Cara Menyusun Persamaan Kuadrat

Posted on

         Pondok Soal.com – Satu lagi bahan yang penting wacana persamaan kuadrat yaitu cara menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya atau menyusun persamaan kuadrat yang ada hubungannya dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya. Sebelumnya ada persamaan kuadrat dan kita diminta menentukan akar-akarnya, lagikan bahan kali ini kebalikkannya, yaitu ada akar-akar dan kita diminta menyusun persamaan kuadratnya atau Persamaan Kuadrat Barunya (PKB).

         Untuk menyusun persamaan kuadrat, hal fundamental yang harus kita kuasai merupakan operasi akar-akar persamaan kuadrat yaitu untuk operasi penjumlahan $(x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}) \, $ dan operasi persobat semua $(x_1 . x_2 = \frac{c}{a}) $. Selain operasi dasar, juga harus sesobat semua kita ingat wacana rumus bantu yang ada, alasannya ialah biasanya untuk menyusun persamaan kuadrat gres akan melibatkan bentuk akar-akar yang lebih kompleks lagi (pangkatnya lebih dari satu).

Adapun cara menyusun persamaan kuadrat / PKB
(i). Rumus khusus : diketahui akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $
      PK nya : $ (x-x_1)(x-x_2)=0 $
(ii). Rumus umum :
      PK nya : $ x^2 – (HJ)x + (HK) =0 $
dengan HJ = Hasil Jumlah dan HK = Hasil Kali.

         Berikut sedikit referensi untuk lebih memahami cara menyusun persamaan kuadrat dengan dua rumus di atas.

Contoh 1.

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -3 dan 2 ?
Penyelesaian :
Cara I :
$\clubsuit \,$ Akar-akarnya $ x_1 = -3 \, $ dan $ x_2 = 2 $
$\clubsuit \,$ Menyusun PK nya
$\begin{align} (x-x_1)(x-x_2) & = 0 \\ (x-(-3))(x-2) & = 0 \\ (x+3)(x-2) & = 0 \\ x^2 +x – 6 & = 0 \end{align}$
Cara II :
$\clubsuit \,$ Akar-akarnya -3 dan 2
HJ = -3 + 2 = -1 dan HK = (-3).2 = -6
$\clubsuit \,$ Menyusun PK nya
$\begin{align} x^2 -(HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 -(-1)x + (-6) & = 0 \\ x^2 +x -6 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadratnya merupakan $ x^2 +x -6 = 0. \heartsuit $

Contoh 2.

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ 4 + \sqrt{15} \, $ dan $ 4 – \sqrt{15} $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Gunakan rumus umum
PK dengan akar-akar $ 4 + \sqrt{15} \, $ dan $ 4 – \sqrt{15} $
$ HJ = (4 + \sqrt{15} +(4 – \sqrt{15}) = 8 $
$ HK = (4 + \sqrt{15} .(4 – \sqrt{15}) = 16-15=1 $
$\spadesuit \, $ Menyusun PK nya
$\begin{align} x^2 -(HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 -(8)x + (1) & = 0 \\ x^2 -8x +1 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadratnya merupakan $ x^2 -8x +1 = 0 . \heartsuit $

Contoh 3.

Akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 – 3x + 3 = 0 \, $ merupakan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ \frac{1}{x_1} \, $ dan $ \frac{1}{x_2} \, $ merupakan ….?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $ x^2 – 3x + 3 = 0 \rightarrow a = 1, b = -3, c = 3 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3 $
$\clubsuit \,$ PK dengan akar-akar $ \frac{1}{x_1} \, $ dan $ \frac{1}{x_2} $
$ HJ = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1.x_2} = \frac{3}{3} = 1 $
$ HK = \frac{1}{x_1} . \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1.x_2} = \frac{1}{3} $
$\clubsuit \,$ Menyusun PK nya
$\begin{align} x^2 -(HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 -(1)x + (\frac{1}{3}) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3x^2 -3x +1 & = 0 \end{align}$
Jadi, PK nya merupakan $ 3x^2 -3x +1 = 0 . \heartsuit $

Contoh 4.

Akar-akar persamaan kuadrat $ x^2-2x+k = 0 \, $ merupakan $ m \, $ dan $ n \, $ . Tentukan Persamaan kuadrat Baru yang akar-akarnya $ \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} \, $ dan $ m.n \, $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Gunakan rumus umum
$\spadesuit \, $ PK $ x^2-2x+k = 0 \rightarrow a = 1, b = -2, c = k $
Akar-akarnya $ m \, $ dan $ n $
$ m + n = \frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{1} = 2 $
$ m.n = \frac{c}{a} = \frac{k}{1} = k $
$ \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} = \left( \frac{m+n}{m.n} \right)^{m+n} = \left( \frac{2}{k} \right)^{2} = \frac{4}{k^2} $
$\spadesuit \, $ PKB dengan akar-akar $ \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} \, $ dan $ (m.n) $
$ HJ = \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} + (m.n) = \frac{4}{k^2} + k = \frac{4+k^3}{k^2} $
$ HK = \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} . (m.n) = \frac{4}{k^2} . k = \frac{4}{k} $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan kuadrat gres (PKB) nya
$\begin{align} x^2 -(HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 -(\frac{4+k^3}{k^2})x + (\frac{4}{k}) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali } \, k^2 \, ) \\ k^2x^2 -(4+k^3)x +4 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadratnya merupakan $ k^2x^2 -(4+k^3)x +4 = 0 . \heartsuit $

         Dalam menyusun persamaan kuadrat baru, anda sanggup memakai rumus cepat , hal ini sangat berkhasiat dikala kita menghadapi Ujian Nasional atau SBMPTN yang notabene membutuhkan kecepatan dalam menuntaskan soal-soalnya. Hanya saja, rumus-rumus cepat ini berlaku untuk sedikit tipe soal saja. Ini artinya tak semua soal yang berkaitan dengan PKB sanggup memakai rumus cepat, jadi saran kami memakai rumus umum di atas lebih baik alasannya ialah akan sanggup menuntaskan semua tipe soal. Untuk kumpulan rumus cepat, pribadi lihat dan klik link berikut : Kumpulan Rumus Cepat Persamaan Kuadrat.

Baca Juga:   Bentuk Umum Persamaan Kuadrat (Pk)

         Berbicara rumus “cepat cara menyusun persamaan kuadrat (baru)”, bahu-membahu cukup menguntungkan bagi kita alasannya ialah biasanya soal-soal yang keluar akan setipe dari tahun ketahunya terutama untuk soal Ujian Nasional. Hanya saja butuh volume yang lebih diotak kita untuk menghafal rumus cepat tersebut dan jangan hingga ada yang terlupakan sedikitpun rumusnya. Jadi, kami mengembalikan pada teman-teman, lebih suka yang mana, apakah rumus cepat atau konsep dasar saja yang toh juga tetap sanggup kita gunakan untuk menuntaskan semua tipe soal.