Cara Cepat Menghitung Luas Tempat Berkaitan Integral

Posted on

         Pondok Soal.com – Sebelumnya teman-teman telah berguru menghitung luas kawasan memakai integral dimana poin penting yang harus kita butuhkan dalam penghitungannya yaitu fungsi setiap kurva, batasan integralnya (baik sumbu X atau sumbu Y), dan kawasan arsirannya. Pada artikel ini kita akan mempelajari Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral baik dengan diketahui grafiknya (kurvanya) atau tak.

         Yang namanya cara cepat itu niscaya sifatnya terbatas. Apakah cara cepat ini sanggup digunakan untuk menghitung luas kawasan berkaitan integral semua jenis soal? tentu tak, hanya tipe soal tertentu yang sanggup kita gunakan cara cepat. Kami menyarankan bagi teman-teman yang lagi berguru menghitung luas kawasan sebaiknya juga menguasai konsep dasarnya juga, alasannya yaitu konsep dasar itu niscaya akan sanggup mengkover atau sanggup menuntaskan semua jenis soal yang berkaitan dengan integral luasan.

         Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral ini secara umum dibagi menjadi dua yaitu pertama : menghitung luas tanpa menggambar kurvanya (grafiknya) dan kedua : diketahui grafiknya tenamun tak diketahui fungsinya. Untuk penghitungannya juga ada dua yaitu pribadi memakai rumus baku (artinya tak perlu memakai integral) dan tetap memakai integral. Hanya saja untuk penggunaan rumus baku hanya terbatas pada bentuk fungsi kuadrat dan fungsi linear. Untuk lebih terangnya, pribadi saja kita pelajari materinya berikut ini.

Menghitung Luas Daerah dengan Rumus Baku
       Cara cepat yang pertama yaitu pribadi memakai rumus baku, artinya kita tak perlu memakai integral. Berikut penterangannya :

i). Rumus Diskriminan
       Tentu teman-teman masih ingat wacana cara memilih nilai Diskriminan pada bahan persamaan kuadrat? Misalkan ada bentuk $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ , nilai diskriminannya $ (D) \, $ sanggup dihitung dengan cara $ D = b^2 – 4ac $. Adapun syarat penggunaan rumus diskriminan ini merupakan untuk kawasan yang sempurna dibatasi oleh dua kurva yaitu kurva parabola dan parabola atau kurva parabola dan garis lurus.

Langkah-langkah pengerjaannya :
*). Samakan kedua fungsi, kemudian nolkan salah satu ruas.
*). Hitunglah nilai diskriminan $(D) \, $ tanpa menyederhanakan bentuk persamaan kuadratnya.
*). Hitung luas dengan rumus : Luas $ \, = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $

ii). Rumus Pengurangan titik potong
Perhatikan bentuk gambar berikut ini,

Misalkan kedua kurva menyerupai gambar di atas (syarat dua kurvanya menyerupai pada rumus diskriminan di atas) berpotongan di $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ , maka luas kawasan yang diarsir sanggup ditentukan dengan rumus : $ \text{Luas } = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 $.

iii). Rumus persegi panjang
       Rumus ketiga ada kaitannya dengan konsep luas persegi panjang. Syarat rumus ini sanggup digunakan hanya untuk fungsi kuadrat dimana kurvanya berupa parabola dan kawasan yang dicari luasnya harus sisinya melalui titik balik (titik puncak) dari parabola tersebut. Perhatikan gambar ilustrasinya berikut ini :

Dari gambar, luas kawasan A dan B apabila digabungkan membentuk persegi panjang. Perbandingan luas A dan B merupakan 2 : 1. Sesampai kemudian luas A atau B Yaitu :
Luas A $ \, = \frac{2}{3} \times \, $ luas persegi panjang,
Luas B $ \, = \frac{1}{3} \times \, $ luas persegi panjang.

Catatan : perlu diingat, bab di dalam kurva (bagian gemuk) terdapat luas lebih besar dari bab yang di luar kurva (bagian kurus).

