Cara Menemukan Persamaan Elips

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari bahan “parabola” yang merupakan bab dari “irisan kerucut“, pada artikel ini kita lanjutkan lagi pembahasan untuk bentuk irisan kerucut yang kedua adalah Elips. Hal pertama yang akan kita bahas berkaitan dengan bahan Elips merupakan Cara Menemukan Persamaan Elips. Setelah itu gres kita akan membahas persamaan elips dan unsur-unsurnya yang dikompleksi dengan referensi soal-soal. Sebagaimana yang kita ketahui, kurva elips sanggup kita peroleh dengan mengiriskan sebuah bangkit datar dengan bangkit ruang berbentuk kerucut sesampai lalu irisannya berbentuk elips. Elips sanggup didefinisikan sebagai himpunan semua titik (misalkan titik $P(x,y)$) dimana jumlah jarak setiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan anggota himpunan tersebut merupakan tetap. Titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api ($F_1 $ dan $F_2$) dan himpunan semua titik P membentuk kurva elips. Lalu bagaimana cara menemukan persamaan elipsnya? Untuk menemukan persamaan elips, kita akan memakai konsep jarak antara dua titik. Silahkan teman-teman baca pada artikel “Jarak Dua Titik dan Titik ke Garis “.

         Untuk memudahkan Cara Menemukan Persamaan Elips, kita akan konstrusi dahulu bentuk kurva elipsnya dan titik yang diketahui sesampai lalu kita sanggup menghitung jarak-jarak yang terkait dalam penghitungan untuk menemukan persamaan elips.

$ \clubsuit \, $ Cara menemukan persamaan Elips dengan titik Pusat $ M(0,0) $ :

$\heartsuit \, $ Kurva Elips dengan sumbu mayor (sumbu terpanjang) di sumbu X :
       Misalkan titik fokusnya merupakan $ F_1(-c,0) $ dan $ F_2(c,0) $ dengan jarak $ |F_1F_2| = 2c $. Terdapat empat titik puncak adalah $ A(-a,0) $ , $ B(a,0) $ , $ C(0,-b) $ dan $ D(0,b) $ serta titik sentra elips merupakan $ M(0,0) $. Kita ambil sembarang himpunan titik $ P(x,y) $ pada kurva elips. Jarak titik P ke $ F_1 $ dan titik P ke $ F_2 $ merupakan tetap adalah sebesar $ 2 a $ dengan $ a > 0 $, artinya sanggup kita tuliskan $ |F_1P| + |F_2P| = 2a $. Perhatikan ilustrasi gambarnya berikut ini,

Perhatikan segitiga $ DMF_2 $ merupakan segitiga siku-siku sesampai lalu berlaku teorema phytagoras adalah :
$ a^2 = b^2 + c^2 $ atau $ a^2 – c^2 = b^2 $.

Baca Juga:   Persamaan Garis Singgung Hiperbola

Perhitungan Cara menemukan rumus elipsnya :
$ \begin{align} |F_1P| + |F_2P| & = 2a \\ \sqrt{(x – (-c))^2 + ( y -0)^2 } + \sqrt{(x – c)^2 + ( y -0)^2 } & = 2a \\ \sqrt{(x + c)^2 + y^2 } + \sqrt{(x – c)^2 + y^2 } & = 2a \\ 2a – \sqrt{(x – c)^2 + y^2 } & = \sqrt{(x + c)^2 + y^2 } \\ \left(2a – \sqrt{(x -c)^2 +y^2 } \right)^2 & = \left( \sqrt{(x + c)^2 + y^2 } \right)^2 \\ 4a^2 – 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } + ((x -c)^2 + y^2) & = (x + c)^2 + y^2 \\ 4a^2 – 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } + x^2 – 2cx + c^2 + y^2 & = x^2 + 2cx + c^2 + y^2 \\ 4a^2 – 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } – 2cx & = 2cx \\ 4a^2 – 4cx & = 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } \\ a^2 – cx & = a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } \\ a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } & = a^2 – cx \\ \left(a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 }\right)^2 & = \left(a^2 – cx \right)^2 \\ a^2((x -c)^2 + y^2 ) & = a^4 – 2ca^2x + c^2x^2 \\ a^2(x^2 – 2cx + c^2 + y^2 ) & = a^4 – 2ca^2x + c^2x^2 \\ a^2x^2 – 2ca^2x + c^2a^2 + a^2y^2 & = a^4 – 2ca^2x + c^2x^2 \\ a^2x^2 + c^2a^2 + a^2y^2 & = a^4 + c^2x^2 \\ a^2x^2 – c^2x^2 + a^2y^2 & = a^4 – c^2a^2 \\ (a^2 – c^2)x^2 + a^2y^2 & = a^2 (a^2- c^2) \\ b^2x^2 + a^2y^2 & = a^2 b^2 \\ \frac{b^2x^2}{a^2 b^2 } + \frac{a^2y^2}{a^2 b^2 } & = \frac{a^2 b^2}{a^2 b^2 } \\ \frac{ x^2}{a^2 } + \frac{y^2}{b^2 } & = 1 \end{align} $
Sesampai lalu persamaan elipsnya merupakan $ \frac{ x^2}{a^2 } + \frac{y^2}{b^2 } = 1 $.

