Cara Memilih Tanda + Atau – Pada Garis Bilangan

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas bahan Cara Menentukan Tanda + atau – pada Garis Bilangan yang berkaitan dengan penyelesaian pertaksamaan. Garis bilangan pertaksamaan biasanya kita perlukan saat akar-akar (pembuaat nol) pada pertaksamaannya lebih dari satu. Nah, terkadang tak semua kita sanggup dengan gampang dalam Cara Menentukan Tanda + atau – pada Garis Bilangan. Sebenarnya Cara Menentukan Tanda + atau – pada Garis Bilangan ini sudah kita bahas dalam artikel “Pertaksamaan secara Umum“, namun hanya secara sekilas saja (tak terlalu mendalam). Pada bahan “Pertaksamaan secara Umum”, telah dibahas perihal ‘Langkah-langkah umum menyelesaiakan pertaksamaan’ dimana salah satu langkahnya merupakan kita membutuhkan garis bilangan dan tandanya yaitu $ + $ atau $ – $ . Catatan : pada pembahasan artikel ini, kita hanya khusus membahas bentuk garis bilangan dan tanda pada setiap intervalnya yaitu $ + $ atau $ – $ saja. Berikut langkah-langkah umum penyelesaian pertaksamaan untuk bermacam jenis pertaksamaan.

Langkah-langkah umum menyelesaiakan pertaksamaan
       Langkah – langkah berikut sanggup dipakai untuk menuntaskan semua jenis pertaksamaan :

$\spadesuit $ Solusi Umum (HP1) :
1). Nolkan ruas kanan
2). Tentukan akar-akar (pembuat nolnya) dari pertaksamaan dengan cara mengubah ketaksamaan menjadi sama dengan (=) kemudian difaktorkan.
3). Tuliskan akar-akar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap intervalnya ( $+$ atau $ – $ setiap daerah)
4). Arsir tempat yang sesuai ( $ > $ untuk $ + $ , dan $ < $ untuk $ – $ )
5). Tulis himpunan penyelesaiannya (HP1)

$ \spadesuit $ Solusi syarat-syarat apabila ada ( HP2 ).
*). caranya sama dengan solusi umum di atas
*). solusi syarat biasanya ada pada pertaksamaan pecahan, bentuk akar, dan logaritma.

$\spadesuit $ Solusi totalnya merupakan irisan HP1 dan HP2

         Sebagaimana yang kita ketahui bersama, jenis-jenis pertaksamaan ada kaya, diantaranya yaitu Pertaksamaan linear, pertaksamaan kuadrat, pertaksamaan bagian (rasional), pertaksamaan bentuk akar (irrasional), pertaksamaan nilai mutlak, pertaksamaan eksponen, pertaksamaan logaritma, pertaksamaan trigonometri, dan pertaksamaan dalam bentuk kombinasinya (gabungan sedikit jenis pertaksamaan). Nah, ternyata Cara Menentukan Tanda + atau – pada Garis Bilangan sama semua, termasuk cara penyelesaiannya mengikuti langkah-langkah umum di atas. Berikut Cara Menentukan Tanda + atau – pada Garis Bilangan secara lebih mendalam dengan bermacam bentuk atau jenis pertaksamaan.

Cara menentukan tanda $+$ atau $ – $ pada garis bilangan
       Untuk menentukan tanda $ + $ atau $ – $ pada garis bilangan, nolkan ruas kanan pertaksamaan, kemudian pilih angka dari selang yang terbentuk pada garis bilangan dan substitusikan ke persamaan yang terbentuk di ruas kiri.

Catatan :
*). Kami sarankan untuk menentukan $ x $ yang gampang di hitung saat kita substitusikan ke persamaannya.
*). Jangan menentukan akar-akarnya sebagai titik uji.

Cara Menentukan Tanda + atau – pada Garis Bilangan yang diterangkan di atas merupakan secara garis besar yaitu kita harus mengecek satu persatu setiap intervalnya. Namun, apabila intervalnya ada kaya, maka akan kaya waktu yang terbuang untuk mengecek satu persatu tanda untuk setiap intervalnya. Nah untuk memudahkan, kita akan bahas trik-trik khusus dalam Cara Menentukan Tanda + atau – pada Garis Bilangan. Kita bagi dalam dua bentuk fungsi yaitu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri dengan pembahasannya masing-masing.

