Bunga Beragam Dan Contohnya

Posted on

         Pondok Soal.com – Jika seseorang menyimpan uang di bank lalu setiap simpulan periode, bunga yang diperoleh tersebut tak diambil, maka bunga itu akan gotong royong modal menjadi modal gres yang akan berbunga pada periode berikutnya. Bunga yang diperoleh nilainya menjadi lebih besar dari bunga pada periode sebelumnya. Proses bunga berbunga pada ilustrasi ini dinamakan Bunga Majemuk. Pada artikel ini kita akan membahas bahan Bunga Majemuk dan Contohnya.

Perhatikan ilustrasi berikut ini :
       Sinta meminjam uang di koperasi untuk membeli kendaraan beroda empat sebesar Rp75.000.000,00 dengan bunga beragam 3% selama 3 tahun. Sinta mendapat rincian pinjamannya yang harus dibayarkan di simpulan tahun ketiga sebagai berikut.

Dari tabel di atas, terlihat bahwa besarnya bunga terus berubah setiap periodenya yang diperoleh dari mengalikan suku bunga ($i = 3\%$) dengan besarnya modal pada periode sebelumnya. Perhitungannya :
Modal sebelumnya = 75.000.000
bunga periode I = $ 3\% \times 75.000.000 = 2.250.000 \, $
Modal periode I = 75.000.000 + 2.250.000 = 77.250.000
bunga periode II = $ 3\% \times 77.250.000 = 2.317.500 \, $ ,
begitu seterusnya.

Contoh soal :
1). Dani menyimpan uang di bank sebesar Rp1.000.000.00 dan bank menunjukkan bunga 10%/tahun. Jika bunga tak pernah diambil dan dianggap tak ada biaya manajemen bank. Tentukan besarnya bunga pada simpulan tahun pertama, simpulan tahun kedua, dan simpulan tahun ketiga ?

Penyelesaian :
*). Diketahui :
Suku bunga beragam : $ i = 10\% = \frac{10}{100}= 0,1 $
Modal awal : M = 1.000.000
*). Bunga simpulan tahun pertama/periode pertama ($B_1$) :
$ B_1 = i \times M = 0,1 \times 1.000.000 = 100.000 $.
*). Besar modal simpulan tahun pertama ($M_1$) :
$ M_1 = M + B_1 = 1.000.000 + 100.000 = 1.100.000 $.
*). Bunga simpulan tahun kedua/periode kedua ($B_2$) :
$ B_2 = i \times M_1 = 0,1 \times 1.100.000 = 110.000 $.
*). Besar modal simpulan tahun kedua ($M_2$) :
$ M_2 = M_1 + B_2 = 1.100.000 + 110.000 = 1.210.000 $.
*). Bunga simpulan tahun ketiga/periode ketiga ($B_3$) :
$ B_3 = i \times M_2 = 0,1 \times 1.210.000 = 121.000 $.
*). Besar modal simpulan tahun ketiga ($M_3$) :
$ M_3 = M_2 + B_3 = 1.210.000 + 121.000 = 1.331.000 $.
Jadi, besarnya bunga dari periode pertama hingga ketiga berturut-turut Rp100.000, Rp110.000, dan Rp121.000.

Rumus besarnya bunga pada simpulan periode ke-$n$ ($B_n$)
       Besarnya bunga setiap periode tertentu pribadi sanggup kita hitung dengan rumus berikut ini :
$ \begin{align} B_n = i \times (1+i)^{n-1} \times M \end{align} $

Keterangan :
$ B_n = \, $ bunga periode ke-$n$ (akhir periode ke-$n$)
$ i = \, $ suku bunga per periode
$ M = \, $ modal awal yang ditabung atau yang dipinjam

Contoh :
2). Kita akan coba menghitung kembali besarnya bunga pada pola soal nomor (1) di atas dengan rumus bunga.
Pada soal nomor (1) diketahui $ i = 10\% = 0,1 \, $ dan modal awal M = 1.000.000.
*). Menentukan besarnya bunga periode pertama, kedua dan ketiga dengan rumus
$ \begin{align} B_n = i \times (1+i)^{n-1} \times M \end{align} $
Besar bunga simpulan tahun pertama/periode pertama ($n=1$) :
$ \begin{align} B_n & = i \times (1+i)^{n-1} \times M \\ B_1 & = i \times (1+i)^{1-1} \times M \\ & = i \times (1+i)^{0} \times M \\ & = i \times 1 \times M \\ & = i \times M \\ & = 0,1 \times 1.000.000 \\ & = 100.000 \end{align} $
Besar bunga simpulan tahun kedua/periode kedua ($n=2$) :
$ \begin{align} B_n & = i \times (1+i)^{n-1} \times M \\ B_2 & = i \times (1+i)^{2-1} \times M \\ & = i \times (1+i)^{1} \times M \\ & = i \times (1 + i) \times M \\ & = 0,1 \times (1 + 0,1) \times 1.000.000 \\ & = 110.000 \end{align} $
Besar bunga simpulan tahun ketiga/periode ketiga ($n=3$) :
$ \begin{align} B_n & = i \times (1+i)^{n-1} \times M \\ B_3 & = i \times (1+i)^{3-1} \times M \\ & = i \times (1+i)^{2} \times M \\ & = 0,1 \times (1 + 0,1)^2 \times 1.000.000 \\ & = 121.000 \end{align} $
Kita peroleh hasil yang sama dengan perhitungan pada pola soal nomor (1) di atas.

