Barisan Dan Deret Aritmetika

Posted on

         Pondok Soal.com Barisan dan Deret Aritmetika membahas khusus wacana kumpulan suatu bilangan yang terdapat pola tersendiri. Disini akan dibedakan wacana barisan dan deret. Adapun bahan yang akan kita pelajari pada barisan dan deret aritmetika merupakan barisan, sisipan, suku tengah, dan jumlah $ n \, $ suku pertama suatu deret aritmetika. Selain barisan dan deret aritmetika, juga akan dibahas wacana barisan dan deret geometri, silahkan dibaca pada artikel “Barisan dan Deret Geometri“. Untuk lebih terangnya, mari kita baca penterangan masing-masing berikut ini.

Barisan Aritmetika
Pengertian barisan
       Barisan merupakan kumpulan suatu bilangan (atau bentuk aljabar) yang disusun sesampai kemudian membentuk suku-suku yang dipisahkan dengan tanda koma dan terdapat pola tertentu. Bentuknya disusun sebagai berikut :
                     $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, u_5, \, u_6, \, u_7, …. $
Keterangan :
$ u_1 \, $ artinya suku ke-1 (suku pertama)
$ u_2 \, $ artinya suku ke-2 (suku kedua)
dan seterusnya….

Contoh : Berikut sedikit pola barisan!
1). Barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, ….
Keterangan :
suku ke-1 (suku pertama) merupakan 1 ($u_1 = 1$),
suku ke-2 (suku kedua) merupakan 3 ($u_2=3$),
suku ke-3 (suku ketiga) merupakan 5 ($u_3=5$),
dan seterusnya ….
2). Barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8, ….
3). Barisan sebarang : 1, 5, 3, -2, 5, 7, …

Pengertian barisan aritmetika
       Barisan Aritmetika merupakan suatu barisan yang terdapat selisih yang sama antara dua suku-suku yang berdekatan. Nilai selisih yang sama itu dinamakan bedanya yang disimbulkan dengan abjad $ \, b \, $ .
Misal barisannya : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, u_5, \, u_6, \, u_7, …. $
Cara menghitung bedanya ($b$) merupakan
$ b = u_2 – u_1 = u_3 – u_2 = u_4 – u_3 = …..= u_n – u_{n-1} \, $

Adapun rumus suku ke-$n\, $ nya merupakan $ \, u_n = a + (n-1)b $
dengan $ a $ = suku pertamanya ($u_1$), $ b $ = bedanya, dan $ u_n $ = suku ke-$n$

Dari rumus suku ke-$n\, $ nya, sanggup disusun barisan aritmetikanya,
$ u_n = a + (n-1)b $
$ u_1 = a + (1-1)b = a $
$ u_2 = a + (2-1)b = a + b $
$ u_3 = a + (3-1)b = a + 2b $
$ u_4 = a + (4-1)b = a + 3b $
$ u_5 = a + (5-1)b = a + 4b $
dan seterusnya …..
sesampai kemudian barisan aritmetikanya : $ a, \, a+b, \, a+2b, \, a+3b, \, …. $

Contoh :
1). Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan aritmetika?
a). 1, 3, 5, 7, ….. b). 2, 5, 8, 11, 14, ….
c). 1, 2, 5, 7, 8, …. d). 3, 5, 6, 2, 12, …. e). 4, 2, 0, -2, -4, ….
Penyelesaian :
Disebut barisan aritmetika apabila selisih dua suku yang berdekatan sama. Mari kita cek setiap barisan yang ada.
a). $ \underbrace{1, \, 3}_{+2} \underbrace{, \, 5 }_{+2} \underbrace{, \, 7 }_{+2} , …. $
Karena selisihnya selalu sama antara dua suku yang berdekatan, maka barisan ini termasuk barisan aritmetika dengan bedanya 2. Cara mencari bedanya : $ b = 3-1 = 2 \, $ atau $ b = 5 – 3 = 2 \, $ atau $ b = 7 – 5 = 2 \, $ dan seterusnya.
b). $ \underbrace{2, \, 5}_{+3} \underbrace{, \, 8 }_{+3} \underbrace{, \, 11 }_{+3} \underbrace{, \, 14 }_{+3} , …. $
Selisihnya sama, sesampai kemudian termasuk barisan aritmetika dengan bedanya 3.
c). $ \underbrace{1, \, 2}_{+1} \underbrace{, \, 5 }_{+3} \underbrace{, \, 7 }_{+2} \underbrace{, \, 8 }_{+1} , …. $
Selisihnya tak sama, sesampai kemudian bukan termasuk barisan aritmetika.
d). $ \underbrace{3, \, 5}_{+2} \underbrace{, \, 6 }_{+1} \underbrace{, \, 2 }_{-4} \underbrace{, \, 12 }_{+10} , …. $
Selisihnya tak sama, sesampai kemudian bukan termasuk barisan aritmetika.
e). $ \underbrace{4, \, 2}_{-2} \underbrace{, \, 0 }_{-2} \underbrace{, \, -2 }_{-2} \underbrace{, \, -4 }_{-2} , …. $
Selisihnya sama, sesampai kemudian termasuk barisan aritmetika dengan bedanya -2. Cara mencari bedanya :
$ b = u_2 – u_1 = 2 -4 = -2 \, $ atau $ b = u_3 – u_2 = 0 – 2 = -2 \, $ dan seterusnya.