Baca Juga:   Pertidaksamaan Secara Umum

$ \spadesuit \, $ Cara Menentukan Tanda + atau – pada Garis Bilangan Pertaksamaan Fungsi Aljabar.
       Ada dua kecukupan tanda yang terbentuk yaitu :
1). Tanda selang-seling apabila akarnya sekaya ganjil,
2). Tanda tak selang-seling apabila akarnya sekaya genap.
Catatan :
*). Tanda selang-seling maskudnya merupakan sehabis + niscaya $ – $ atau sebaliknya yaitu sehabis $ – $ niscaya $ + $.
*). Jika teman-teman tak yakin dengan tanda + atau $ – $ yang sudah dibuat, maka sebaiknya kita uji satu persatu intervalnya untuk memastikan tanda + atau $ – $ nya sudah benar, alasannya yakni tanggapan final kita tergantung dari benar atau salahnya garis bilangan dan tandanya.

Contoh soal Cara Menentukan Tanda + atau – pada Garis Bilangan

1). Tentukan garis bilangan dari pertaksamaan berikut :
a). $ x(x-1)(x+3) \geq 0 $
b). $ (x+2)^2(x-5)(x+1)^3 > 0 $
c). $ (x+3)(x-1)^3(x+1)^5 \leq 0 $
d). $ (x+4)^3(x-1)^2 \geq 0 $
Penyelesaian :
a). $ x(x-1)(x+3) \geq 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertaksamaan:
Faktor dari $ x(x-1)(x+3) = 0 $ yaitu $ x, x – 1, x + 3 $
-). faktor I : $ x = 0 \, $ , ada satu akar (sekaya ganjil)
-). faktor II : $ x – 1 = 0 \rightarrow x = 1 \, $ , ada satu akar (sekaya ganjil)
-). faktor III : $ x + 3 = 0 \rightarrow x = -3 \, $ , ada satu akar (sekaya ganjil)
*). Karena semua akar-akarnya masing-masing sekaya ganjil, maka niscaya tandanya akan selang-seling untuk interval yang bermenggantian. Berikut kita cek salah satu interval yang paling kiri dengan menentukan $ x = -4 $.
$ x = -4 \rightarrow x(x-1)(x+3) = -4.(-4-1)(-4+3) = – \times – \times – = – $ (negatif)
Berikut gambar garis bilangannya :

Karena tanda ketaksamaannya $ \geq $ (ada sama dengannya), maka akar-akarnya ikut jadi penyelesaian sesampai kemudian pada garis bilangannya diberi bulatan penuh. Misalkan kita cek salah satu akarnya yaitu $ x = 1 $ :
$ x = 1 \rightarrow x(x-1)(x+3) \geq 0 \rightarrow 1.(1-1)(1+3) \geq 0 \rightarrow 0 \geq 0 \, $ (BENAR).

b). $ (x+2)^2(x-5)(x+1)^3 > 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertaksamaan:
Faktor dari $ (x+2)^2(x-5)(x+1)^3 = 0 $ yaitu $ (x+2)^2, (x-5), (x+1)^3 $
-). faktor I : $ (x+2)^2 = 0 \rightarrow (x+2)(x+2) = 0 \rightarrow x = -2 , x = -2 $,
ada dua akar (sekaya genap) sesampai kemudian interval kiri dan kanannya tak selang-seling.
-). faktor II : $ (x-5) = 0 \rightarrow x = 5 \, $ ,
ada satu akar (sekaya ganjil) sesampai kemudian interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor III : $ (x+1)^3 = 0 \rightarrow (x + 1)(x+1)(x+1) = 0 \rightarrow x = -1, x = -1, x = -1$ ,
ada tiga akar (sekaya ganjil) sesampai kemudian interval kiri dan kanannya selang-seling.
*). Berikut kita cek salah satu interval yang memuat angka $ x = 0 $
$ x = 0 \rightarrow (x+2)^2(x-5)(x+1)^3 = (0+2)^2(0-5)(0+1)^3 = + \times – \times + = – $ (negatif)
Artinya interval yang memuat angka $ 0 $ bertanda $ – $ . Berikut gambar garis bilangannya :