Untuk pembuktian ketiga rumus di atas, silahkan dibaca pada artikel Pembuktian Rumus Cepat Luas Daerah Berkaitan Integral

Contoh Soal Cara Cepat Menghitung Luas Daerah :
1). Hitunglah luas kawasan yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 – 2x \, $ dan $ y = 6x – x^2 $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai diskriminannya :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 – 2x & = 6x – x^2 \\ 2x^2 – 8x & = 0 \\ a = 2, \, b = -8, \, c & = 0 \\ D & = b^2 – 4ac \\ & = (-8)^2 – 4 . 2 . 0 \\ & = 64 \end{align} $
*). Menghitung luasnya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2} = \frac{64 \sqrt{64}}{6. 2^2} = \frac{64 . 8}{24 } = \frac{64}{3} = 21\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luas kawasan yang diarsir merupakan $ \, 21\frac{1}{3} \, $ satuan luas.

Baca Juga:   Pengertian Anti Diferensial, Notasi Dan Jenis-Jenis Integral

2). Hitunglah luas kawasan yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 + 3x + 5 \, $ dan $ y = -4x – 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai diskriminannya :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + 3x + 5 & = -4x – 1 \\ x^2 + 7x + 6 & = 0 \\ a = 1, \, b = 7, \, c & = 6 \\ D & = b^2 – 4ac \\ & = (7)^2 – 4 . 1 . 6 \\ & = 25 \end{align} $
*). Menghitung luasnya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2} = \frac{25 \sqrt{25}}{6. 1^2} = \frac{125}{6} = 20\frac{5}{6} \end{align} $
Jadi, luas kawasan yang diarsir merupakan $ \, 20\frac{5}{6} \, $ satuan luas.

3). Hitunglah luas kawasan yang dibatasi oleh dua kurva menyerupai gambar di bawah ini,

Penyelesaian :
a). Gambar (a), kedua kurva berpotongan di $ x_1 = 3 \, $ dan $ x_2 = 5 $.
*). Menentukan nilai $ a $
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 2x^2 + bx + c & = -x^2 + px + q \\ 3x^2 + (b-p)x + (c-q) & = 0 \\ \end{align} $
kita peroleh nilai $ a = 3 $.
*). Menghitung luasnya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 = \frac{3}{6}|3-5|^3 = \frac{1}{2}|-2|^3 = \frac{1}{2}. 8 = 4 \end{align} $
Jadi, luas kawasan yang diarsir merupakan $ \, 4 \, $ satuan luas.

b). Gambar (b), kedua kurva berpotongan di $ x_1 = 4 \, $ dan $ x_2 = 6 $.
*). Menentukan nilai $ a $
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 3x^2 + bx + c & = mx + n \\ 3x^2 + (b-m)x + (c-n) & = 0 \\ \end{align} $
kita peroleh nilai $ a = 3 $.
*). Menghitung luasnya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 = \frac{3}{6}|4-6|^3 = \frac{1}{2}|-2|^3 = \frac{1}{2}. 8 = 4 \end{align} $
Jadi, luas kawasan yang diarsir merupakan $ \, 4 \, $ satuan luas.

Catatan :
Untuk pola soal nomor 3 ini, apabila kita memakai konsep dasar maka harus memilih fungsi kurva masing-masing yang belum kompleks.

4). Perhatikan gambar berikut ini, tentukan luas kawasan yang diarsir.

Penyelesaian :
a). Gambar (a), persegi panjang dengan panjang 2 dan lebar 3 menyerupai gambar berikut ini :

Luas $ \, = \frac{2}{3} \times p \times l = \frac{2}{3} \times 2 \times 3 = 4 $.
Jadi, luas kawasan gambar (a) merupakan 4 satuan luas.

b). Gambar (b), kita bagi menjadi dua bab yaitu L1 dan L2 berupa segitiga

*). Menghitung luas masing-masing :
Luas L1 $ \, = \frac{2}{3} \times p \times l = \frac{2}{3} \times 2 \times 2 = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $
Luas L2 (segitiga) $ \, = \frac{1}{2} \times a \times t = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 $
Sesampai kemudian luas totalnya :
Luas $ \, = L1 + L2 = 2\frac{2}{3} + 2 = 4\frac{2}{3} $.
Jadi, luas kawasan gambar (b) merupakan $ \, 4\frac{2}{3} \, $ satuan luas.

