Cara Menemukan Persamaan Hiperbola

Posted on

         Pondok Soal.com – Sebelumnya kita telah berguru ihwal “parabola” dan “elips” yang merupakan bab dari “irisan kerucut“, kini kita lanjutkan lagi pembahasan untuk bentuk irisan kerucut yang ketiga adalah Hiperbola. Pertama-tama kita akan membahas ihwal Cara Menemukan Persamaan Hiperbola. Setelah itu gres kita akan membahas persamaan Hiperbola dan unsur-unsurnya yang dikompleksi dengan contoh-contoh soalnya. Kurva Hiperbola sanggup kita peroleh dengan mengiriskan sebuah berdiri datar dengan berdiri ruang berbentuk kerucut sesampai kemudian irisannya berbentuk Hiperbola. Hiperbola sanggup didefinisikan sebagai himpunan semua titik (misalkan titik $P(x,y)$) dimana selisih jarak setiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan anggota himpunan tersebut merupakan tetap. Dua titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api ($F_1 $ dan $F_2$) hiperbola dan himpunan semua titik P membentuk kurva Hiperbola. Lalu bagaimana cara menemukan persamaan Hiperbolanya? Untuk menemukan persamaan Hiperbola, kita akan memakai konsep jarak antara dua titik. Silahkan teman-teman baca pada artikel “Jarak Dua Titik“.

         Untuk memudahkan penurunan rumus Cara Menemukan Persamaan Hiperbola, kita akan gambar dahulu ilustrasi kurva Hiperbolanya dan titik yang diketahui sesampai kemudian kita sanggup menghitung jarak-jarak yang terkait dalam penghitungan untuk menemukan persamaan Hiperbola.

$ \spadesuit \, $ Cara menemukan persamaan Hiperbola dengan titik Pusat $ M(0,0) $ :

$\heartsuit \, $ Kurva Hiperbola dengan sumbu konkret di sumbu X :
       Misalkan titik fokusnya merupakan $ F_1(-c,0) $ dan $ F_2(c,0) $ dengan jarak $ |F_1F_2| = 2c $. Terdapat dua titik puncak adalah $ A(-a,0) $ dan $ B(a,0) $ serta titik sentra Hiperbola merupakan $ M(0,0) $. Terdapat juga sumbu konkret adalah garis yang melaui kedua titik Fokus dan sumbu imajiner adalah garis yang tagak lurus dengan sumbu konkret yang melalui titik sentra hiperbola. Pada sumbu imajiner terdapat dua titik adalah $ C(0,-b) $ dan $ D(0,b) $. Kita ambil sembarang himpunan titik $ P(x,y) $ pada kurva Hiperbola. Selisih jarak titik P ke $ F_1 $ dan titik P ke $ F_2 $ merupakan tetap adalah sebesar $ 2 a $ dengan $ a > 0 $, artinya sanggup kita tuliskan $ |F_1P| – |F_2P| = 2a $. Perhatikan ilustrasi gambarnya berikut ini,

Perhatikan segitiga $ DMB $ merupakan segitiga siku-siku sesampai kemudian berlaku teorema phytagoras adalah :
$ c^2 = a^2 + b^2 $ atau $ c^2 – a^2 = b^2 $.
atau $ a^2 – c^2 = -b^2 $

