Barisan Dan Deret Geometri

Posted on

         Pondok Soal.com Barisan dan Deret Geometri merupakan salah satu bentuk pola bilangan yang juga terdapat ciri khusus yaitu setiap suku sesudahnya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan dengan suku sebelumnya. Sebagaimana “Barisan dan Deret Aritmetika” , di sini juga dibahas wacana suku ke-$n \, $ , suku tengah, sisipan, dan jumlah $ n \, $ suku pertamanya. Hanya saja pada deret geometri terdapat jumlahan hingga taksampai kemudian suku-sukunya yang di bahas dalam artikel tersendiri yaitu “Deret Geometri Tak Hingga“. Langsung saja baca penterangan wacana barisan dan deret geometri berikut ini.

Barisan Geometri
Pengertian barisan Geometri
       Barisan Geometri merupakan suatu barisan yang terdapat perbandingan yang sama antara dua suku-suku yang berdekatan. Nilai perbandingan yang sama itu dinamakan rasionya yang disimbulkan dengan aksara $ \, r \, $ .
Misal barisannya : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, u_5, \, u_6, \, u_7, …. $
Cara menghitung rasio ($r$) merupakan
$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3} = … = \frac{u_n}{u_{n-1}}$

Adapun rumus suku ke-$n\, $ nya merupakan $ \, u_n = ar^{n-1} $
dengan $ a $ = suku pertamanya ($u_1$), $ r $ = rasionya, dan $ u_n $ = suku ke-$n$
untuk memudahkan mengingat, rumus suku ke-$n \, $ ini sanggup dibaca “arni”

Dari rumus suku ke-$n\, $ nya, sanggup disusun barisan geometrinya,
$ u_n = ar^{n-1} $
$ u_1 = ar^{1-1} = ar^0 = a $
$ u_2 = ar^{2-1} = ar^1 = ar $
$ u_3 = ar^{3-1} = ar^2 $
$ u_4 = ar^{4-1} = ar^3 $
dan seterusnya …..
sesampai kemudian barisan geometrinya : $ a, \, ar, \, ar^2, \, ar^3, \, …. $

Contoh :
1). Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan Geometri?
a). 1, 2, 4, 8, ….. b). $\frac{1}{3} $, 1, 3, 9, 27, ….
c). 1, 2, 6, 8, 16, …. d). 3, 4, 8, 2, 12, …. e). 16, 8, 4, 2, 1, ….
Penyelesaian :
Disebut barisan geometri apabila perbandingan dua suku yang berdekatan sama. Mari kita cek setiap barisan yang ada.
a). $ \underbrace{1, \, 2}_{\times 2} \underbrace{, \, 4 }_{\times 2} \underbrace{, \, 8 }_{\times 2} , …. $
Karena perbandingannya selalu sama antara dua suku yang berdekatan, maka barisan ini termasuk barisan geometri dengan rasionya 2. Cara mencari rasionya :
$ r = \frac{2}{1} = 2 \, $ atau $ r = \frac{4}{2} = 2 \, $ atau $ r = \frac{8}{4}= 2 \, $ dan seterusnya.
b). $ \underbrace{\frac{1}{3}, \, 1}_{\times 3} \underbrace{, \, 3 }_{\times 3} \underbrace{, \, 9 }_{\times 3} \underbrace{, \, 27 }_{\times 3} , …. $
Perbandingannya sama, sesampai kemudian termasuk barisan geometri dengan rasionya 3.
c). $ \underbrace{1, \, 2}_{\times 2} \underbrace{, \, 6 }_{\times 3} \underbrace{, \, 8 }_{\times \frac{4}{3}} \underbrace{, \, 16 }_{\times 2} , …. $
Perbandingannya tak sama, sesampai kemudian bukan termasuk barisan Geometri.
d). $ \underbrace{3, \, 4}_{\times \frac{4}{3}} \underbrace{, \, 8 }_{\times 2} \underbrace{, \, 2 }_{\times \frac{1}{4}} \underbrace{, \, 12 }_{\times 6} , …. $
Perbandingannya tak sama, sesampai kemudian bukan termasuk barisan geometri.
e). $ \underbrace{16, \, 8}_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, \, 4 }_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, \, 2 }_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, \, 1 }_{\times \frac{1}{2}} , …. $
Perbandingannya sama, sesampai kemudian termasuk barisan geometri dengan rasionya $ \frac{1}{2}$. Cara mencari rasionya :
$ r =\frac{u_2}{u_1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \, $ atau $ r =\frac{u_3}{u_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \, $ dan seterusnya.

