Berkas Lingkaran

Posted on

         Pondok Soal.com – Kali ini kita akan mempelajari bahan berkas lingkaran. Sebelum mempelajarinya, sebaiknya baca dahulu bahan yang terkait adalah “persamaan lingkaran“, dan “garis kuasa“.

Berkas Lingkaran
       Berkas lingkaran merupakan lingkaran-lingkaran yang dibentuk melalui perpotongan dua lingkaran. Misalkan bundar L1 dan L2 berpotongan dititik P dan Q, maka persamaan berkas bundar yang melalui titik P dan Q merupakan :

         $ L_1 + \lambda L_2 = 0 \, $ atau $ L_1 + \lambda k = 0 \, $ atau $ L_2 + \lambda k = 0 $

Keterangan :
$ k \, $ merupakan garis kuasa bundar L1 dan L2.
$ \lambda \, $ merupakan konstanta tertentu.
Jika $ \lambda = -1 , \, $ maka persamaan berkas menjadi $ L_1 – L_2 = 0 \, $ yang merupakan persamaan garis kuasa.

Ilustrasi gambar berkas bundar dari bundar L1 dan L2.
Karena $ \lambda \, $ merupakan suatu konstanta yang tak hingga kemudian kayanya, maka persamaan bundar yang terbentuk juga kaya tergantung nilai $ \lambda \, $ . Untuk lebih terang, perhatikan gambar berkas bundar berikut ini.

Contoh :
1). Tentukan persamaan bundar yang melalui titik potong kedua bundar
$ L_1 : \, x^2 + y^2 + 4x – 2y – 11 = 0 \, $ dan $ L_2: \, x^2 + y^2 – 6x – 4y + 4 = 0 $
serta melalui titik (1,1)?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkas lingkarannya.
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x – 2y – 11) + \lambda (x^2 + y^2 – 6x – 4y + 4) & = 0 \end{align} $
*). Lingkaran melalui titik (1,1), substitusi titik tersebut ke persamaan berkas bundar yang diperoleh,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x – 2y – 11) + \lambda (x^2 + y^2 – 6x – 4y + 4) & = 0 \\ (1^2 + 1^2 + 4.1 – 2.1 – 11) + \lambda (1^2 + 1^2 – 6.1 – 4.1 + 4) & = 0 \\ (1 + 1 + 4 – 2 – 11) + \lambda (1 + 1 – 6 – 4 + 4) & = 0 \\ (-7) + \lambda (-4) & = 0 \\ \lambda & = – \frac{7}{4} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ \lambda = – \frac{7}{4} \, $ ke persamaan berkas,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x – 2y – 11) + \lambda (x^2 + y^2 – 6x – 4y + 4) & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x – 2y – 11) + \left( – \frac{7}{4} \right) (x^2 + y^2 – 6x – 4y + 4) & = \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ (4x^2 + 4y^2 + 16x – 8y – 44) + (-7) (x^2 + y^2 – 6x – 4y + 4) & = 0 \\ 4x^2 + 4y^2 + 16x – 8y – 44 – 7x^2 – 7y^2 + 42x + 28y – 28 & = 0 \\ – 3x^2 – 3y^2 + 58x + 20y – 72 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 3x^2 + 3y^2 – 58x – 20y + 72 & = 0 \end{align} $

