilai $ f^\prime (1) = 2 $
$ m = f(f(x)) = f(z) \rightarrow \frac{dm}{dz} = f^\prime (z) = f^\prime (f(x)) $
Nilai $ f^\prime (f(1 )) = f^\prime (1) = 2 $
$ n = f(f(f(x))) = f(m) \rightarrow \frac{dn}{dm} = f^\prime (m) = f^\prime (f(f(x))) $
Nilai $ f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f(1)) = f^\prime (1) = 2 $
$ p = f(f(f(f(x)))) = f(n) \rightarrow \frac{dp}{dn} = f^\prime (n) = f^\prime (f(f(f(x)))) $
Nilai $ f^\prime (f(f(f(1)))) = f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f( 1)) = f^\prime (1) = 2 $
$ q = f(f(f(f(f(x))))) = f(p) \rightarrow \frac{dq}{dp} = f^\prime (p) = f^\prime (f(f(f(f(x))))) $
Nilai $ f^\prime (f(f(f(f(1))))) = f^\prime (f(f(f(1)))) = f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f(1)) = f^\prime (1) = 2 $
$ y = f(f(f(f(f(f(x)))))) = f(q) \rightarrow \frac{dy}{dq} = f^\prime (q) = f^\prime (f(f(f(f(f(x)))))) $
Nilai $ f^\prime (f(f(f(f(f(1)))))) = f^\prime (f(f(f(f(1))))) = f^\prime (f(f(f(1)))) $
$ = f^\prime (f(f(1))) = f^\prime (f(1)) = f^\prime (1) = 2 $
*). Sesampai lalu turunanan fungsi $ g(x) = (f(f(f(f(f(f(x))))))) \, $ merupakan
$ \begin{align} g^\prime (x) & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dq} . \frac{dq}{dp}.\frac{dp}{dn} . \frac{dn}{dm}.\frac{dm}{dz}.\frac{dz}{dx} \\ g^\prime (x) & = f^\prime (f(f(f(f(f(x)))))) \times f^\prime (f(f(f(f(x))))) \times f^\prime (f(f(f(x)))) \\ & \times f^\prime (f(f(x))) \times f^\prime (f(x)) \times f^\prime (x) \\ g^\prime (1) & = f^\prime (f(f(f(f(f(1)))))) \times f^\prime (f(f(f(f(1)))))\times f^\prime (f(f(f(1)))) \\ & \times f^\prime (f(f(1))) \times f^\prime (f(1)) \times f^\prime (1) \\ & = 2 . 2. 2.2.2.2 \\ & = 2^6 = 64 \end{align} $
Jadi, nilai $ g^\prime (1) = 64 $ .

Catatan : Aturan rantai turunan fungsi sanggup dipakai untuk semua jenis fungsi baik itu fungsi aljabar, fungsi trigonometri, inginpun fungsi lainnya.