Contoh soal :
3). Modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan bunga beragam 10%/tahun. Tentukan modal simpulan dan bunga yang diperoleh sesudah 6 tahun!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 5.000.000, $ i = 10\% = 0,1 \, $ , dan $ n = 6 $
*). Menentukan modal simpulan ($M_n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ & = 5.000.000 \times (1+0,1)^6 \\ & = 5.000.000 \times (1 ,1)^6 \\ & = 5.000.000 \times 1,771561 \\ & = 8.857.805 \end{align} $
Jadi, besar modal simpulan sesudah dibungakan selama 6 tahun merupakan Rp8.857.805,00.
*). Menentukan jumlah semua bunga yang diperoleh selama 6 tahun :
Total bunga = 8.857.805 – 5.000.000 = 3.857.805
Jadi, jumlah semua bunga selama 6 tahun merupakan Rp3.857.805,00.

4). Modal sebesar Rp2.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga beragam 5%/semester selama 5 tahun. Tentukan modal akhir!

Penyelesaian :
*). Diketahui :
M = 2.000.000 , $ i = 5\% = 0,05 \, $/semester (6 bulan).
Satuan $i \, $ dan $ n \, $ harus sama dengan tanpa merubah satuan dari $ i \, $ , sesampai lalu kita ubah $ n \, $ menjadi satu periode = 1 semester = 6 bulan. Sementara 1 tahun = 2 semester, sesampai lalu kita peroleh :
$ n = \, $ 5 tahun = 5 $ \times \, $ 2 semester = 10 semester.
*). Menentukan modal simpulan ($M_n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ & = 2.000.000 \times (1+0,05)^{10} \\ & = 2.000.000 \times (1 ,05)^{10} \\ & = 2.000.000 \times 1,628894627 \\ & = 3.257.789,25 \end{align} $
Jadi, besar modal simpulan sesudah dibungakan selama 5 tahun merupakan Rp3.257.789,25.

5). Radit menyimpang uangnya di bank sebesar Rp1.500.000,00 dibungakan dengan bunga beragam 4%/triwulan. Tentukan besar tabungan alhasil sesudah tabungannya berjalan selama 3 tahun 9 bulan.?

Baca Juga:   Diskonto Dalam Matematika Keuangan

Penyelesaian :
*). Diketahui :
M = 1.500.000 dan $ i = 4\% = 0,04 \, $ /triwulan (3 bulan).
Kita samakan satuan $ i $ dan $ n $ ialah sama-sama dalam triwulan.
1 triwulan = 3 bulan,
dan 3 tahun 9 bulan = $ 3 \times 12 + 9 = 45 \, $ bulan.
Sesampai lalu $ n = \frac{45}{3} = 15 \, $ triwulan.
*). Menentukan modal simpulan ($M_n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ & = 1.500.000 \times (1+0,04)^{15} \\ & = 1.500.000 \times (1 ,04)^{15} \\ & = 1.500.000 \times 1,800943506 \\ & = 2.701.415,26 \end{align} $
Jadi, besar tabungan simpulan Radit sesudah dibungakan selama 3 tahun 9 bulan merupakan Rp2.701.415,26.

6). Modal sebesar Rp3.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga beragam 4%/semester, sesudah berapa tahun modal simpulan menjadi = Rp4.440.732,87?

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 3.000.000, $ M_n = 4.440.732,87 \, $ dan $ i = 4\% = 0,04 \, $ /semester.
*). Sifat logaritma yang dipakai : $ \log a^n = n \times \log a $.
*). Menentukan usang menabung ($n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ 4.440.732,87 & = 3.000.000(1+0,04)^n \\ (1+0,04)^n & = \frac{4.440.732,87}{3.000.000} \\ (1,04)^n & = 1.48024429 \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat logaritma)} \\ \log (1,04)^n & = \log (1.48024429) \\ n \times \log (1,04) & = \log (1.48024429) \\ n & = \frac{\log (1.48024429)}{\log (1,04)} \, \, \, \, \, \text{(gunakan kalkulator)} \\ n & = 10 \end{align} $
Karena $ i $ dan $ n $ satuannya sama, maka $ n = \, $ 10 semester = 5 tahun.
Jadi, modal tersebut dibungakan selama 5 tahun.

