Besar Bilangan Euler (E) Dengan Binomial Newton

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari bahan “Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton)“, pada artikel ini kita akan membahas bahan Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton. Konsep binomial newton terdapat sedikit kegunaan di ataranya dalam memfaktorkan suatu verbal perpangkatan dan kegunaan lainnya merupakan untuk menghitung Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton yang kita bahas kini ini. Berdasarkan Wikipedia, Konstanta matematika $e$ merupakan basis dari logaritma natural. Kadang-kadang disebut juga bilangan Euler sebagai penghargaan atas jago matematika Swiss, Leonhard Euler, atau juga konstanta Napier sebagai penghargaan atas jago matematika Skotlandia, John Napier yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Bilangan ini ($e$) merupakan salah satu bilangan yang terpenting dalam matematika, sama pentingnya dengan $ 0, 1, i$, dan $ \pi $ . Nilai bilangan Euler ($e$), dipotong pada posisi ke-30 sesudah tanda desimal (tanpa dibulatkan), merupakan: $ e \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 $.

         Pada artikel Besar Bilangan Euler ($e$) dengan Binomial Newton ini, kita tak membahas asal-usul keberadaan bilangan euler tersebut namun kita akan lebih menekankan ihwal cara menemukan besarnya bilangan Euler ($e$) dengan salah satunya pendekatan memakai konsep binomial newton. Hal-hal fundamental yang harus kita kuasai terlebih dahulu untuk memudahkan dalam mempelajari Cara menemukan Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton ialah : “limit tak hingga lalu fungsi khusus“, “konsep binomial newton”, “bentuk faktorial“, “notasi sigma“, “kombinasi“, dan “penyelesaian limit tak hingga lalu fungsi aljabar“.

Kesetaraan Bilangan Euler ($e$)

Langkah-langkah Menentukan besarnya nilai bilangan euler ($e$) :
*). Konsep Binomial newton :
$(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $ atau
$ (a+b)^n = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b + … + C_{n-1}^nab^{n-1} + C_n^nb^n $
dengan $ n, \, r \, $ merupakan bilangan orisinil dan $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $
serta $ n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)…3.2.1$
Contoh : $ 5! = 5.4.3.2.1 = 120 \, $ dan $ 0! = 1 $

*). Perhatikan bentuk $ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $ , dengan memisalkan $ a = 1 , b = \frac{1}{x} $ dan $ n = x $ , maka bentuk $ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $ sanggup kita jabarkan (ekspansi) dengan konsep binomial Newton menjadi :

$ \begin{align} (a+b)^n & = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b + C_2^n a^{n-2}b^2 + C_3^n a^{n-3}b^3 + … + C_n^nb^n \\ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x & = C_0^x 1^x + C_1^x 1^{x-1}.\left( \frac{1}{x} \right) + C_2^x 1^{x-2}.\left( \frac{1}{x} \right)^2 \\ & \, \, \, \, \, \, + C_3^x 1^{x-3}.\left( \frac{1}{x} \right)^3 + … + C_x^x.\left( \frac{1}{x} \right)^x \\ & = C_0^x + C_1^x.\left( \frac{1}{x} \right) + C_2^x .\left( \frac{1}{x} \right)^2 + C_3^x .\left( \frac{1}{x} \right)^3 + … + C_x^x.\left( \frac{1}{x} \right)^n \\ & = \frac{x!}{(x-0)!.0!} + \frac{x!}{(x-1)!1!}.\left( \frac{1}{x} \right) + \frac{x!}{(x-2)!2!} .\left( \frac{1}{x} \right)^2 \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x!}{(x-3)!3!} .\left( \frac{1}{x} \right)^3 + … + \frac{x!}{(x-x)!x!}.\left( \frac{1}{x} \right)^x \\ & = \frac{x!}{x!} . 1 + \frac{x.(x-1)!}{(x-1)!. 1!}.\left( \frac{1}{x} \right) + \frac{x.(x-1).(x-2)!}{(x-2)!2!} .\left( \frac{1}{x^2} \right) \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x.(x-1).(x-2).(x-3)!}{(x-3)!3!} .\left( \frac{1}{x^3} \right) + … + \frac{x!}{0!x!}.\left( \frac{1}{x^x} \right) \\ & = 1 + \frac{x}{ 1!}.\left( \frac{1}{x} \right) + \frac{x.(x-1)}{2!} .\left( \frac{1}{x^2} \right) \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x.(x-1).(x-2)}{3!} .\left( \frac{1}{x^3} \right) + … + \frac{x!}{x!}.\left( \frac{1}{x^x} \right) \\ & = 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{x^2 – x}{x^2} . \frac{1}{2!} + \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} . \frac{1}{3!} \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x^4-6x^3 – 7x^2 – 6x}{x^4} . \frac{1}{4!} + … + \frac{x.(x-1).(x-2)…(x-x)}{x^x}. \frac{1}{x!} \\ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x & = 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{x^2 – x}{x^2} . \frac{1}{2!} + \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} . \frac{1}{3!} \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x^4-6x^3 – 7x^2 – 6x}{x^4} . \frac{1}{4!} + … + \frac{x^x + c_{x-1}x^{x-1} + …. }{x^x}. \frac{1}{x!} \\ \end{align} $

Baca Juga:   Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton)

*). Penyelesaian limit tak hingga lalu :
Bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^n + a_{n-1}x^{n-1} + ….}{bx^n + b_{n-1}x^{n-1} + ….} = \frac{a}{b} $
(hasilnya merupakan pembagian koefisien pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya).
Sesampai lalu kita peroleh hasil limit tak hingga lalu berikut ini :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^2 – x}{x^2} = \frac{1}{1} = 1 $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} = \frac{1}{1} = 1 $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^4-6x^3 – 7x^2 – 6x}{x^4} = \frac{1}{1} = 1 $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^x + c_{x-1}x^{x-1} + …. }{x^x} = \frac{1}{1} = 1 $

*). Bentuk limit tak hingga lalu dari nilai $ e $ :
$ \begin{align} e & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \, \, \, 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{x^2 – x}{x^2} . \frac{1}{2!} + \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} . \frac{1}{3!} \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x^4-6x^3 – 7x^2 – 6x}{x^4} . \frac{1}{4!} + … + \frac{x^x + c_{x-1}x^{x-1} + …. }{x^x}. \frac{1}{x!} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \, \, \, \left( 1 + \frac{1}{ 1!} +1. \frac{1}{2!} + 1 . \frac{1}{3!} + 1. \frac{1}{4!} + … + 1. \frac{1}{x!} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \, \, \, \left( 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + … + \frac{1}{x!} \right) \\ & = 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + … + \frac{1}{\infty} \\ & = 1 + \frac{1}{ 1} + \frac{1}{2.1} + \frac{1}{3.2.1} + \frac{1}{4.3.2.1} + \frac{1}{5.4.3.2.1} + … + \frac{1}{\infty} \\ & = 1 + \frac{1}{ 1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + … + \frac{1}{\infty} \\ & = 1 + 1 + 0,5 + 0,166666… + 0,04166666… + 0,0083333…. + … + 0 \\ & \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352…. \end{align} $

Kesimpulannya, kita peroleh nilai besar bilangan Euler ($e$) dengan pendekatan ialah :
$ e \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352…. $

       Demikian pembahasan bahan Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton sebagai salah satu kegunaan dari konsep binomial Newton dan bahan lainnya. Semoga bahan ini bermanfaat. Terimakasih.