Baca Juga:   Mengidentifikasi Barisan Termasuk Barisan Geometri Atau Bukan

2). Tentukan suku ke-21 dari barisan geometri 1, 2, 4, 8, 16, ….?
Penyelesaian :
*). dari barisannya diperoleh $ a = 1 \, $ dan $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{2}{1} = 2 $
*). Menentukan suku ke-21 dengan $ u_n = a r^{n-1} $
$ u_{21} = a r^{21-1} = 1 . 2^{20}= 2^{20} $
Jadi, suku ke-21 nya merupakan $ 2^{20} $ ($u_{21} = 2^{20} $).

3). Diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 suatu barisan geometri berturut-turut 9 dan 81 dengan rasionya positif. Tentukan nilai suku ke-2 nya!
Penyelesaian : diketahui $ u_3 = 9 \, $ dan $ u_5 = 81 $
Untuk memilih nilai suku pada suatu barisan, kita memerlukan nilai $ a \, $ dan rasionya ($r$) dengan menjabarkan suku-suku yang diketahui.
*). Rumus suku ke-$n\, \, : \, \, u_n = ar^{n-1} $
$ u_5 = ar^{5-1} = ar^4 \rightarrow a r^4 = 81 \, $ …. pers(i)
$ u_3 = ar^{3-1} = ar^2 \rightarrow a r^2 = 9 \, $ …. pers(ii)
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ r \, $ dengan membagi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} a r^4 = 81 & \\ a r^2 = 9 & : \\ \hline r^2 = 9 & \\ r = \pm 3 & \end{array} $
Karena nilai rasionya positif, maka $ r =3 \, $ yang memenuhi.
Pers(ii) : $ a r^2 = 9 \rightarrow a 3^2 = 9 \rightarrow a = frac{9}{9} = 1 $
*). Menentukan suku ke-2
$ u_{2} = ar^{2-1} = 1.3^1 = 3 $
Jadi, suku ke-2 nya merupakan 3.

4). Jika suku-suku $ 4p, \, 3p-4, \, $ dan $ \, 2p – 4 \, $ merupakan tiga suku pertama berurutan barisan geometri, maka tentukan suku ke-9 ?
Penyelesaian :
Diketahui : $ u_1 = 4p, \, u_2 = 3p-4, \, $ dan $ u_3 = 2p -4 $
*). Tiga suku berurutan barisan geometri, maka rasionya sama :
$ \begin{align} \frac{u2}{u_1} & = \frac{u_3}{u_2} \\ (u_2)^2 & = u_1 . u_3 \\ (3p-4)^2 & = (4p).(2p-4) \\ 9p^2 -24p + 16 & = 8p^2 -16 p \\ p^2 – 8p + 16 & = 0 \\ (p-4)^2 & = 0 \\ p – 4 & = 0 \\ p & = 4 \end{align} $
diperoleh nilai $ p = 4 $
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ r \, $ dengan nilai $ p = 4 $
$ a = u_1 = 4p = 4.4 = 16 = 2^4 $
$ u_2 = 3p – 4 = 3.4 – 4 = 12 – 4 = 8 $
$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} $
*). Menentukan suku ke-9
$ \begin{align} u_n & = ar^{n-1} \\ u_9 & = 2^4. \left( \frac{1}{2} \right)^{9-1} \\ & = 2^4. \left( \frac{1}{2} \right)^{8} \\ & = 2^4. \left( \frac{1^8}{2^8} \right) \\ & = 2^4. \left( \frac{1}{2^8} \right) \\ & = \frac{1}{2^4} \\ & = \frac{1}{16} \end{align} $
Jadi, nilai suku ke-9 nya merupakan $ \frac{1}{16} $ .

Suku Tengah barisan Geometri
Menentukan suku tengah ($u_t$)
       Barisan geometri memiliki suku tengah dengan syarat kaya suku harus ganjil. Suku tengah disimbolkan $ u_t \, $ yang sanggup dicari nilainya dari barisan yang kaya sukunya bersampai kemudian.
Rumus suku tengah : $ u_t = \sqrt{u_1.u_n} $
Keterangan :
$ u_1 \, $ = suku pertama barisan yang dicari suku tengahnya,
$ u_n \, $ = suku terakhir barisan yang dicari suku tengahnya.

