Daerah Asal Dan Tempat Hasil Komposisi Fungsi

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mencoba untuk mengerjakan sedikit soal-soal SBMPTN yang berkaitan dengan “fungsi komposisi” dan “fungsi invers“, ternyata ada soal yang berkaitan dengan Daerah Asal dan Daerah Hasil Komposisi Fungsi. Memang tak gampang dalam memilih Daerah Asal dan Daerah Hasil Komposisi Fungsi. Maka dari itu, pada artikel ini kita akan membahas lebih mendalam bahan Daerah Asal dan Daerah Hasil Komposisi Fungsi yang disertai dengan contoh-contohnya. Sebenarnya, Daerah Asal dan Daerah Hasil Komposisi Fungsi sudah pernah kita bahas pada aritikel “fungsi komposisi”, hanya saja teladan soalnya belum ada. Pada artikel tersebut diterangkan wacana definisi komposisi fungsi, syarat-syaratnya, dan sifat-sifat. Untuk tempat asal masing-masing fungsi sudah kaya kita bahas pada artikel “fungsi”. Pada artikel Daerah Asal dan Daerah Hasil Komposisi Fungsi ini, kita akan saapabilan definisi tempat asal komposisi fungsi, kemudian contoh-contoh soal, daerah hasil komposisi fungsi yang nilainya tergantung dari tempat asalnya, dan terakhir gres kita bahas pembuktiannya.

Definisi Daerah Asal (Domain) Komposisi Fungsi
*). Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ (g \circ f)(x) \, $ , tempat asalnya ($D_{g \circ f}$) merupakan $ D_{g \circ f} = \{ x | x \in D_f , \, f(x) \in D_g \} $
*). Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ (f \circ g)(x) \, $ , tempat asalnya ($D_{f \circ g}$) merupakan $ D_{f \circ g} = \{ x | x \in D_g , \, g(x) \in D_f \} $
Keterangan :
$ D_f = \, $ tempat asal fungsi $ f $
$ D_g = \, $ tempat asal fungsi $ g $

       Dari definisi Daerah Asal Komposisi Fungsi di atas, kita akan sanggup memilih tempat asalnya. Hanya saja untuk aplikasinya berdasarkan kami taklah mudah. Maka dari itu, kita akan memodifikasi definisi di atas dengan hasil yang sama tentunya. Berikut cara “Menentukan Daerah Asal Komposisi Fungsi” :

Menentukan Daerah Asal Komposisi Fungsi
$ \clubsuit \, $ Menentukan tempat asal $ g \circ f $ :
       Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ p = (g \circ f)(x) \, $ ,
       tempat asal $ g \circ f $ : $ D_{g \circ f} = \{ x | x \in ( D_f \cap D_p ) \} $
$ \spadesuit \, $ Menentukan tempat asal $ f \circ g $ :
       Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ q = (f \circ g)(x) \, $ ,
       tempat asal $ f \circ g $ : $ D_{f \circ g} = \{ x | x \in ( D_g \cap D_q) \} $

       Sebelum kita membahas contoh-contoh soalnya, kita ingat kembali sedikit bentuk fungsi dan tempat asalnya berikut ini yakni :
a). Fungsi $ f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + …+ a_1x + a_0 $ (fungsi polinomial)
Daerah asalnya : $ D_f = \{ x | x \in R \} $
b). Fungsi $ f(x) = \sqrt{ g(x)} $ (fungsi bentuk akar/irrasional)
Daerah asalnya : $ D_f = \{ x | g(x) \geq 0 \} $
c). Fungsi $ f(x) = \frac{h(x)}{g(x)} $ (fungsi bentuk pecahan/rasional)
Daerah asalnya : $ D_f = \{ x | g(x) \neq 0 \} $
d). Fungsi $ f(x) = {}^a \log g(x) $ (fungsi bentuk logaritma)
Daerah asalnya : $ D_f = \{ x | g(x) > 0 \} $
e). Fungsi $ f(x) = \sin g(x) $ (fungsi bentuk trigonometri)
Daerah asalnya : $ D_f = \{ x | x \in R \} $

Catatan : yang dimaksud dengan tempat asal (domain fungsi) merupakan semua nilai $ x $ yang sanggup kita substitusikan ke fungsinya dan fungsinya bernilai real (untuk tingkat SMA, batasan bilangannya biasanya hingga bilangan real saja). Atau dengan kata lain, fungsinya sanggup kita hitung dengan nilai $ x $ yang kita substitusikan.