5). Parabola berikut terdapat klimaks di $(a,b)$ . Jika luas kawasan yang diarsir merupakan 5 satuan luas, maka tentukan nilai $ a + b $ ?

Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita bagi wilayahnya menjadi dua menyerupai gambar berikut ini

Luas A sama dengan luas B. Persegi panjang yang terbentuk pada kawasan A terdapat panjang 1 dan lebar $ b $.
*). Menentukan nilai $ b $ :
$\begin{align} \text{Luas arsir } & = L_A + L_B \\ 5 & = 2 \times L_A \\ 5 & = 2 \times \frac{2}{3} \times p \times l \\ 5 & = \frac{4}{3} \times 1 \times b \\ 5 & = \frac{4}{3} \times b \\ b & = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
Karena titik $(a,b) \, $ merupakan titik puncak, maka $ a \, $ terletak ditengah-tengah antara titik potong parabola dengan sumbu X yaitu antara 2 dan 4, artinya nilai $ a = \frac{2 + 4}{2} = 3 $.
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
Nilai $ a + b = 3 + 3\frac{3}{4} = 6\frac{3}{4} $
Jadi, kita peroleh nilai $ a + b = 6\frac{3}{4} $.

         Bagaimana apabila rumus baku di atas tak sanggup kita gunakan untuk menghitung luas kawasan berkaitan integral alasannya yaitu syaratnya tak terpenuhi? Tenang saja teman, kita masih ada cara lain yaitu tak perlu menggambar grafiknya dimana sebagian besar siswa sangat kurang bahagia dalam menggambar kurva suatu fungsi. Kita tetap memakai konsep luas memakai integral hanya saja kita tak perlu menggambar kurvanya, yang kita butuhkan hanya batas dan fungsinya dan sedikit analisa apabila ada lebih dari satu kawasan yang harus dihitung luasnya.

Menghitung Luas Daerah dengan integral Tanpa menggambar kurva (grafiknya)
Langkah-langkah dalam menghitung luasnya :
i). Tentukan titik potong kurva terhadap sumbu X (dengan substitusi $ y = 0 $ ) untuk luasan satu kurva dan tentukan titik potong kedua kurva apabila dibatasi dua kurva.
ii). Dari titik potong bab (i), kita akan memilih apakah pada batasan tersebut wilayahnya sudah di atas sumbu X atau di bawah dengan cara mensubstitusi salah satu nilai $ x \, $ yang ada diantara titik potong ke fungsinya. Jika nilai fungsi positif maka wilayahnya ada di atas dan apabila nilai fungsi negatif maka wilayahnya ada di bawah sumbu X.
iii). Menghitung luasnya dengan integral.

Contoh soal menghitung luas kawasan dengan integral tanpa menggambar kurva (grafiknya) :
6). Hitunglah luas kawasan yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 – 6x + 8 , \, $ sumbu X, garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 4 $.
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kurva terhadap sumbu X :
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow x^2 -6x + 8 & = 0 \\ (x – 2)(x-4) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 4 \end{align} $
Ternyata titik potong pada sumbu X di $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ sama dengan batas garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 4 $, artinya batasan integralnya sudah jelas yaitu dari 2 hingga 4.
*). Menentukan letak kawasan arsiran
Batasannya antara 2 dan 4, kita coba titik $ x = 3 \, $ ,
$ \begin{align} x = 3 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = 3^2 -6.3 + 8 \\ & = 9 -18 + 8 \\ & = -1 \end{align} $
Karena hasil fungsinya negatif $(-1) $ , artinya kawasan arsiran ada di bawah sumbu X, sesampai kemudian semoga luasnya positif kita kalikan dengan negatif.
*). Menghitung luasnya
$ \begin{align} \text{Luas } & = – \int \limits_2^4 x^2 -6x + 8 dx \\ & = -[ \frac{1}{3}x^3 -3x^2 + 8x ]_2^4 \\ & = -([ \frac{1}{3}.4^3 -3.4^2 + 8.4 ] – [ \frac{1}{3}.2^3 -3.2^2 + 8.2 ]) \\ & = -([ \frac{64}{3} -48 + 32 ] – [ \frac{8}{3}.2^3 -12 + 16 ]) \\ & = -([ \frac{64}{3} -16 ] – [ \frac{8}{3}.2^3 + 4 ]) \\ & = -( \frac{56}{3} – 20) \\ & = -( – \frac{4}{3} ) \\ & = \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, luas kawasan yang dimaksud merupakan $ \frac{4}{3} \, $ satuan luas.

