Bilangan Rasional Dan Irrasional

Posted on
         Pondok Soal.com – Pada sistem bilangan, terdapat dua jenis bilangan yakni bilangan real dan imajiner. Jika bilangan real dan imajiner digabung menjadi satu (baik terdiri dari masing-masing atau adonan keduanya) , maka disebut bilangan kompleks. Bilangan kompeks biasanya dipelajari dikala di dingklik kuliah atau bagi siswa Sekolah Menengan Atas yang mengikuti Olimpiade Matematika SMA.

         Bilangan real terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irrasional yang akan dibahas pada artikel ini. Bilangan Rasional itu sendiri terdiri dari bilangan bundar dan bilangan penggalan yang pembilang dan penyebutnya bilangan bulat.

         Bilangan Rasional dan Irrasional ini kita bahas alasannya akan berkaitan eksklusif dengan bentuk akar yang ada pada bahan eksponen. Suatu bentuk perpangkatan disebut bentuk akar apabila karenanya berupa bilangan irrasional. Selain dari keterkaitannya dengan bentuk akar, Bilangan Rasional dan Irrasional juga terdapat sedikit variasi bentuk dan soal yang ternyata menarik dan sanggup dikatakan menantang untuk dipahami dan kita kerjakan.

Pegertian Bilangan Rasional dan Irrasional
(i). Bilangan Rasional
       Bilangan Rasional merupakan suatu bilangan yang sanggup diubah dalam bentuk penggalan $ \frac{a}{b} \, $ dengan $ a \, $ dan $ b \, $ merupakan bilangan bulat. Penekanannya merupakan $ a \, $ dan $ b \, $ harus bilangan bulat, apabila salah satu saja bukan bilangan bundar maka bukan termasuk bilangan rasional.
(ii). Bilangan Irrasional
       Bilangan Irrasional merupakan suatu bilangan yang $ tak \, $ sanggup diubah dalam bentuk penggalan $ \frac{a}{b} \, $ dengan $ a \, $ dan $ b \, $ merupakan bilangan bulat. Bisa juga diartikan sebagai salah satu atau keduanya dari $ a \, $ dan $ b \, $ bukan meruakan bilangan bulat, sesampai lalu bukan termasuk bilangan rasional. Akan tenamun, bukan berarti semua bilangan yang bukan rasional merupakan merupakan bilangan irrasional, alasannya sanggup saja sebagai bilangan imajiner.

         Untuk lebih memahami ihwal bilangan rasional dan irrasional, kurang kompleks rasanya tanpa melihat contoh-contoh berikut ini.

Contoh 1.
Bilangan bundar dan bilangan penggalan (dengan pembilang dan penyebutnya bilangan bulat) merupakan referensi bilangan rasional.
Penterangan :
*). Misal bilangan bulatnya merupakan 3.
3 sanggup diubah dalam bentuk penggalan : $ 3 = \frac{3}{1} = \frac{6}{2} = \frac{9}{3} = ….. $
dengan pembilang dan penyebutnya bilangan bulat.
*). Misal bilangan pecahannya merupakan $ \frac{2}{5} $
$ \frac{2}{5} \, $ termasuk bilangan rasional alasannya pembilang dan penyebutnya bilangan bulat.

Contoh 2.

Bilangan desimal terbatas(bersampai kemudian) merupakan referensi bilangan rasional.
Penterangan :
Bilangan desimal terbatas(bersampai kemudian) maksudnya kayanya angka dibelakang koma terbatas. Misalkan :
*). $ 0,3 = \frac{3}{10} $
*). $ 1,56 = \frac{156}{100} $
*). $ 0,12456789 = \frac{12456789}{100000000} $
yang mana semua pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat.

Contoh 3.

Bilangan desimal tak tersampai lalu berulang merupakan referensi bilangan rasional.
Penterangan :
Bilangan desimal tak tersampai lalu berulang maksudnya kayanya angka dibelakang koma tak tersampai lalu (biasanya diisi dengan titik-titik) dan angka yang dipakai berulang terus menerus. Misalkan :
*). $ 0,222222222… = \frac{2}{9} $
*). $ 0,14141414… = \frac{14}{99} $
*). $ 0,125125125… = \frac{125}{999} $
yang mana semua pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat.
Penterangan lebih mendalam ihwal bilangan desimal tak hingga lalu berulang akan dibahas lebih mendalam sesudah contoh-contoh ini.