       Persamaan ELips dengan titik sentra di $ M(0,0) $ dan sumbu mayor (sumbu terpanjang) sejajar sumbu X merupakan $ \frac{ x^2}{a^2 } + \frac{y^2}{b^2 } = 1 $

$\heartsuit \, $ Kurva Elips dengan sumbu mayor (sumbu terpanjang) di sumbu Y :
       Misalkan titik fokusnya merupakan $ F_1(0, -c) $ dan $ F_2(0, c) $ dengan jarak $ |F_1F_2| = 2c $. Terdapat empat titik puncak adalah $ A(0,-a) $ , $ B(0,a) $ , $ C(-b,0) $ dan $ D(b,0) $ serta titik sentra elips merupakan $ M(0,0) $. Kita ambil sembarang himpunan titik $ P(x,y) $ pada kurva elips. Jarak titik P ke $ F_1 $ dan titik P ke $ F_2 $ merupakan tetap adalah sebesar $ 2 a $ dengan $ a > 0 $, artinya sanggup kita tuliskan $ |F_1P| + |F_2P| = 2a $. Perhatikan ilustrasi gambarnya berikut ini,

Perhatikan segitiga $ DMF_2 $ merupakan segitiga siku-siku sesampai lalu berlaku teorema phytagoras adalah :
$ a^2 = b^2 + c^2 $ atau $ a^2 – c^2 = b^2 $.

Baca Juga:   Persamaan Parabola Dan Unsur-Unsurnya

Perhitungan Cara menemukan rumus elipsnya :
$ \begin{align} |F_1P| + |F_2P| & = 2a \\ \sqrt{(x – 0)^2 + ( y -(-c))^2 } + \sqrt{(x – 0)^2 + ( y -c)^2 } & = 2a \\ \sqrt{x^2 + (y+c)^2 } + \sqrt{x^2 + (y-c)^2 } & = 2a \\ 2a – \sqrt{x^2 + (y-c)^2 } & = \sqrt{x^2 + (y+c)^2 } \\ \left(2a – \sqrt{x^2 + (y-c)^2 } \right)^2 & = \left( \sqrt{x^2 + (y+c)^2 } \right)^2 \\ 4a^2 – 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } + (x^2 + (y-c)^2) & = x^2 + (y+c)^2 \\ 4a^2 – 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } + x^2 +y^2 – 2cy + c^2 & = x^2 + y^2 + 2cy + c^2 \\ 4a^2 – 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } + – 2cy & = 2cy \\ 4a^2 – 4cy & = 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } \\ a^2 – cy & = a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } \\ a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } & = a^2 – cy \\ \left( a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } \right)^2 & = \left( a^2 – cy \right)^2 \\ a^2(x^2 + (y-c)^2 ) & = a^4 – 2ca^2y + c^2y^2 \\ a^2(x^2 + y^2 – 2cy + c^2 ) & = a^4 – 2ca^2y + c^2y^2 \\ a^2x^2 + a^2y^2 – 2ca^2y + a^2c^2 & = a^4 – 2ca^2y + c^2y^2 \\ a^2x^2 + a^2y^2 + a^2c^2 & = a^4 + c^2y^2 \\ a^2x^2 + a^2y^2 – c^2y^2 & = a^4 – a^2c^2 \\ a^2x^2 + (a^2 – c^2)y^2 & = a^2(a^2 – c^2) \\ a^2x^2 + b^2y^2 & = a^2b^2 \\ \frac{a^2x^2}{a^2b^2 } + \frac{ b^2y^2}{a^2b^2 } & = \frac{a^2b^2}{a^2b^2 } \\ \frac{ x^2}{ b^2 } + \frac{ y^2}{a^2 } & = 1 \end{align} $
Sesampai lalu persamaan elipsnya merupakan $ \frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } = 1 $.