Baca Juga:   Rangkuman Rumus Keliling Irisan Dua Lingkaran

Jadi, persamaan lingkarannya merupakan $ 3x^2 + 3y^2 – 58x – 20y + 72 = 0 $

2). Tentukan persamaan bundar yang melalui titik potong kedua bundar
$ L_1 : \, x^2 + y^2 + 4x – 2y – 11 = 0 \, $ dan $ L_2: \, x^2 + y^2 – 6x – 4y + 4 = 0 $
serta terdapat titik sentra $ \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkas lingkarannya.
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x – 2y – 11) + \lambda (x^2 + y^2 – 6x – 4y + 4) & = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x – 2y – 11 + \lambda x^2 + \lambda y^2 – 6\lambda x – 4 \lambda y + 4 \lambda & = 0 \\ (1+\lambda )x^2 + (1 + \lambda )y^2 + (4 – 6\lambda )x – (2 + 4 \lambda ) y – ( 11 – 4 \lambda ) & = 0 \\ x^2 + y^2 + \left( \frac{4 – 6\lambda }{1+\lambda} \right) x – \left( \frac{2 + 4 \lambda }{1+\lambda} \right) y – \frac{ 11 – 4 \lambda }{1+\lambda} & = 0 \end{align} $
Sesampai kemudian sentra lingkarannnya merupakan :
Pusat $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, – \frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{4 – 6\lambda }{2(1+\lambda )} , \frac{2 + 4 \lambda }{2(1+\lambda )} \right) $
Sementara di soal diketahui pusatnya merupakan $ \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $ ,
Artinya nilai kedua sentra merupakan sama, sesampai kemudian
$ -\frac{4 – 6\lambda }{2(1+\lambda )} = \frac{1}{2} \rightarrow -8 + 12 \lambda = 2 + 2 \lambda \rightarrow \lambda = 1 $
*). Substitusi nilai $ \lambda = 1 \, $ ke persamaan berkas lingkaran,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x – 2y – 11) + \lambda (x^2 + y^2 – 6x – 4y + 4) & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x – 2y – 11) + 1 . (x^2 + y^2 – 6x – 4y + 4) & = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x – 2y – 11 + x^2 + y^2 – 6x – 4y + 4 & = 0 \\ 2x^2 + 2y^2 – 2x – 6y – 7 & = 0 \end{align} $

Baca Juga:   Luas Irisan Dua Bulat Bentuk 2

Jadi, persamaan lingkarannya merupakan $ 2x^2 + 2y^2 – 2x – 6y – 7 = 0 $

3). Tentukan persamaan bundar yang berpusat pada garis $ x+y=5 $ dan melalui titik potong kedua bundar $x^2+y^2-2x-2y=34 \, $ dan $ x^2+y^2+8x-2y-100=0 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkasnya :
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y – 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) & = 0 \\ (1 + \lambda ) x^2 + (1 + \lambda ) y^2 – (2 – 8 \lambda ) x – (2 + 2 \lambda ) y – (34 + 100 \lambda ) & = 0 \\ x^2 + y^2 – \frac{(2 – 8 \lambda )}{(1 + \lambda )} x – \frac{(2 + 2 \lambda )}{(1 + \lambda )} y – \frac{(34 + 100 \lambda )}{(1 + \lambda )} & = 0 \end{align} $
Sesampai kemudian sentra lingkarannya merupakan
Pusat $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, – \frac{B}{2} \right) = \left( \frac{(1 – 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , \frac{(1 + \lambda )}{(1 + \lambda )} \right) = \left( \frac{(1 – 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , 1 \right)$
*). Pusat bundar terletak pada garis $ x + y = 5 , \, $ substitusi titik sentra ke garis ini,
$ \begin{align} x + y & = 5 \\ \frac{(1 – 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} + 1 & = 5 \\ \frac{(1 – 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} & = 4 \\ 1 – 4 \lambda & = 4 (1 + \lambda ) \\ 1 – 4 \lambda & = 4 + 4\lambda \\ \lambda & = – \frac{3}{8} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ \lambda = – \frac{3}{8} \, $ ke persamaan berkas lisngkaran,
$ \begin{align} (x^2+y^2-2x-2y – 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) & = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y – 34) + (- \frac{3}{8}). (x^2+y^2 +8x-2y-100) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 8) } \\ (8x^2+8y^2-16x-16y – 272) + (-3x^2-3y^2 -24x+6y+300) & = 0 \\ 5x^2 + 5y^2 – 40x – 10 y + 28 & = 0 \end{align} $

Jadi, persamaan lingkarannya merupakan $ 5x^2 + 5y^2 – 40x – 10y + 28 = 0 . $