Contoh Soal Daerah Asal Komposisi Fungsi :

1). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x – 3 $ dan $ g(x) = x^2 + 1 $. Tentukan :
a). tempat asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
b). tempat asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Penyelesaian :
*). Domain fungsi $ f(x) = 2x – 3 $ (polinomial) : $ D_f = \{ x \in R \} $
*). Domain fungsi $ g(x) = x^2 + 1 $ (polinomial) : $ D_g = \{ x \in R \} $
a). tempat asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
Misalkan $ p = (g \circ f) (x) $
$ p = (g \circ f) (x) = g(f(x)) = g (2x-3) = (2x -3)^2 + 1 = 4x^2 -12x + 10 $.
Domain dari $ p = 4x^2 -12x + 10 $ merupakan $ D_p = \{ x \in R \} $ .
*). Domain $ (g \circ f) (x) $ :
$ D_{g \circ f} = D_f \cap D_p = \{ x \in R \} \cap \{ x \in R \} = \{ x \in R \} $
Sesampai kemudian tempat asal dari $ (g \circ f) (x) $ merupakan $ \{ x \in R \} $ .
atau sanggup kita tulis $ -\infty < x < \infty $.

b). tempat asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Misalkan $ q = (f \circ g) (x) $
$ q = (f \circ g) (x) = f(g(x)) = f( x^2 +1) = 2(x^2 + 1) – 3 = 2x^2 -1 $.
Domain dari $ q = x^2 -1 $ merupakan $ D_q = \{ x \in R \} $ .
*). Domain $ (f \circ g) (x) $ :
$ D_{f \circ g} = D_g \cap D_q = \{ x \in R \} \cap \{ x \in R \} = \{ x \in R \} $
Sesampai kemudian tempat asal dari $ (f \circ g) (x) $ merupakan $ \{ x \in R \} $ .
atau sanggup kita tulis $ -\infty < x < \infty $.

2). Diketahui fungsi $ f(x) = x^2 – 1 $ dan $ g(x) = \sqrt{ x – 3} $. Tentukan :
a). tempat asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
b). tempat asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Penyelesaian :
*). Domain fungsi $ f(x) = x^2 – 1 $ (polinomial) : $ D_f = \{ x \in R \} $
*). Domain fungsi $ g(x) = \sqrt{ x – 3} $
$ x – 3 \geq 0 \rightarrow x \geq 3 $ : $ D_g = \{ x \geq 3 \} $
a). tempat asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
Misalkan $ p = (g \circ f) (x) $
$ p = (g \circ f) (x) = g (x^2 – 1) = \sqrt{ (x^2 -1) – 3} = \sqrt{ x^2 – 4} $.
Domain dari $ p = \sqrt{ x^2 – 4} $
$ x^2 – 4 \geq 0 $ : $ D_p = \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} $ .
*). Domain $ (g \circ f) (x) $ :
$ D_{g \circ f} = D_f \cap D_p = \{ x \in R \} \cap \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} = \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} $
Sesampai kemudian tempat asal dari $ (g \circ f) (x) $ merupakan $ \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} $ .

Baca Juga:   Invers Fungsi Eksponen Dan Logaritma

b). tempat asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Misalkan $ q = (f \circ g) (x) $
$ q = (f \circ g) (x) = f( \sqrt{ x – 3}) = (\sqrt{ x – 3})^2 – 1 = x – 4 $.
Domain dari $ q = x – 4 $ merupakan $ D_q = \{ x \in R \} $ .
*). Domain $ (f \circ g) (x) $ :
$ D_{f \circ g} = D_g \cap D_q = \{ x \geq 3 \} \cap \{ x \in R \} = \{ x \geq 3 \} $
Sesampai kemudian tempat asal dari $ (f \circ g) (x) $ merupakan $ \{ x \geq 3 \} $ .

Catatan :
Untuk menuntaskan bentu pertaksamaan, silahkan teman-teman baca artikelnya pada :
Pertaksamaan secara Umum“, “Pertaksamaan Linear“, “Pertaksamaan Kuadrat“, “Pertaksamaan Pecahan“, dan “Pertaksamaan Bentuk Akar“.