Baca Juga:   Menentukan Rumus Suku Ke-N Dan Beda Barisan Konsep Turunan

2). Tentukan suku ke-101 dari barisan aritmetika -1, 3, 7, 11, 15, ….?
Penyelesaian :
*). dari barisannya diperoleh $ a = -1 \, $ dan $ b = 7-3 = 4 $
*). Menentukan suku ke-101 dengan $ u_n = a + (n-1)b $
$ u_{101} = a + (101-1)b = -1 + 100 \times 4 = -1 + 400 = 399 $
Jadi, suku ke-101 nya merupakan 399 ($u_{101} = 399$).

3). Diketahui suku ke-2 dan suku ke-4 suatu barisan aritmetika berturut-turut 6 dan 14. Tentukan nilai suku ke-11 nya!
Penyelesaian : diketahui $ u_2 = 6 \, $ dan $ u_4 = 14 $
Untuk memilih nilai suku pada suatu barisan, kita memerlukan nilai $ a \, $ dan bedanya ($b$) dengan menjabarkan suku-suku yang diketahui.
*). Rumus suku ke-$n\, \, : \, \, u_n = a+ (n-1)b $
$ u_4 = a+(4-1)b = a + 3b \rightarrow a + 3b = 14 \, $ …. pers(i)
$ u_2 = a+(2-1)b = a + b \rightarrow a + b = 6 \, $ …. pers(ii)
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $ dengan eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} a + 3b = 14 & \\ a + b = 6 & – \\ \hline 2b = 8 & \\ b = 4 & \end{array} $
Pers(ii) : $ a + b = 6 \rightarrow a + 4 = 6 \rightarrow a = 2 $
*). Menentukan suku ke-11
$ u_{11} = a+(11-1)b = 2 + 10 \times 4 = 2 + 40 = 42 $
Jadi, suku ke-11 nya merupakan 42.

4). Tentukan kaya bilangan antara 1 hingga 500 yang habis dibagi oleh 3 !
Penyelsaian :
*). Kita daftar dahulu barisan bilangan yang habis dibagi 3 antara 1 hingga 500
barisannya : 3, 6, 9, 12, … , 498
diperoleh $ a = 3 \, $ dan $ b = 6 -3 = 3 $
*). Untuk memilih kaya suku, kita gunakan suku terakhirnya.
Suku terakhir = 498 artinya $ u_n = 498 $
$ \begin{align} u_n & = 498 \\ a + (n-1)b & = 498 \\ 3 + (n-1)3 & = 498 \\ 3 + 3n – 3 & = 498 \\ 3n & = 498 \\ n & = \frac{498}{3} = 166 \end{align} $
artinya suku terakhir merupakan suku ke-166, ini menunjukan bahwa kayanya suku ada 166 suku.