       Persamaan ELips dengan titik sentra di $ M(0,0) $ dan sumbu mayor (sumbu terpanjang) sejajar sumbu Y merupakan $ \frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } = 1 $

$ \spadesuit \, $ Cara menemukan persamaan Elips dengan titik Pusat $ M(p,q) $ :
       Cara Menemukan Persamaan Elips dengan Titik Puncak $M(p,q) $ adalah dengan cara menggeser persamaan elips yang titik puncaknya $ M(0,0) $ ke klimaks $ M(p,q) $. Untuk memudahkan, kita gunakan konsep translasi (pergeseran). Silahkan baca bahan translasi pada artikel “Translasi pada Transformasi Geometri“.

Baca Juga:   Persamaan Garis Singgung Titik Diluar Parabola

Sesuai dengan konsep translasi, menggeser sejauh $ p $ satuan searah sumbu X dan sejauh $ q $ satuan searah sumbu Y, matriks translasinya sanggup ditulis $ T = \left( \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \right) $
*). Hubungan titik awal dan bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} p + x \\ q + y \end{matrix} \right) \\ x^\prime & = p + x \rightarrow x = x^\prime – p \\ y^\prime & = q + y \rightarrow y = y^\prime – q \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Kurva elips dengan klimaks $ M(p,q) $ dan sumbu mayor sejajar sumbu X .

Persamaan awal kurva elipsnya : $ \frac{ x^2}{a^2 } + \frac{y^2}{b^2 } = 1 $, sesampai lalu persamaan gres sehabis digeser adalah :
$ \begin{align} \frac{ x^2}{a^2 } + \frac{y^2}{b^2 } & = 1 \\ \frac{ (x^\prime – p)^2}{a^2 } + \frac{(y^\prime – q)^2}{b^2 } & = 1 \\ \text{ atau sanggup } & \text{ ditulis} \\ \frac{ (x-p)^2}{a^2 } + \frac{(y-q)^2}{b^2 } & = 1 \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Kurva elips dengan klimaks $ M(p,q) $ dan sumbu mayor sejajar sumbu Y .

Persamaan awal kurva elipsnya : $ \frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } = 1 $, sesampai lalu persamaan gres sehabis digeser adalah :
$ \begin{align} \frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } & = 1 \\ \frac{ (x^\prime – p)^2}{b^2 } + \frac{(y^\prime – q)^2}{a^2 } & = 1 \\ \text{ atau sanggup } & \text{ ditulis} \\ \frac{ (x-p)^2}{b^2 } + \frac{(y-q)^2}{a^2 } & = 1 \end{align} $

Persamaan ELips dengan titik sentra di $ M(p,q) $
*). Sumbu Mayor sejajar sumbu X :
$ \, \, \, \, \, \, \, \frac{ (x-p)^2}{a^2 } + \frac{(y-q)^2}{b^2 } = 1 $
*). Sumbu Mayor sejajar sumbu Y :
$ \, \, \, \, \, \, \, \frac{ (x-p)^2}{b^2 } + \frac{(y-q)^2}{a^2 } = 1 $

       Demikian pembahasan bahan Cara Menemukan Persamaan Elips beserta ilustrasi gambar kurva elipsnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “irisan kerucut“. Untuk memperdalam mempelajari bahan elips, silahkan baca pada artikel “persamaan elips dan unsur-unsurnya“.