Baca Juga:   Teorema Mendasar Kalkulus Pada Integral

7). Hitunglah luas kawasan yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 – 6x + 8 , \, $ sumbu X, garis $ x = 0 \, $ dan garis $ x = 3 $.
Penyelesaian :
*). soal ini menyerupai dengan sola nomor 6, sesampai kemudian titik potong terhadap sumbu X merupakan $ x = 2 \, $ dan $ x = 4 $.
Batas yang diminta merupakan garis $ x = 0 \, $ dan garis $ x = 3 $, artinya dari titik potong tersebut ada pembatas $ x = 2 \, $ yang membagi kawasan untuk $ x = 0 \, $ hingga $ x = 3 $, ini mengambarkan ada dua kawasan yang akan dihitung luasnya yaitu kawasan 0 hingga 2 dan kawasan 2 hingga 3.
*). Menentukan letak kawasan arsiran
Daerah pertama 0 hingga 2, substitusi $ x = 1 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = 1^2 -6.1 + 8 \\ & = 1 -6 + 8 \\ & = 3 \end{align} $
Karena hasil fungsinya positif , artinya kawasan arsiran ada di atas sumbu X untuk kawasan 0 hingga 2.
Daerah kedua 2 hingga 3, substitusi $ x = 2,5 $
$ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = (2,5)^2 -6.(2,5) + 8 \\ & = 6,25 -15 + 8 \\ & = -0,75 \end{align} $
Karena hasil fungsinya negatif , artinya kawasan arsiran ada di bawah sumbu X untuk kawasan 2 hingga 3, semoga luasnya positif maka harus kita kalikan negatif.
*). Menghitung luasnya
$ \begin{align} \text{Luas } & = L_1 + L_2 \\ & = \int \limits_0^2 x^2 -6x + 8 dx + (- \int \limits_2^3 x^2 -6x + 8 dx ) \\ & = \int \limits_0^2 x^2 -6x + 8 dx – \int \limits_2^3 x^2 -6x + 8 dx \end{align} $
Jadi, luas kawasan yang dimaksud sanggup dihitung dari bentuk integral di atas.