3). Diketahui fungsi $ f(x) = \sqrt{x + 1} $ dan $ g(x) = \sqrt{ 4 – x^2} $. Tentukan :
a). tempat asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
b). tempat asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Penyelesaian :
*). Domain fungsi $ f(x) = \sqrt{x + 1} $
$ x + 1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1 $ : $ D_f = \{ x \geq -1 \} $
*). Domain fungsi $ g(x) = \sqrt{ 4 – x^2} $
$ 4 – x^2 \geq 0 $ : $ D_g = \{ -2 \leq x \leq 2 \} $
a). tempat asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
Misalkan $ p = (g \circ f) (x) $
$ p = (g \circ f) (x) = g (\sqrt{x + 1}) = \sqrt{4 – (\sqrt{x + 1})^2} = \sqrt{ 3 – x} $.
Domain dari $ p = \sqrt{ 3 – x } $
$ 3 – x \geq 0 \rightarrow x \leq 3 $ : $ D_p = \{ x \leq 3 \} $ .
*). Domain $ (g \circ f) (x) $ :
$ D_{g \circ f} = D_f \cap D_p = \{ x \geq -1 \} \cap \{ x \leq 3 \} = \{ -1 \leq x \leq 3 \} $
Sesampai kemudian tempat asal dari $ (g \circ f) (x) $ merupakan $ \{ -1 \leq x \leq 3 \} $ .

b). tempat asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Misalkan $ q = (f \circ g) (x) $
$ q = (f \circ g) (x) = f( \sqrt{ 4 – x^2}) = \sqrt{\sqrt{ 4 – x^2} + 1} $.
Domain dari $ q = \sqrt{\sqrt{ 4 – x^2} + 1} $
$ \sqrt{ 4 – x^2} + 1 \geq 0 \rightarrow \sqrt{ 4 – x^2} \geq -1 \rightarrow \sqrt{ 4 – x^2} \geq 0 \rightarrow 4 – x^2 \geq 0 $
merupakan $ D_q = \{ -2 \leq x \leq 2 \} $ .
*). Domain $ (f \circ g) (x) $ :
$ D_{f \circ g} = D_g \cap D_q = \{ -2 \leq x \leq 2 \} \cap \{ -2 \leq x \leq 2 \} = \{ -2 \leq x \leq 2 \} $
Sesampai kemudian tempat asal dari $ (f \circ g) (x) $ merupakan $ \{ -2 \leq x \leq 2 \} $ .

4). Diketahui fungsi $ f(x) = 3x + 1 $ dan $ g(x) = \frac{2x – 3 }{x + 1} $. Tentukan :
a). tempat asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
b). tempat asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Penyelesaian :
*). Domain fungsi $ f(x) = 3x + 1 $ : $ D_f = \{ x \in R \} $
*). Domain fungsi $ g(x) = \frac{2x – 3 }{x + 1} $
$ x + 1 \neq 0 \rightarrow x \neq -1 $ : $ D_g = \{ x \neq -1 \} $
a). tempat asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
Misalkan $ p = (g \circ f) (x) $
$ p = (g \circ f) (x) = g (3x + 1) = \frac{2(3x + 1) – 3 }{3x + 1 + 1} = \frac{6x – 1}{3x + 2} $.
Domain dari $ p = \frac{6x – 1}{3x + 2} $
$ 3x + 2 \neq 0 \rightarrow x \neq – \frac{2}{3} $ : $ D_p = \{ x \neq – \frac{2}{3} \} $ .
*). Domain $ (g \circ f) (x) $ :
$ D_{g \circ f} = D_f \cap D_p = \{ x \in R \} \cap \{ x \neq – \frac{2}{3} \} = \{ x \neq – \frac{2}{3} \} $
Sesampai kemudian tempat asal dari $ (g \circ f) (x) $ merupakan $ \{ x \neq – \frac{2}{3} \} $ .
atau sanggup ditulis $ \{ x < – \frac{2}{3} \, \text{ atau } \, x > – \frac{2}{3} \} $ .

b). tempat asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Misalkan $ q = (f \circ g) (x) $
$ q = (f \circ g) (x) = f( \frac{2x – 3 }{x + 1}) = 3\left( \frac{2x – 3 }{x + 1}\right) + 1 = \frac{7x – 8}{ x + 1} $.
Domain dari $ q = \frac{7x – 8}{ x + 1} $
$ x + 1 \neq 0 \rightarrow x \neq -1 $ merupakan $ D_q = \{ x \neq -1 \} $ .
*). Domain $ (f \circ g) (x) $ :
$ D_{f \circ g} = D_g \cap D_q = \{ x \neq -1 \} \cap \{ x \neq -1 \} = \{ x \neq -1 \} $
Sesampai kemudian tempat asal dari $ (f \circ g) (x) $ merupakan $ \{ x \neq -1 \} $ .
atau sanggup kita tulis $ \{ x < – 1 \, \text{ atau } \, x > – 1 \} $

5). Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{3}{x-1} $ dan $ g(x) = \frac{2x }{3x – 2} $. Tentukan :
a). tempat asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
b). tempat asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Penyelesaian :
*). Domain fungsi $ f(x) = \frac{3}{x-1} $
$ x – 1 \neq 0 \rightarrow x \neq 1 $ : $ D_f = \{ x \neq 1 \} $
*). Domain fungsi $ g(x) = \frac{2x }{3x – 2} $
$ 3x – 2 \neq 0 \rightarrow x \neq \frac{3}{2} $ : $ D_g = \{ x \neq \frac{2}{3} \} $
a). tempat asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
Misalkan $ p = (g \circ f) (x) $
$ p = (g \circ f) (x) = g (\frac{3}{x-1}) = \frac{2.\frac{3}{x-1} }{3.\frac{3}{x-1}- 2} = \frac{6}{11 – 2x} $.
Domain dari $ p = \frac{6}{11 – 2x} $
$ 11 – 2x \neq 0 \rightarrow x \neq \frac{11}{2} $ : $ D_p = \{ x \neq \frac{11}{2} \} $ .
*). Domain $ (g \circ f) (x) $ :
$ D_{g \circ f} = D_f \cap D_p = \{ x \neq 1 \} \cap \{ x \neq \frac{11}{2} \} = \{ x \neq 1 \, \text{ dan } \, x \neq \frac{11}{2} \} $
Sesampai kemudian tempat asal dari $ (g \circ f) (x) $ merupakan $ \{ x \neq 1 \, \text{ dan } \, x \neq \frac{11}{2} \} $ .
atau sanggup ditulis $ \{ x < 1 \, \text{ atau } \, 1 < x < \frac{11}{2} \, \text{ atau } \, x > \frac{11}{2} \} $ .

Baca Juga:   Fungsi Komposisi

b). tempat asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Misalkan $ q = (f \circ g) (x) $
$ q = (f \circ g) (x) = f( \frac{2x }{3x – 2} ) = \frac{3}{\frac{2x }{3x – 2} -1} = \frac{9x – 6}{ -x + 2} $.
Domain dari $ q = \frac{9x – 6}{ -x + 2} $
$ -x + 2 \neq 0 \rightarrow x \neq 2 $ merupakan $ D_q = \{ x \neq 2 \} $ .
*). Domain $ (f \circ g) (x) $ :
$ D_{f \circ g} = D_g \cap D_q = \{ x \neq \frac{2}{3} \} \cap \{ x \neq 2 \} = \{ x \neq \frac{2}{3} \, \text{ dan } \, x \neq 2 \} $
Sesampai kemudian tempat asal dari $ (f \circ g) (x) $ merupakan $ \{ x \neq \frac{2}{3} \, \text{ dan } \, x \neq 2 \} $ .
atau sanggup kita tulis $ \{ x < \frac{2}{3} \, \text{ atau } \, \frac{2}{3} < x < 2 \, \text{ atau } \, x > 2 \} $ .

6). Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{4}{x^2-1} $ dan $ g(x) = \sqrt{ x + 4} $. Tentukan :
a). tempat asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
b). tempat asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Penyelesaian :
*). Domain fungsi $ f(x) = \frac{4}{x^2-1} $
$ x^2-1 \neq 0 \rightarrow x \neq -1 , x \neq 1 $ : $ D_f = \{ x \neq -1 , x \neq 1 \} $
*). Domain fungsi $ g(x) = \sqrt{ x + 4} $
$ x + 4 \geq 0 \rightarrow x \geq -4 $ : $ D_g = \{ x \geq -4 \} $
a). tempat asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
Misalkan $ p = (g \circ f) (x) $
$ p = (g \circ f) (x) = g (\frac{4}{x^2-1} ) = \sqrt{\frac{4}{x^2-1} + 4} = \sqrt{ \frac{4x^2}{x^2 – 1}} $.
Domain dari $ p = \sqrt{ \frac{4x^2}{x^2 – 1}} $
$ \frac{4x^2}{x^2 – 1} \geq 0 $ : $ D_p = \{ x < -1 \vee x > 1 \} $ .
*). Domain $ (g \circ f) (x) $ :
$ D_{g \circ f} = D_f \cap D_p = \{ x \neq -1 , x \neq 1 \} \cap \{ x < -1 \vee x > 1 \} = \{ x < -1 \vee x > 1 \} $
Sesampai kemudian tempat asal dari $ (g \circ f) (x) $ merupakan $ \{ x < -1 \vee x > 1 \} $ .