Baca Juga:   Kedudukan Garis Terhadap Parabola

Perhitungan Cara menemukan rumus Hiperbolanya :
$ \begin{align} |F_1P| – |F_2P| & = 2a \\ \sqrt{(x – (-c))^2 + ( y -0)^2 } – \sqrt{(x – c)^2 + ( y -0)^2 } & = 2a \\ \sqrt{(x + c)^2 + y^2 } – \sqrt{(x – c)^2 + y^2 } & = 2a \\ 2a + \sqrt{(x – c)^2 + y^2 } & = \sqrt{(x + c)^2 + y^2 } \\ \left(2a + \sqrt{(x -c)^2 +y^2 } \right)^2 & = \left( \sqrt{(x + c)^2 + y^2 } \right)^2 \\ 4a^2 + 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } + ((x -c)^2 + y^2) & = (x + c)^2 + y^2 \\ 4a^2 + 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } + x^2 – 2cx + c^2 + y^2 & = x^2 + 2cx + c^2 + y^2 \\ 4a^2 + 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } – 2cx & = 2cx \\ 4a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } & = 4cx – 4a^2 \\ a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 } & = cx – a^2 \\ \left(a \sqrt{(x -c)^2 + y^2 }\right)^2 & = \left(cx – a^2 \right)^2 \\ a^2((x -c)^2 + y^2 ) & = c^2x^2 – 2ca^2x + a^4 \\ a^2(x^2 – 2cx + c^2 + y^2 ) & = c^2x^2 – 2ca^2x + a^4 \\ a^2x^2 – 2ca^2x + c^2a^2 + a^2y^2 & = c^2x^2 – 2ca^2x + a^4 \\ a^2x^2 + c^2a^2 + a^2y^2 & = a^4 + c^2x^2 \\ a^2x^2 + c^2a^2 + a^2y^2 & = a^4 + c^2x^2 \\ a^2x^2 – c^2x^2 + a^2y^2 & = a^4 – c^2a^2 \\ (a^2 – c^2)x^2 + a^2y^2 & = a^2 (a^2- c^2) \\ (-b^2)x^2 + a^2y^2 & = a^2 .(-b^2) \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ b^2x^2 – a^2y^2 & = a^2 b^2 \\ \frac{b^2x^2}{a^2 b^2 } – \frac{a^2y^2}{a^2 b^2 } & = \frac{a^2 b^2}{a^2 b^2 } \\ \frac{ x^2}{a^2 } – \frac{y^2}{b^2 } & = 1 \end{align} $
Sesampai kemudian persamaan Hiperbolanya merupakan $ \frac{ x^2}{a^2 } – \frac{y^2}{b^2 } = 1 $.

       Persamaan Hiperbola dengan titik sentra di $ M(0,0) $ dan sumbu konkret sejajar sumbu X merupakan $ \frac{ x^2}{a^2 } – \frac{y^2}{b^2 } = 1 $

$\heartsuit \, $ Kurva Hiperbola dengan sumbu konkret di sumbu Y :
       Misalkan titik fokusnya merupakan $ F_1(0, -c) $ dan $ F_2(0, c) $ dengan jarak $ |F_1F_2| = 2c $. Terdapat dua titik puncak adalah $ A(0,-a) $ dan $ B(0,a) $ serta titik sentra Hiperbola merupakan $ M(0,0) $. Terdapat juga sumbu konkret adalah garis yang melaui kedua titik Fokus dan sumbu imajiner adalah garis yang tagak lurus dengan sumbu konkret yang melalui titik sentra hiperbola. Pada sumbu imajiner terdapat dua titik adalah $ C(-b , 0) $ dan $ D(b,0) $. Kita ambil sembarang himpunan titik $ P(x,y) $ pada kurva Hiperbola. Selisih jarak titik P ke $ F_1 $ dan titik P ke $ F_2 $ merupakan tetap adalah sebesar $ 2 a $ dengan $ a > 0 $, artinya sanggup kita tuliskan $ |F_1P| – |F_2P| = 2a $. Perhatikan ilustrasi gambarnya berikut ini,

Perhatikan segitiga $ DMB $ merupakan segitiga siku-siku sesampai kemudian berlaku teorema phytagoras adalah :
$ c^2 = a^2 + b^2 $ atau $ c^2 – a^2 = b^2 $.
atau $ a^2 – c^2 = -b^2 $

Baca Juga:   Persamaan Parabola Dan Unsur-Unsurnya

Perhitungan Cara menemukan rumus Hiperbolanya :
$ \begin{align} |F_1P| – |F_2P| & = 2a \\ \sqrt{(x – 0)^2 + ( y -(-c))^2 } – \sqrt{(x – 0)^2 + ( y -c)^2 } & = 2a \\ \sqrt{x^2 + (y+c)^2 } – \sqrt{x^2 + (y-c)^2 } & = 2a \\ 2a + \sqrt{x^2 + (y-c)^2 } & = \sqrt{x^2 + (y+c)^2 } \\ \left(2a + \sqrt{x^2 + (y-c)^2 } \right)^2 & = \left( \sqrt{x^2 + (y+c)^2 } \right)^2 \\ 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } + (x^2 + (y-c)^2) & = x^2 + (y+c)^2 \\ 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } + x^2 +y^2 – 2cy + c^2 & = x^2 + y^2 + 2cy + c^2 \\ 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } – 2cy & = 2cy \\ 4a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } & = 4cy – 4a^2 \\ a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } & = cy – a^2 \\ \left( a\sqrt{x^2 + (y-c)^2 } \right)^2 & = \left( cy – a^2 \right)^2 \\ a^2(x^2 + (y-c)^2 ) & = a^4 – 2ca^2y + c^2y^2 \\ a^2(x^2 + y^2 – 2cy + c^2 ) & = a^4 – 2ca^2y + c^2y^2 \\ a^2x^2 + a^2y^2 – 2ca^2y + a^2c^2 & = a^4 – 2ca^2y + c^2y^2 \\ a^2x^2 + a^2y^2 + a^2c^2 & = a^4 + c^2y^2 \\ a^2x^2 + a^2y^2 – c^2y^2 & = a^4 – a^2c^2 \\ a^2x^2 + (a^2 – c^2)y^2 & = a^2(a^2 – c^2) \\ a^2x^2 + (-b^2)y^2 & = a^2.(-b^2) \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ -a^2x^2 + b ^2y^2 & = a^2b^2 \\ – \frac{a^2x^2}{a^2b^2 } + \frac{ b^2y^2}{a^2b^2 } & = \frac{a^2b^2}{a^2b^2 } \\ -\frac{ x^2}{ b^2 } + \frac{ y^2}{a^2 } & = 1 \end{align} $
Sesampai kemudian persamaan Hiperbolanya merupakan $ – \frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } = 1 $.