8). Hitunglah luas kawasan yang dibatasi oleh kurva $ y = x^3 – 4x \, $ dan sumbu X.
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kurva terhadap sumbu X :
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow x^3 – 4x & = 0 \\ x(x^2 – 4) & = 0 \\ x(x – 2)(x+2) & = 0 \\ x = 0, \, x = 2, \, \vee x & = -2 \end{align} $
Karena batasnya pribadi dengan sumbu X, maka batasan integral yang kita gunakan pribadi memakai titik potong sumbu X. Ada tiga titik potongnya, artinya ada dua kawasan yang akan kita hitung luasnya yaitu kawasan dari -2 hingga 0 dan dari 0 hingga 2.
Daerah pertama -2 hingga 0, substitusi $ x = -1 $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow y & = x^3 – 4x \\ y & = (-1)^3 – 4.(-1) \\ & = -1 + 4 \\ & = 3 \end{align} $
Karena hasil fungsinya positif , artinya kawasan arsiran ada di atas sumbu X untuk kawasan -2 hingga 0.
Daerah kedua 0 hingga 2, substitusi $ x = 1 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow y & = x^3 – 4x \\ y & = 1^3 – 4.1 \\ & = 1 – 4 \\ & = -3 \end{align} $
Karena hasil fungsinya negatif , artinya kawasan arsiran ada di bawah sumbu X untuk kawasan 0 hingga 2, semoga luasnya positif maka harus kita kalikan negatif.
*). Menghitung luasnya
$ \begin{align} \text{Luas } & = L_1 + L_2 \\ & = \int \limits_{-2}^0 x^3 – 4x dx + (- \int \limits_0^2 x^3 – 4x dx ) \\ & = \int \limits_{-2}^0 x^3 – 4x dx – \int \limits_0^2 x^3 – 4x dx \\ & = [\frac{1}{4}x^4 – 2x^2]_{-2}^0 – [\frac{1}{4}x^4 – 2x^2]_0^2 \\ & = ([ 0 ]-[\frac{1}{4}. (-2)^4 – 2.(-2)^2]) – ([\frac{1}{4}.2^4 – 2.2^2] – [0]) \\ & = ([ 0 ]-[4 – 8]) – ([4 – 8] – [0]) \\ & = ([ 0 ]-[-4]) – ([-4] ) \\ & = 4 + 4 \\ & = 8 \end{align} $
Jadi, luas kawasan yang dimaksud merupakan 8 satuan luas.

Baca Juga:   Penghitungan Dan Sifat-Sifat Integral Tertentu

9). Hitunglah luas kawasan yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 – 2x + 5 , \, y = 4x – 3 \, $ , garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 3 $.
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kedua kurva :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 – 2x + 5 & = 4x – 3 \\ x^2 – 6x + 8 & = 0 \\ (x-2)(x-4) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 4 \end{align} $
Ternyata titik potong pada sumbu X di $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ . Namun batasan yang diminta merupakan garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 3 $, artinya batasan integralnya ada di dalam interval 2 hingga 4, sesampai kemudian yang digunakan merupakan batasannya dari 2 hingga 3.
*). Menentukan posisi kurva mana yang di atas dan mana yang di bawah.
Batasannya antara 2 dan 3, kita coba titik $ x = 2,5 \, $ ,
kurva : $ y = x^2 – 2x + 5 $
$ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = x^2 – 2x + 5 \\ y & = (2,5)^2 – 2.(2,5) + 5 \\ & = 6,25 -5 + 5 \\ & = 6,25 \end{align} $
kurva : $ y = 4x – 3 $
$ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = 4x – 3 \\ y & = 4.(2,5) – 3 \\ & = 10 – 3 \\ & = 7 \end{align} $
Karena nilai untuk kurva $ y = x^2 – 2x + 5 \, $ lebih kecil dari nilai kurva $ y = 4x – 3 \, $ , artinya kurva pertama di bawah kurva kedua.
*). Menghitung luasnya
$ \begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_2^3 (4x – 3) – (x^2 – 2x + 5) dx \\ & = \int \limits_2^3 -x^2 + 6x – 8 dx \\ & = [-\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 – 8x ]_2^3 \\ & = [-\frac{1}{3}.3^3 + 3.3^2 – 8.3 ] – [-\frac{1}{3}.2^3 + 3.2^2 – 8.2 ] \\ & = [-9 + 27 – 24 ] – [-\frac{8}{3} + 12 – 16 ] \\ & = [-6 ] – [-\frac{8}{3} – 4 ] \\ & = -2 + \frac{8}{3} \\ & = \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, luas kawasan yang dimaksud merupakan $ \frac{2}{3} \, $ satuan luas.

       Bagaimana pembahasan Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral pada artikel ini? Mudah-mudahan sanggup membantu teman-teman yang lagi mempelajari bahan integral khususnya wacana penggunaan integral pada luas kawasan arsiran. Yang namanya cara cepat niscaya sifatnya terbatas hanya untuk soal-soal terntentu saja. Jadi, kami sarankan bagi teman-teman untuk menguasai konsep dasar menghitung luas kawasan dengan integral yaitu membutuhkan fungsi, batasan, dan wilayahnya dengan menggambar kurvanya.