Karena tanda ketaksamaannya $ > $ (tak ada sama dengannya), maka akar-akarnya tak ikut jadi penyelesaian sesampai kemudian pada garis bilangannya diberi bulatan kosong. Misalkan kita cek salah satu akarnya yaitu $ x = 1 $ :
$ x = -1 \rightarrow (x+2)^2(x-5)(x+1)^3 > 0 \rightarrow (-1+2)^2(-1-5)(-1+1)^3 > 0 \rightarrow 0 > 0 \, $ (SALAH).

c). $ (x+3)(x-1)^3(x+1)^5 \leq 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertaksamaan:
Faktor dari $ (x+3)(x-1)^3(x+1)^5 = 0 $ yaitu $ (x+3), (x-1)^3, (x+1)^5 $
-). faktor I : $ x + 3 = 0 \rightarrow x = -3 $,
ada satu akar (sekaya ganjil) sesampai kemudian interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor II : $ (x-1)^3 = 0 \rightarrow x = 1, x = 1, x = 1 \, $ ,
ada tiga akar (sekaya ganjil) sesampai kemudian interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor III : $ (x+1)^5 = 0 \rightarrow x = -1, x = -1, x = -1, x = -1, x = -1 $ ,
ada lima akar (sekaya ganjil) sesampai kemudian interval kiri dan kanannya selang-seling.
*). Berikut kita cek salah satu interval yang memuat angka $ x = 0 $
$ x = 0 \rightarrow (x+3)(x-1)^3(x+1)^5 = (0+3)(0-1)^3(0+1)^5 = + \times – \times + = – $ (negatif)
Artinya interval yang memuat angka $ 0 $ bertanda $ – $ . Berikut gambar garis bilangannya :

Karena tanda ketaksamaannya $ \leq $ (ada sama dengannya), maka akar-akarnya ikut jadi penyelesaian sesampai kemudian pada garis bilangannya diberi bulatan penuh.

Baca Juga:   Sifat-Sifat Pertidaksamaan

d). $ (x+4)^3(x-1)^2 \geq 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertaksamaan:
Faktor dari $ (x+4)^3(x-1)^2 = 0 $ yaitu $ (x+4)^3,(x-1)^2 $
-). faktor I : $ (x+4)^3 = 0 \rightarrow x = -4, x = -4 , x = -4 $,
ada tiga akar (sekaya ganjil) sesampai kemudian interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor II : $ (x-1)^2 = 0 \rightarrow x = 1, x = 1 \, $ ,
ada dua akar (sekaya genap) sesampai kemudian interval kiri dan kanannya tak selang-seling.
*). Berikut kita cek salah satu interval yang memuat angka $ x = 0 $
$ x = 0 \rightarrow (x+4)^3(x-1)^2 = (0+4)^3(0-1)^2 = + \times + = + $ (positif)
Artinya interval yang memuat angka $ 0 $ bertanda $ + $ . Berikut gambar garis bilangannya :

Karena tanda ketaksamaannya $ \geq $ (ada sama dengannya), maka akar-akarnya ikut jadi penyelesaian sesampai kemudian pada garis bilangannya diberi bulatan penuh.
Solusi dari bentuk garis bilangannya merupakan $ x \geq 1 $.