       Persamaan Hiperbola dengan titik sentra di $ M(0,0) $ dan sumbu konkret sejajar sumbu Y merupakan $ -\frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } = 1 $

$ \clubsuit \, $ Cara menemukan persamaan Hiperbola dengan titik Pusat $ M(p,q) $ :
       Cara Menemukan Persamaan Hiperbola dengan Titik Puncak $M(p,q) $ adalah dengan cara menggeser persamaan Hiperbola yang titik puncaknya $ M(0,0) $ ke klimaks $ M(p,q) $. Untuk memudahkan, kita gunakan konsep translasi (pergeseran). Silahkan baca bahan translasi pada artikel “Translasi pada Transformasi Geometri”.

Baca Juga:   Irisan Kerucut (Konik)

Sesuai dengan konsep translasi, menggeser sejauh $ p $ satuan searah sumbu X dan sejauh $ q $ satuan searah sumbu Y, matriks translasinya sanggup ditulis $ T = \left( \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \right) $
*). Hubungan titik awal dan bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} p + x \\ q + y \end{matrix} \right) \\ x^\prime & = p + x \rightarrow x = x^\prime – p \\ y^\prime & = q + y \rightarrow y = y^\prime – q \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Kurva Hiperbola dengan klimaks $ M(p,q) $ dan sumbu konkret sejajar sumbu X .

Persamaan awal kurva Hiperbolanya : $ \frac{ x^2}{a^2 } – \frac{y^2}{b^2 } = 1 $, sesampai kemudian persamaan gres sesudah digeser adalah :
$ \begin{align} \frac{ x^2}{a^2 } – \frac{y^2}{b^2 } & = 1 \\ \frac{ (x^\prime – p)^2}{a^2 } – \frac{(y^\prime – q)^2}{b^2 } & = 1 \\ \text{ atau sanggup } & \text{ ditlis} \\ \frac{ (x-p)^2}{a^2 } – \frac{(y-q)^2}{b^2 } & = 1 \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Kurva Hiperbola dengan klimaks $ M(p,q) $ dan sumbu konkret sejajar sumbu Y .

Persamaan awal kurva Hiperbolanya : $ – \frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } = 1 $, sesampai kemudian persamaan gres sesudah digeser adalah :
$ \begin{align} -\frac{ x^2}{b^2 } + \frac{y^2}{a^2 } & = 1 \\ -\frac{ (x^\prime – p)^2}{b^2 } + \frac{(y^\prime – q)^2}{a^2 } & = 1 \\ \text{ atau sanggup } & \text{ ditlis} \\ -\frac{ (x-p)^2}{b^2 } + \frac{(y-q)^2}{a^2 } & = 1 \end{align} $

Persamaan Hiperbola dengan titik sentra di $ M(p,q) $
*). Sumbu konkret sejajar sumbu X :
$ \, \, \, \, \, \, \, \frac{ (x-p)^2}{a^2 } – \frac{(y-q)^2}{b^2 } = 1 $
*). Sumbu konkret sejajar sumbu Y :
$ \, \, \, \, \, \, \, -\frac{ (x-p)^2}{b^2 } + \frac{(y-q)^2}{a^2 } = 1 $

       Demikian pembahasan bahan Cara Menemukan Persamaan Hiperbola beserta ilustrasi gambar kurva Hiperbolanya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “irisan kerucut“. Untuk memperdalam mempelajari bahan Hiperbola, silahkan baca pada artikel “persamaan Hiperbola dan unsur-unsurnya”.