Contoh 4.

Bilangan desimal tak tersampai lalu tak berulang merupakan referensi bilangan irrasional.
Penterangan :
Bilangan desimal tak tersampai lalu tak berulang maksudnya kayanya angka dibelakang koma tak tersampai lalu (biasanya diisi dengan titik-titik) dan angka yang dipakai tak berulang. Misalkan :
*). $ 0,213457345129… $
*). $ 3,7856216800033445… $
tak sanggup diubah dalam bentuk penggalan $ \frac{a}{b} \, $ dengan $ a \, $ dan $ b \, $ bilangan bulat.

Contoh 5.

Bentuk akar dan sedikit hasil logaritma serta trigonometri merupakan referensi bilangan irrasional.
Penterangan :
Bentuk akar karenanya niscaya berupa bilangan desimal tak tersampai lalu tak berulang, yang menurut referensi 4 di atas merupakan referensi bilangan irrasional. Begitu juga untuk sedikit hasil logaritma dan trigonometri. Misalkan :
*). $ \sqrt{2} = 1,41421… $
*). $ \log 5 = 1,6989700 $
*). $ \tan 60^\circ = 1,73205… $
Bilangan Desimal tak hingga lalu Berulang

         Bilangan Desimal tak hingga lalu Berulang maksudnya kayanya angka dibelakang koma tak tersampai lalu (biasanya diisi dengan titik-titik) dan angka yang dipakai berulang terus menerus. Untuk penterangan kali ini, kita akan pelajari ihwal cara mengubah bentuk desimal menjadi bentuk pecahan.

a). Berulang satu angka
$0,\overline{a} = 0,aaaaa…. = \frac{a}{9} $
Pembuktian :
Misalkan $ x = 0,aaaaaa… $
$\begin{array}{cccc} 10x & = & a, aaaaaa… & \\ x & = & 0, aaaaaa… & – \\ \hline 9x & = a & & \\ x & = \frac{a}{9} & & \end{array} $
b). Berulang dua angka
$0,\overline{ab} = 0,ababababab…. = \frac{ab}{99} $
Pembuktian :
Misalkan $ x = 0,ababababab… $
$\begin{array}{cccc} 100x & = & ab,abababab… & \\ x & = & 0, ababababab… & – \\ \hline 99x & = ab & & \\ x & = \frac{ab}{99} & & \end{array} $
c). Berulang tiga angka
$0,\overline{abc} = 0,abcabcabcabcabc…. = \frac{abc}{999} $
Pembuktian :
Misalkan $ x = 0,abcabcabcabcabc… $
$\begin{array}{cccc} 1000x & = & abc,abcabcabcabc… & \\ x & = & 0, abcabcabcabcabc… & – \\ \hline 999x & = abc & & \\ x & = \frac{abc}{999} & & \end{array} $
d). Berulang sekian angka
$0,\overline{abcd} = 0,abcdabcdabcdabcdabcd…. = \frac{abcd}{9999} $
$0,\overline{abcde} = 0,abcdeabcdeabcdeabcdeabcde…. = \frac{abcde}{99999} $
dan seterusnya …
Terlihat bahwa penyebutnya merupakan angka 9 sekaya angka yang diulang.
Contoh
Berikut merupakan referensi bentuk desimal berulang :
*). $ 0,\overline{5} = 0,55555…. = \frac{5}{9} $
*). $ 2,\overline{3} = 2+ 0,\overline{3} = 2 + 0,33333…. = 2 + \frac{3}{9} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} $
*). $ 0,\overline{37} = 0,373737…. = \frac{37}{99} $
*). $ 0,\overline{215} = 0,215215215…. = \frac{215}{999} $
*). $ 0,\overline{1234} = 0,123412341234…. = \frac{1234}{9999} $

         Dari referensi soal Bilangan Rasional dan Irrasional di atas, ternyata ada bentuk bilangan desimal berlang tak terbatas yang merupakan bilangan rasional. Tentu menarik untuk kita baca bersama bentuk tersebut yang dalam pikiran kita tak cukup sanggup diubah dalam bentuk pecahan, ternyata sanggup menjadi bentuk penggalan menyerupai penterangan di atas.