Bentuk Akar Pada Eksponen

Posted on
         Pondok Soal.com – Pada bahan sebelumnya telah dibahas wacana sifat-sifat eksponen yang diantaranya dengan pangkat pecahan. Bentuk akar ada hubungannya dengan pangkat pecahan. Berikut bentuk pangkat belahan yang dipakai :

Jika $ \sqrt[n]{a} = b , \, $ maka $ a = b^n $

Catatan :
*). $ \sqrt[n]{a} \, $ akibatnya $ b \, $ yang memenuhi $ b^n = a $
*). $ \sqrt[n]{a} \, $ dibaca akar pangkat $ n \, $ dari $ a $
*). Khusu untuk $ n = 2, \, \sqrt[2]{a} \, $ cukup ditulis $ \sqrt{a} \, $ dan dibaca akar dari $ a \, $ atau akar kuadrat dari $ a \, $ atau akar $ a $ .

         Materi Bentuk Akar pada Eksponen merupakan bab dari bahan Eksponen itu sendiri yang melibatkan pangkat pecahan. Pada Bentuk Akar pada Eksponen akan lebih menekankan pada operasi dan merasionalkan bentuk akar yang biasanya selalu keluar pada ujian nasional tingkat Sekolah Menengan Atas atau sederajatnya. Kita akan mengalami kesulitan mempelajari Bentuk akar untuk soal-soal dengan bilangan yang cukup besar.

Contoh

a. $ \sqrt[3]{27} = … \, $ , b. $ \sqrt[4]{16} = …. \, $ c. $ \sqrt{81} = …. $
Penyelesaian :
a. $ \sqrt[3]{27} = 3 \, $ lantaran $ 3^3 = 27 $
b. $ \sqrt[4]{16} = 2 \, $ lantaran $ 2^4 = 16 $
c. $ \sqrt{81} = 9 \, $ lantaran $ 9^2 = 81 $

Pengertian Bentuk Akar
       Bentuk akar merupakan akar dari sebuah bilangan real aktual yang akibatnya bukan bilangan rasional yang memenuhi sifat :
              Jika $ \sqrt{a} = b, \, $ maka $ b^2 = a \, $ dengan $ a \geq 0 $
Catatan :
*). $ b \, $ merupakan hasil dari $ \sqrt{a} $
*). $ \sqrt{a} \, $ disebut bentuk akar apabila akibatnya ($b$) merupakan bilangan irrasional.

Contoh

1). $ \sqrt{4} \, $ bukan bentuk akar lantaran hasilanya $ \sqrt{4} = 2 \, $ merupakan bilangan rasional.
2). $ \sqrt{2} \, $ merupakan bentuk akar lantaran akibatnya $ \sqrt{2} = 1,41421…. \, $ merupakan bilangan irrasional.

Menyederhanakan Bentuk Akar

         Untuk menyederhanakan bentuk akar, kita gunakan sifat $ \sqrt{a^2} = a , \, $ dengan $ a^2 \, $ disebut sebagai bilangan kuadrat sempurna, serta gunakan sifat $ \sqrt{a^2.b} = a\sqrt{b} $ , dengan $ a \geq 0 , \, b \geq 0 $ .

Contoh

1). $ \sqrt{4} = \sqrt{2^2} = 2 $
2). $ \sqrt{32} = \sqrt{16.2}=\sqrt{4^2.2} = 4\sqrt{2} $
3). $ \sqrt{c^3} = \sqrt{c^2.c} = c\sqrt{c} $
4). $ \sqrt{12k} = \sqrt{4.3k} = \sqrt{2^2.3k} = 2\sqrt{3k} $
5). $ \sqrt{18k^3} = \sqrt{9k^2.2k} = \sqrt{(3k)^2.2k} = 3k\sqrt{2k} $

Operasi Aljabar Bentuk Akar

         Sifat-sifat Operasi bentuk aljabar sebagai berikut :

1). $ a\sqrt{p} + b\sqrt{p} = (a+b)\sqrt{p} $
2). $ a\sqrt{p} – b\sqrt{p} = (a-b)\sqrt{p} $
3). $ \sqrt{a}.\sqrt{b} = \sqrt{a.b} $
4). $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $
5). $ (a\sqrt{p}).(b\sqrt{q}) = (a.b)\sqrt{p.q} $
6). $ \sqrt{a} . \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a $
7). $ \frac{a\sqrt{p}}{b\sqrt{q}} = \left( \frac{a}{b} \right) \sqrt{\frac{p}{q}} $

Contoh

1). $ 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = (2+4)\sqrt{3} = 6 \sqrt{3} $
2). $ 6\sqrt{5} – 2\sqrt{5} = (6-2)\sqrt{5} = 4\sqrt{5} $
3). $ \sqrt{2}.\sqrt{3} = \sqrt{2.3} = \sqrt{6}$
4). $ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2} $
5). $ (3\sqrt{5}).(2\sqrt{2}) = (3.2)\sqrt{5.2} = 6\sqrt{10} $
6). $ \sqrt{7} . \sqrt{7} = \sqrt{7^2} = \sqrt{49} = 7 $
7). $ \frac{8\sqrt{15}}{2\sqrt{3}} = \left( \frac{8}{2} \right) \sqrt{\frac{15}{3}} = 4 \sqrt{5} $

Merasionalkan Bentuk Akar

         Merasionalkan bentuk akar merupakan mengubah bentuk akar (iirasional) menjadi bilangan rasional (menghilangkan akarnya) dengan mengalikan bentuk sekawannya.

