Cara Menghitung Nilai Sin 18 Derajat

Posted on

         Pondok Soal.com – Selain melibatkan perhitungan sudut-sudut istimewa pada trigonometri, ternyata juga sanggup menghitung nilai sedikit sudut-sudut tak istimewa menyerupai sudut 18 derajat. Bagaimana cara menghitung nilainya? Pada artikel ini akan kita bahas khusu seputar Cara Menghitung Nilai Sin 18 Derajat. Artikel ini admin tulis alasannya ialah terinspirasi dari soal-soal seleksi masuk sekolah tinggi tinggi baik tes bersama menyerupai SBMPTN atau seleksi mandiri. Ternyata pada soal tersebut melibatkan bentuk sudut 18 derajat. Memang untuk sudut non istimewa ini tak lazim dibahas di sekolah, akan tenamun penting bagi kita untuk mempelajarinya sebagai pengembangan dari bahan atau rumus-rumus dasar trigonometri yang ada.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari artikel Cara Menghitung Nilai Sin 18 Derajat ini, ada sedikit rumus dasar trigonometri yang harus kita kuasai yaitu “Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda“, “rumus trigonometri untuk jumlah sudut-sudut”, dan satu lagi yaitu “sudut komplemen” pada kuadran I, serta “rumus ABC” pada persamaan kuadrat.

Rumus-rumus dasar yang kita butuhkan
       Berikut sedikit rumus dasar yang kita butuhkan untuk menghitung nilai sin 18 derajat.
$\spadesuit \, $ Rumus sudut ganda dan tripel :
$ \sin 2A = 2\sin A \cos A $
$ \cos 2A = 2\cos ^2 A – 1 $
$ \cos 3A = 4\cos ^3 A – 3\cos A $
$ \clubsuit \, $ Aturan sudut perhiasan :
$ \sin A = \cos (90^\circ – A) $
$\spadesuit \, $ Rumus jumlah sudut :
$ \cos (A + B ) = \cos A \cos B – \sin A \sin B $
$\clubsuit \, $ Rumus ABC :
Rumus ABC dipakai untuk memilih penyelesaian (akar-akar) dari persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan rumus :
$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} $

Sebelumnya kita buktikan dahulu rumus $ \cos 3A = 4\cos ^3 A – 3\cos A $
Rumus identitas trigonometri : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $.
$ \begin{align} \cos 3A & = \cos (2A + A) \, \, \, \, \, \, \text{(rumus jumlah sudut)} \\ & = \cos 2A \cos A – \sin 2A \sin A \, \, \, \, \, \, \text{(rumus sudut ganda)} \\ & = (2\cos ^2 A – 1) \cos A – (2\sin A \cos A) \sin A \\ & = 2\cos ^3 A – \cos A – 2\sin ^2 A \cos A \, \, \, \, \, \, \text{(identitas trigonometri)} \\ & = 2\cos ^3 A – \cos A – 2(1-\cos ^2 A) \cos A \\ & = 2\cos ^3 A – \cos A – 2\cos A + 2\cos ^3 A \\ & = 4\cos ^3 A – 3\cos A \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ \cos 3A = 4\cos ^3 A – 3\cos A $

Nilai sin 18 derajat
Nilai sin 18 derajat merupakan : $ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $

Cara Menghitung Nilai Sin 18 derajat :
*). Pertama kita gunakan sudut perhiasan dahulu :
$ \sin A = \cos (90^\circ – A) $
$ \sin 36^\circ = \cos (90^\circ – 36^\circ ) \rightarrow \sin 36^\circ = \cos 54^\circ \, $ …pers(i)
*). Kita misalkan $ A = 18^\circ \, $ , eksklusif kita modifikasi pers(i) dengan rumus yang ada :
$ \begin{align} \sin 36^\circ & = \cos 54^\circ \\ \sin 2 \times 18^\circ & = \cos 3 \times 18^\circ \\ \sin 2 \times A & = \cos 3 \times A \\ \sin 2 A & = \cos 3 A \, \, \, \, \, \, \text{(sudut ganda dan tripel)} \\ 2\sin A \cos A & = 4\cos ^3 A – 3\cos A \\ 2\sin A \cos A & = (4\cos ^2 A – 3) \cos A \, \, \, \, \, \, \text{(bagi } \cos A) \\ 2\sin A & = 4\cos ^2 A – 3 \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan identitas trigonometri)} \\ 2\sin A & = 4( 1 – \sin ^2 A) – 3 \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan identitas trigonometri)} \\ 2\sin A & = 4 – 4\sin ^2 A – 3 \, \, \, \, \, \, \text{(pindah ke ruas kiri)} \\ 4\sin ^2 A + 2\sin A – 1 & = 0 \\ 4(\sin A )^2 + 2\sin A – 1 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(misalkan } x = \sin A ) \\ 4x^2 + 2x – 1 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(rumus ABC)} \\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 4.4.(-1)}}{2.4} \\ & = \frac{-2 \pm \sqrt{4 +16}}{8} \\ & = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} \\ & = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ & = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} \end{align} $
Kita peroleh nilai $ x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} \, $ artinya $ \sin A = \sin 18^\circ = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4} $
Karena $ 18^\circ \, $ ada di kuadran I, maka nilai $ \sin 18^\circ \, $ harus positif, sesampai lalu nilai dari sin 18 derajat merupakan $ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $
Jadi, terbukti nilai dari $ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $ .

Baca Juga:   Berapakah Nilai Cos Dan Tangen 18 Derajat?

       Demikian pembahasan Cara menghitung nilai sin 18 derajat. Perlu teman-teman ketahui, pembahasan atau pembagian terstruktur mengenai pada artikel ini merupakan salah satu alternatif dalam menghitung nilai sin 18 derajat. Artinya teman-teman sanggup memakai cara lain dengan catatan memperlihatkan hasil yang sama menyerupai di artikel ini. Kalau memang ada cara yang lebih gampang untuk memilih nilai sin 18 derajat, mohon untuk share ke Pondok Soal.com ini. Artikel berikutnya yang berkaitan dengan ini merupakan “Berapakah Nilai cos dan tan 18 derajat?“. Semoga goresan pena ini sanggup bermanfaat, terima kasih.