Contoh :
Tentukan nilai suku tengah dari setiap barisan geometri berikut !
a). 1, 2, 4, 8, 16 b). $\frac{1}{9}, \, \frac{1}{3}, \, $ 1, 3, 9, 27, 81
Penyelesaian :
a). Suku tengahnya merupakan 4, caranya : $ u_t = \sqrt{u_1.u_n} = \sqrt{1\times 16} = \sqrt{16} = 4 $
b). Suku tengahnya merupakan 3, caranya : $ u_t = \sqrt{u_1.u_n} = \sqrt{\frac{1}{9} \times 81} = \sqrt{9} = 3 $

Sisipan pada barisan Geometri
Menentukan barisan gres setelah disisipkan $ k \, $ suku atau bilangan
       Misalkan awalnya ada barisan : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, …. $
Setiap dua suku pada barisan diatas disisipkan bilangan sekaya $ k \, $ suku, maka akan terbentuk barisan gres yang tetap dalam bentuk barisan geometri. Di sini yang sangat berperan penting merupakan terbentuknya rasio gres setelah disisipkan.
       Rumus rasio barunya : $ r^* = \sqrt[k+1]{r} = (r)^\frac{1}{k+1} $
Keterangan :
$ r \, $ = rasio awal dari barisan sebelum disisipkan
$ r^* \, $ = rasio gres setelah barsian disisipkan (rasio barisan baru)
$ k \, $ = kaya suku yang disisipkan.

Contoh :
Diketahui barisan 1, 8, 64, 512, …. . Setiap antara dua suku disisipkan 2 bilangan. Tentukan barisan gres yang terbentuk?
Penyelesaian :
Untuk menyisipkan 2 bilangan, kita tak boleh menyisipkan sebarang bilangan, alasannya yakni barisan gres yang terbentuk harus tetap berbentuk barisan geometri. Agar dijamin tetap terbentuk barisan geometri, maka kita harus memakai rumus untuk mencari rasio barunya.
*). Dari barisan 1, 8, 64, 512, …. diperoleh rasio awal $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{8}{1} = 8 $
*). akan disisipkan 2 bilangan, artinya $ k = 2 $
Sesampai kemudian raasio barunya : $ r^* = (r)^\frac{1}{k+1} = (8)^\frac{1}{2+1} = (2^3)^\frac{1}{3} = 2^1 = 2 $
Barisan barunya dengan rasio gres 2 merupakan :
$ 1, \underbrace{ 2, 4}_{\text{sisipan}} , 8 , \underbrace{ 16, 32}_{\text{sisipan}} , 64 , \underbrace{ 126, 256}_{\text{sisipan}} , 512, …. $
dimana barisan yang gres ini juga berbentuk barisan geometri.

Deret Geometri
Jumlah $ n \, $ suku pertama deret geometri
       Deret geometri merupakan jumlahan dari suku-suku pada barisan geometri. Jumlahan yang dimaksud merupakan penjumlahan untuk sedikit suku bersampai kemudian ($ n \, $ suku pertama). Simbol yang dipakai merupakan $ s_n \, $ yang artinya jumlah $ n \, $ suku pertama.
Misalkan :
$ s_1 = u_1 \, $ (jumlah 1 suku pertama)
$ s_2 = u_1 + u_2 \, $ (jumlah 2 suku pertama)
$ s_3 = u_1 + u_2 + u_3 \, $ (jumlah 3 suku pertama)
$ s_4 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 \, $ (jumlah 4 suku pertama)
dan seterusnya.

Baca Juga:   Cara Memilih Beda Suatu Barisan Aritmatika

Bagaimana jika yang dijumlahkan sukunya kaya sekali, maka kita akan memakai rumusnya langsung. Berikut rumus jumlah $ n \, $ suku pertama deret geometri.
Jumlah $ n \, $ suku pertama : $ s_n = \frac{a(r^n – 1)}{r-1} \, $ untuk $ -1 < r < 1 $
Jumlah $ n \, $ suku pertama : $ s_n = \frac{a(1 – r^n)}{1-r} \, $ untuk $ r < -1 \, $ atau $ \, r > 1 $
Catatan :
Sebenarnya kedua rumus $ s_n \, $ di atas nilainya sama saja untuk semua jenis rasionya, sesampai kemudian cukup diingat salah satu saja.
Pembuktian : $ s_n = \frac{a(r^n – 1)}{r-1} = \frac{a(r^n – 1)}{r-1} \times \frac{-1}{-1} = \frac{a(1 – r^n)}{1-r} $

Contoh :
1). Tentukan jumlah 5 suku pertama dari barisan 1, 2, 4, 8, ….?
Penyelesaian :
*). Dari barisan diperoleh $ a = 1 \, $ dan $ r = \frac{2}{1} = 2 $
Jumlah 5 suku pertamanya :
$ \begin{align} s_n & = \frac{a(r^n – 1)}{r-1} \\ s_5 & = \frac{1.(2^5 – 1)}{2-1} \\ & = \frac{(32 – 1)}{1} \\ & = 31 \end{align} $
Jadi, jumlah 5 suku pertamanya merupakan 31.

         Bisanya untuk soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi tinggi, soal-soalnya eksklusif melibatkan barisan dan deret aritmetka dan geometri. Agar lebih menguasai materinya, sebaiknya kita lebih kaya latihan lagi mengerjakan soal-soal yang ada.