5). Jika suku-suku $ 2k +2 , \, k+7 , \, $ dan $ \, 3k+6 \, $ merupakan tiga suku pertama berurutan barisan aritmetika, tentukan besarnya suku ke-11?
Penyelesaian :
Diketahui : $ u_1 = 2k +1, \, u_2 = k+7, \, $ dan $ \, u_3 = 3k+6 $
*) Tiga suku berurutan barisan aritmetika, selisihnya sama :
$ \begin{align} u_2 – u_1 & = u_3 – u_2 \\ (k+7) – (2k+2) & = (3k+6)- (k+7) \\ -k + 5 & = 2k – 1 \\ 5 + 1 & = 2k + k \\ 6 & = 3k \\ k & = \frac{6}{3} = 2 \end{align} $
diperoleh nilai $ k = 2 $
*). Menentukan besarnya suku pertama ($a$) dan bedanya ($b$) dengan $ k = 2 $
$ a = u_1 = 2k+2 = 2.2 + 2 = 6 $
$ u_2 = k + 7 = 2 + 7 = 9 $
$ b = u_2 – u_1 = 9 – 6 = 3 $
*). Menentukan nilai suku ke-11
$\begin{align} u_n & = a + (n-1)b \\ u_{11} & = 6 + (11-1)3 \\ & = 6 + 30 \\ & = 36 \end{align} $
Jadi, nilai suku ke-11 nya merupakan 36.

Suku Tengah barisan aritmetika
Menentukan suku tengah ($u_t$)
       Barisan aritmetika memiliki suku tengah dengan syarat kaya suku harus ganjil. Suku tengah disimbolkan $ u_t \, $ yang sanggup dicari nilainya dari barisan yang kaya sukunya bersampai kemudian.
Rumus suku tengah : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} $
Keterangan :
$ u_1 \, $ = suku pertama barisan yang dicari suku tengahnya,
$ u_n \, $ = suku terakhir barisan yang dicari suku tengahnya.

Contoh :
Tentukan nilai suku tengah dari setiap barisan aritmetika berikut !
a). 1, 3, 5, 7, 9 b). 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 c). 3, 5, 7, 9, … , 2019
Penyelesaian :
Untuk kaya sukunya sedikit menyerupai soal bab a dan b sanggup pribadi ditentukan suku tengahnya. Akan tenamun untuk soal bab c kita tak sanggup pribadi memilih suku tengahnya sesampai kemudian harus memakai rumusnya.
a). Suku tengahnya merupakan 5, caranya : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5 $
b). Suku tengahnya merupakan 8, caranya : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} = \frac{2 + 14}{2} = 8 $
c). Suku tengahnya : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} = \frac{3 + 2019}{2} = 1009 $

Sisipan pada barisan aritmetika
Menentukan barisan gres sesudah disisipkan $ k \, $ suku
       Misalkan awalnya ada barisan : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, …. $
Setiap dua suku pada barisan diatas disisipkan bilangan sekaya $ k \, $ suku, maka akan terbentuk barisan gres yang tetap dalam bentuk barisan aritmetika. Di sini yang sangat berperan penting merupakan terbentuknya beda gres sesudah disisipkan.
       Beda barunya : $ b^* = \frac{b}{k+1} $
Keterangan :
$ b \, $ = beda awal dari barisan sebelum disisipkan
$ b^* \, $ = beda gres sesudah barsian disisipkan (beda barisan baru)
$ k \, $ = kaya suku yang disisipkan.

Contoh :
Diketahui barisan 1, 9, 17, 25, …. . Setiap antara dua suku disisipkan 3 bilangan. Tentukan barisan gres yang terbentuk?
Penyelesaian :
Untuk menyisipkan 3 bilangan, kita tak boleh menyisipkan sebarang bilangan, alasannya barisan gres yang terbentuk harus tetap berbentuk barisan aritmetika. Agar dijamin tetap terbentuk barisan aritmetika, maka kita harus memakai rumus untuk mencari beda barunya.
*). Dari barisan 1, 9, 17, 25, …. diperoleh beda awal $ b = 9 – 1 = 8 $
*). akan disisipkan 3 bilangan, artinya $ k = 3 $
Sesampai kemudian beda barunya : $ b^* = \frac{b}{k+1} = \frac{8}{3+1} = \frac{8}{4} = 2 $
Barisan barunya dengan beda gres 2 merupakan :
$ 1, \underbrace{ 3, 5, 7}_{\text{sisipan}} , 9 , \underbrace{ 11, 13, 15}_{\text{sisipan}} , 17 , \underbrace{ 19, 21, 23}_{\text{sisipan}} , 25, …. $
dimana barisan yang gres ini juga berbentuk barisan aritmetika.