2). Tentukan bentuk garis bilangan dan tandanya dari pertaksamaan berikut ini :
a). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 > 0 $
b). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 < 0 $
c). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 \geq 0 $
d). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 \leq 0 $
Penyelesaian :
a). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 > 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertaksamaan:
Faktor dari $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 = 0 $ yaitu $ x^2, (x-3)^2, (x+2)^4 $
-). faktor I : $ x^2 = 0 \rightarrow x.x = 0 \rightarrow x = 0 , x = 0 $,
ada dua akar (sekaya genap) sesampai kemudian interval kiri dan kanannya tak selang-seling.
-). faktor II : $ (x-3)^2 = 0 \rightarrow x = 3, x = 3 \, $ ,
ada dua akar (sekaya genap) sesampai kemudian interval kiri dan kanannya tak selang-seling.
-). faktor III : $ (x+2)^4 = 0 \rightarrow x = -2, x = -2, x = -2 , x = -2 $ ,
ada empat akar (sekaya genap) sesampai kemudian interval kiri dan kanannya tak selang-seling.
*). Berikut kita cek salah satu interval yang memuat angka $ x = 1 $
$ x = 1 \rightarrow x^2(x-3)^2(x+2)^4 = 1^2(1-3)^2(1+2)^4 = + \times + \times + = + $ (positif)
Artinya interval yang memuat angka $ 1 $ bertanda $ + $ . Berikut gambar garis bilangannya :

Karena tanda ketaksamaannya $ > $ (tak ada sama dengannya), maka akar-akarnya tak ikut jadi penyelesaian sesampai kemudian pada garis bilangannya diberi bulatan kosong.
Solusinya merupakan : $ x < -2 $ atau $ -2 < x < 0 $ atau $ 0 < x < 3 $ atau $ x > 3 $.

Contoh soal nomor 2 ini sebetulnya mirip, hanya saja tanda ketaksamaannya saja yang berbeda. Sesampai kemudian garis bilangannya seolah-olah hanya saja yang berbeda merupakan tempat arsiran dan bulatannya.

b). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 < 0 $
gambar garis bilangannya :

Karena tanda ketaksamaannya $ < $ (tak ada sama dengannya), maka akar-akarnya tak ikut jadi penyelesaian sesampai kemudian pada garis bilangannya diberi bulatan kosong.
Solusinya merupakan himpunan kosong alasannya yakni tak ada interval yang bertanda $ – $ (negatif).

c). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 \geq 0 $
gambar garis bilangannya : 

Karena tanda ketaksamaannya $ \geq $ (ada sama dengannya), maka akar-akarnya ikut jadi penyelesaian sesampai kemudian pada garis bilangannya diberi bulatan penuh.
Solusinya merupakan : $ x \in R $ (Semua nilai $ x $ memenuhi).

d). $ x^2(x-3)^2(x+2)^4 \leq 0 $
gambar garis bilangannya : 

Karena tanda ketaksamaannya $ \leq $ (ada sama dengannya), maka akar-akarnya ikut jadi penyelesaian sesampai kemudian pada garis bilangannya diberi bulatan penuh.
Solusinya merupakan : $ x = -2, x = 0 , x = 3 $ (hanya akar-akarnya saja).

3). Tentukan garis bilangan dan tandanya dari pertaksamaan berikut :
a). $ \frac{(x-1)(x+2)^2}{(x+1)^3(x-3)} \leq 0 $
b). $ \frac{(x+5)(x+3)^2}{(x+1)^2(x+3)^3} > 0 $
Penyelesaian :
a). $ \frac{(x-1)(x+2)^2}{(x+1)^3(x-3)} \leq 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertaksamaan:
Pembilangnya :
Faktor dari $ (x-1)(x+2)^2 = 0 $ yaitu $ (x-1), (x+2)^2 $
-). faktor I : $ (x-1) = 0 \rightarrow x = 1 $,
ada satu akar (sekaya ganjil) sesampai kemudian interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor II : $ (x+2)^2 = 0 \rightarrow x = -2, x = -2 \, $ ,
ada dua akar (sekaya genap) sesampai kemudian interval kiri dan kanannya tak selang-seling.
Penyebutnya :
Faktor dari $ (x+1)^3(x-3) = 0 $ yaitu $ (x+1)^3, (x-3) $
-). faktor III : $ (x+1)^3 = 0 \rightarrow x = -1 , x = -1, x = -1 $,
ada tiga akar (sekaya ganjil) sesampai kemudian interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor IV : $ (x-3) = 0 \rightarrow x = 3 \, $ ,
ada satu akar (sekaya ganjil) sesampai kemudian interval kiri dan kanannya selang-seling.
*). Berikut kita cek salah satu interval yang memuat angka $ x = 1 $
$ x = 0 \rightarrow \frac{(x-1)(x+2)^2}{(x+1)^3(x-3)} = \frac{(0-1)(0+2)^2}{(0+1)^3(0-3)} = + $ (positif)
Artinya interval yang memuat angka $ 0 $ bertanda $ + $ . Berikut gambar garis bilangannya :