Untuk $ a, \, b, \, c, \, $ dan $ d \, $ bilangan rasional positif, maka :

*). $ \sqrt{a} \, $ sekawannya $ \sqrt{a} $
*). $ (a + \sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (a – \sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
*). $ (a + p\sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (a – p\sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
*). $ (\sqrt{a} + \sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (\sqrt{a} – \sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
*). $ (p\sqrt{a} + q\sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (p\sqrt{a} – q\sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
Catatan :
*). Sekawannya aktual (+) merupakan negatif (-) , dan sebaliknya sekawannya negatif (-) merupakan aktual (+) .
*). Untuk persobat semuanya, gunakan $ (p+q)(p-q) = p^2 – q^2 $

Contoh

Rasionalkan bentuk pecahan-pecahan berikut :
a). $ \frac{2}{\sqrt{3}} \, \, \, \, \, $ b). $ \frac{5}{4 – \sqrt{6}} \, \, \, \, \, $ c). $ \frac{14}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} $
d). $ \frac{2}{5 – 2\sqrt{3}} \, \, \, \, $ e). $ \frac{3}{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}} $
Penyelesaian :
       Untuk merasionalkan penyebut belahan bentuk akar, sanggup dilakukan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawan dari penyebutnya.
a). $ \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \sqrt{3} $
b). $ \frac{5}{4 – \sqrt{6}} = \frac{5}{4 – \sqrt{6}} . \frac{4 + \sqrt{6}}{4 + \sqrt{6}} = \frac{5(4 + \sqrt{6})}{16 – 6} = \frac{5(4 + \sqrt{6})}{10} = \frac{4 + \sqrt{6}}{2} $
c). $ \frac{14}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} . \frac{\sqrt{5} – \sqrt{3}}{\sqrt{5} – \sqrt{3}} = \frac{14(\sqrt{5} – \sqrt{3})}{5 – 3} = \frac{14(\sqrt{5} – \sqrt{3})}{2} = 7(\sqrt{5} – \sqrt{3}) $
d). $ \frac{2}{5 – 2\sqrt{3}} = \frac{2}{5 – 2\sqrt{3}} . \frac{5 + 2\sqrt{3}}{5 + 2\sqrt{3}} = \frac{2(5 + 2\sqrt{3})}{25 – 12} = \frac{2(5 + 2\sqrt{3})}{13} $
e). $ \frac{3}{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}} . \frac{2\sqrt{5}+3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}+3\sqrt{2}} = \frac{3(2\sqrt{5}+3\sqrt{2})}{20 – 18} = \frac{3(2\sqrt{5}+3\sqrt{2})}{2} $

Bentuk Akar dalam Akar

         Untuk $ a \, $ dan $ b \, $ bilangan raasional positif, berlaku sifat :

Contoh

a). $ \sqrt{4+2\sqrt{3}} = …. \, $ b). $ \sqrt{6-2\sqrt{8}} = …. $
c). $ \sqrt{7+\sqrt{24}} = …. \, $ d). $ \sqrt{4+\sqrt{15}} = …. $
Penyelesaian :
a). $ \sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(1+3)+2\sqrt{1.3}} = \sqrt{1} + \sqrt{3} = 1 + \sqrt{3} $
b). $ \sqrt{6-2\sqrt{8}} = \sqrt{(4+2)-2\sqrt{4.2}} = \sqrt{4} – \sqrt{2} = 2 – \sqrt{2} $
c). $ \sqrt{7+\sqrt{24}} = \sqrt{7+\sqrt{4.6}} $
$ \sqrt{7+2\sqrt{6}} = \sqrt{(1+6)+2\sqrt{1.6}} = \sqrt{1} + \sqrt{6} = 1 + \sqrt{6} $
d). $ \sqrt{4+\sqrt{15}} = \sqrt{4 + 2. \frac{1}{2} \sqrt{15}} = \sqrt{4 + 2\sqrt{\frac{15}{4}} } $
$ = \sqrt{ \left( \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \right) + 2\sqrt{\frac{5}{2} . \frac{3}{2}} } = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $
$ = \left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right). \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} ( \sqrt{5} + \sqrt{3} )}{2} = \frac{ \sqrt{10} + \sqrt{6} }{2} $

         Pada bahan Bentuk Akar pada Eksponen , ada juga bab yang namanya “akar dalam akar”, bentuk ini menarik untuk kita kuasai lantaran ada dobel akar pada soalnya. Untuk soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi tinggi malah tipe akar dalam akar ini yang sanggup menjadi momok bagi perserta yang mengikuti tes, lantaran melihat bentuknya saja terkadang kita sudah mulai lemah dan pribadi merasa tak dapat. Pahamilah baik-baik bab ini, niscaya akan membantu suatu saat.

         Bentuk Akar pada Eksponen pada artikel ini secara urut menterangkan wacana pengertian bentuk akar, menyederhanakan bentuk akar, operasi-operasi hitung bentuk akar, merasionalkan bentuk akar, dan bentuk akar dalam akar. Dengan menguasai secara keseluruhan bahan bentuk akar secara baik, tentu akan membantu kita lebih gampang dalam mengerjakan soal-soal yang pribadi terkait dengan bentuk akar. Jangan lupa terus berlatih untuk penguasaan yang lebih baik lagi.