7). Rita meminjam uang di koperasi sebesar Rp2.500.000,00 dibungakan dengan bunga beragam tiap bulan. Setelah 2 tahun modal menjadi Rp4.021.093,12. Tentukan suku bunganya!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 2.500.000, $ M_n = 4.021.093,12 \, $ dan
$ n = \, $ 2 tahun = 24 bulan ( satuan $i $ dan $ n $ sama-sama dalam bulan).
*). Sifat eksponen yang dipakai : $ a^n = b \rightarrow a = \sqrt[n]{b} $
*). Menentukan suku bunga ($i$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ 4.021.093,12 & = 2.500.000 \times (1+i)^{24} \\ (1+i)^{24} & = \frac{4.021.093,12}{2.500.000} \\ (1+i)^{24} & = 1,608437249 \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat eksponen)} \\ (1+i) & = \sqrt[24]{1,608437249 } \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan kalkulator)} \\ (1+i) & = 1.02 \\ i & = 1.02 – 1 \\ i & = 0,02 \\ i & = 0,02 \times 100\% \\ i & = 2 \% \end{align} $
Jadi, suku bunganya merupakan sebesar 2%/bulan.

Modal Akhir ($M_n$) Bunga Majemuk Dengan Masa Bunga Pecahan ($n$)
       Jangka waktu ($n$) proses berbunganya suatu modal tak hanya merupakan bilangan bulat. Jika jangka waktu bukan merupakan bilangan bulat, maka cara memilih nilai $ (1 + i)^n \, $ sanggup dilakukan dengan sedikit cara, antara lain:
i). Dengan menghitung pribadi bentuk $ (1 + i)^n \, $ memakai kalkulator,
ii). Sisa masa bunga yang belum dihitung, dipakai untuk menghitung bunga menurut bunga tunggal dari nilai simpulan masa bunga yang bulat. Jika disimpelkan dalam rumus merupakan sebagai berikut:
              $ \begin{align} M_n = M(1 + i)^n (1 + p.i) \end{align} $
Dengan $ p \, $ masa bunga pecahan

Baca Juga:   Pengertian Bunga Dalam Matematika Keuangan

Catatan :
Terdapat perbedaan sedikit modal simpulan yang diperoleh dari dua cara di atas.

Cotoh soal :
8). Modal sebesar Rp4.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga beragam 3%/bulan. Tentukanlah modal simpulan sesudah berbunga selama 5,75 bulan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 4.500.000, $ i = 3\% = 0,03 \, $ /bulan, dan $ n = 5,75 \, $ bulan.

Cara I, pribadi memakai rumus : $ M_n = M(1+i)^n $
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ & = 4.500.000 \times (1+0,03)^{5,75} \\ & = 4.500.000 \times (1 ,03)^{5,75} \\ & = 4.500.000 \times 1,18526113 \\ & = 5.333.675,08 \end{align} $
Jadi, besar modal simpulan sesudah dibungakan 5,75 bulan merupakan Rp5.333.675,08.

Cara II, memakai rumus $ M_n = M(1 + i)^n (1 + p.i) $ :
usang menabung 5,75 bulan, artinya $ n = 5 \, $ (bagian bulat) dan $ p = 0,75 \, $ (bagian pecahan).
$ \begin{align} M_n & = M(1 + i)^n (1 + p.i) \\ & = 4.500.000 (1 + 0,03)^5 (1 + 0,75 \times 0,03) \\ & = 4.500.000 (1 ,03)^5 \times (1 + 0,0225) \\ & = 4.500.000 \times 1,159274074 \times (1,0225) \\ & = 4.500.000 \times 1,185357741 \\ & = 5.334.109,84 \end{align} $
Jadi, besar modal simpulan sesudah dibungakan 5,75 bulan merupakan Rp5.334.109,84.

Catatan :
Terjadi perbedaan hasil antara cara I dan cara II ialah sebesar Rp434,76 dimana perbedaannya hanya kecil saja. Artinya kita boleh memakai salah satu dari cara yang ada, dan disarankan memakai cara kedua ialah memakai rumus $ M_n = M(1 + i)^n (1 + p.i) $.

9). Modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga beragam 10%/tahun. Tentukanlah modal simpulan sesudah berbunga selama 6 tahun 3 bulan.

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 5.000.000, $ i = 10\% = 0,1 \, $ /tahun.
Karena satuan $ i $ dalam tahun, maka 6 tahun 3 bulan kita ubah menjadi dalam tahun.
6 tahun 3 bulan = $ 6 + \frac{3}{12} = 6 + 0,25 = 6,25 \, $ tahun.
artinya $ n = 6 \, $ dan $ p = 0,25 $.
*). Menentukan modal simpulan ($M_n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1 + i)^n (1 + p.i) \\ & = 5.000.000 (1 + 0,1)^6 (1 + 0,25 \times 0,1) \\ & = 5.000.000 (1 ,1)^6 \times (1 + 0,025) \\ & = 5.000.000 \times 1,771561 \times (1,025) \\ & = 5.000.000 \times 1,815850025 \\ & = 9.079.250,125 \end{align} $
Jadi, besar modal simpulan sesudah dibungakan 6,25 tahun merupakan Rp9.079.250,125.

         Demikian pembahasan bahan Bunga Majemuk dan Contohnya . Selanjutnya silahkan baca juga bahan lain yang berkaitan bunga, pertumbuhan dan peluruhan ialah nilai tunai.