Karena tanda ketaksamaannya $ \leq $ (ada sama dengannya), maka akar-akarnya ikut jadi penyelesaian sesampai kemudian pada garis bilangannya diberi bulatan penuh kecuali akar-akar penyebutnya alasannya yakni penyebut bagian tak boleh bernilai nol.

Baca Juga:   Pertidaksamaan Trigonometri

b). $ \frac{(x+5)(x+3)^2}{(x+1)^2(x+3)^3} > 0 $
*). Menentukan Akar-akar pertaksamaan:
Pembilangnya :
Faktor dari $ (x+5)(x+3)^2 = 0 $ yaitu $ (x+5), (x+3)^2 $
-). faktor I : $ (x+5) = 0 \rightarrow x = -5 $,
ada satu akar (sekaya ganjil) sesampai kemudian interval kiri dan kanannya selang-seling.
-). faktor II : $ (x+3)^2 = 0 \rightarrow x = -3, x = -3 $, ada dua akar
Penyebutnya :
Faktor dari $ (x+1)^2(x+3)^3 = 0 $ yaitu $ (x+1)^2, (x+3)^3 $
-). faktor III : $ (x+1)^2 = 0 \rightarrow x = -1 , x = -1 $,
ada dua akar (sekaya genap) sesampai kemudian interval kiri dan kanannya tak selang-seling.
-). faktor IV : $ (x+3)^3 = 0 \rightarrow x = -3, x = -3, x = -3 $ ,ada tiga akar.
Akar pembilang dan penyebut ada yang sama yaitu $ x = -3 $ yang totalnya menjadi lima akar (sekaya ganjil) sesampai kemudian interval kiri dan kanannya selang-seling.
*). Berikut kita cek salah satu interval yang memuat angka $ x = 1 $
$ x = 0 \rightarrow \frac{(x+5)(x+3)^2}{(x+1)^2(x+3)^3} = \frac{(0+5)(0+3)^2}{(0+1)^2(0+3)^3} = + $ (positif)
Artinya interval yang memuat angka $ 0 $ bertanda $ + $ . Berikut gambar garis bilangannya :

Karena tanda ketaksamaannya $ > $ (tak ada sama dengannya), maka akar-akarnya tak ikut jadi penyelesaian sesampai kemudian pada garis bilangannya diberi bulatan kosong.

$ \clubsuit \, $ Cara Menentukan Tanda + atau – pada Garis Bilangan Pertaksamaan Fungsi Trigonometri.
       Untuk pertaksamaan yang melibatkan fungsi trigonometri, saran terbaik kami merupakan sebaiknya kita cek satu persatu interval yang terbentuk alasannya yakni pada pertaksamaan trigonometri bentuk grafiknya yang periodik sesampai kemudian sulit bagi kita membuat kesimpulan tanda + atau $ – $ untuk interval-intervalnya. Jadi, teman-teman harus bersabar ya saat menjumpai soal pertaksamaan trigonometri. Dan demi hasil final yang benar, sebaiknya kita cek satu persatu intervalnya dengan substitusi $ x $ yang dipilih ke persamaan trigonometrinya. Sebagaimana penyelesaian umum pertaksamaan, menentukan akar-akar persamaan trigonometri agak lebih sulit dibandingkan dengan bentuk aljabar. Artinya jangan hingga sia-sia penyelesaian kita alasannya yakni terjadi kesalahan pada garis bilangan dan tandanya. Silahkan baca artikelnya pada link “pertaksamaan trigonometri“. Tetap Semangad !!!^_^!!!

       Demikian pembahasan bahan Cara Menentukan Tanda + atau – pada Garis Bilangan dan contoh-contohnya. Semoga artikel ini bermanfaat untuk kita semua yang lagi mempelajari bahan pertaksamaan.