Deret aritmetika
Jumlah $ n \, $ suku pertama deret aritmetika
       Deret aritmetika merupakan jumlahan dari suku-suku pada barisan aritmetika. Jumlahan yang dimaksud merupakan penjumlahan untuk sedikit suku bersampai kemudian ($ n \, $ suku pertama). Simbol yang dipakai merupakan $ s_n \, $ yang artinya jumlah $ n \, $ suku pertama.
Misalkan :
$ s_1 = u_1 \, $ (jumlah 1 suku pertama)
$ s_2 = u_1 + u_2 \, $ (jumlah 2 suku pertama)
$ s_3 = u_1 + u_2 + u_3 \, $ (jumlah 3 suku pertama)
$ s_4 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 \, $ (jumlah 4 suku pertama)
dan seterusnya.
Baca Juga:   Menentukan Suku Tengah Barisan Aritmatika Dengan Jumlah Suku Ganjil

Bagaimana jika yang dijumlahkan sukunya kaya sekali, maka kita akan memakai rumusnya langsung. Berikut rumus jumlah $ n \, $ suku pertama menurut :
*). Diketahui suku pertama ($u_1$) dan suku terakhirnya ($u_n$),
              $ s_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) $
*). Diketahui suku pertama ($u_1 = a $) dan bedanya ($b$),
              $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
*). Diketahui kaya suku ($n \, $ suku) dan suku tengahnya ($u_t$),
Rumus suku tengahnya : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} $
Rumus jumlahnya : $ s_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) = n . \frac{u_1 + u_n}{2} = n . u_t $
Sesampai kemudian : $ s_n = n.u_t $

Ketiga rumus $ s_n \, $ di atas memperlihatkan hasil yang sama. Jika anda tak ingin mengingat ketiganya, cukup ingat rumus kedua saja adalah $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

Contoh :
1). Tentukan jumlah 11 suku pertama dari barisan 2, 4, 6, 8, ….?
Penyelesaian :
*). Dari barisan diperoleh $ a = 2 \, $ dan $ b = 4-2 = 2 $
Jumlah 11 suku pertamanya :
$ \begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ s_{11} & = \frac{11}{2}(2.2 + (11-1)2) \\ & = \frac{11}{2}(4 + 20) \\ & = \frac{11}{2}(24) \\ & = 11 . 12 = 132 \end{align} $

2). Diketahui suatu barisan aritmetika yang terdiri dari 11 suku dengan suku tengahnya merupakan 34. Tentukan jumlah 11 suku pertama barisan tersebut.!
Penyelesaian :
Diketahui $ n = 11 \, $ dan $ u_t = 34 $
Sesampai kemudian jumlah 11 suku pertamanya merupakan :
$ s_n = n.u_t \rightarrow s_{11} = 11 . 34 = 374 $

3). Tentukan jumlah semua bilangan antara 5 hingga 200 yang habis dibagi 4!
Penyelesaian :
*). Pertama kita daftar dahulu bilangan-bilangan yang habis dibagi 4 antara 5 hingga 200.
Bilangannya : 8, 12, 16 … , 196
dengan $ a = 8 \, $ dan $ b = 8 – 4 = 4 $
*). Menentukan kayanya suku dengan memakai suku terakhir ($u_n = 196$)
$ \begin{align} u_n & = 196 \\ a + (n-1)b & = 196 \\ 8 + (n-1)4 & = 196 \\ 8 + 4n – 4 & = 196 \\ 4n & = 192 \\ n & = \frac{192}{4} = 48 \end{align} $
artinya ada 48 bilangan yang habis dibagi 4 antara 5 hingga 200 .
Sesampai kemudian jumlah semua bilangan $ 8 + 12 + 16 + …. + 196 \, $ yang ada 48 suku
$ \begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) \\ s_{48} & = \frac{48}{2}(8 + 196) \\ & = 24 \times 204 = 4896 \end{align} $
Jadi, jumlah semua bilangan yang habis dibagi 4 antara 5 sampi 200 merupakan 4.896

Baca Juga:   Menentukan Beda Barisan Menurut Konsep Tiga Suku Berurutan

         Barisan dan deret Aritmetika juga kerap dikaitkan dengan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat dalam penyelesaian suatu soal SBMPTN atau soal-soal masuk akademi tinggi negeri. Silahkan juga baca bahan seputar persaman dan fungsi kuadrat.