b). tempat asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Misalkan $ q = (f \circ g) (x) $
$ q = (f \circ g) (x) = f(\sqrt{ x + 4}) = \frac{4}{(\sqrt{x + 4})^2-1} = \frac{4}{x + 3} $.
Domain dari $ q = \frac{4}{x + 3} $
$ x + 3 \neq 0 \rightarrow x \neq -3 $ merupakan $ D_q = \{ x \neq -3 \} $ .
*). Domain $ (f \circ g) (x) $ :
$ D_{f \circ g} = D_g \cap D_q = \{ x \geq -4 \} \cap \{ x \neq -3 \} = \{ x \geq -4 \, \text{ dan } \, x \neq -3 \} $
Sesampai kemudian tempat asal dari $ (f \circ g) (x) $ merupakan $ \{ x \geq -4 \, \text{ dan } \, x \neq -3 \} $ .
atau sanggup kita tulis $ \{ -4 \leq x < -3 \, \text{ atau } \, x > -3 \} $ .

Daerah Hasil (Range) Komposisi Fungsi
       Untuk memilih tempat hasil suatu bentuk fungsi atau bentuk komposisi fungsi yakni dengan mensubstitusikan tempat asal yang terbentuk. Namun kita juga harus tetap memperhatikan karakteristik masing-masing fungsinya, semisal fungsi kuadrat terdapat nilai maksimum atau minimum tertentu, sementara fungsi bentuk akar terdapat nilai fungsi yang selalu positif. dan karakteristik fungsi lainnya.

Untuk memudahkan dalam penghitungan, kita akan pribadi coba mencari daerah hasil komposisi fungsi pada contoh-contoh soal di atas.

7). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x – 3 $ dan $ g(x) = x^2 + 1 $. Tentukan :
a). tempat hasil komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
b). tempat hasil komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
(contoh nomor 6)
Penyelesaian :
a). tempat hasil komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
*). Telah kita peroleh :
$ (g \circ f) (x) = 4x^2 -12x + 10 $,
Domain : $ -\infty < x < \infty $,
*). Menentukan tempat kesudahannya :
$ y = (g \circ f) (x) = 4x^2 -12x + 10 = 4(x – \frac{3}{2} )^2 + 1 $
Dari bentuk $ y = 4(x – \frac{3}{2} )^2 + 1 $ nilai minimumnya ketika $ x = \frac{3}{2} $ yakni $ y = 1 $
Sesampai kemudian tempat kesudahannya merupakan $ \{ y | y \geq 1 \} $.

b). tempat hasil komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
*). Telah kita peroleh :
$ (f \circ g) (x) = 2x^2 -1 $,
Domain : $ -\infty < x < \infty $,
*). Menentukan tempat kesudahannya :
$ y = (f \circ g) (x) = 2x^2 -1 $
Dari bentuk $ y = 2x^2 -1 $ nilai minimumnya ketika $ x = 0 $ yakni $ y = -1 $
Sesampai kemudian tempat kesudahannya merupakan $ \{ y | y \geq – 1 \} $.

Baca Juga:   Relasi

8). Diketahui fungsi $ f(x) = x^2 – 1 $ dan $ g(x) = \sqrt{ x – 3} $. Tentukan :
a). tempat hasil komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
b). tempat hasil komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
(contoh nomor 6)
Penyelesaian :
a). tempat hasil komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
*). Telah kita peroleh :
$ (g \circ f) (x) = \sqrt{x^2 – 4} $,
Domain : $ x \leq -2 \vee x \geq 2 $,
*). Menentukan tempat kesudahannya :
$ y = (g \circ f) (x) = \sqrt{x^2 – 4} $
Dari bentuk $ y = \sqrt{x^2 – 4} $ nilai minimumnya ketika $ x = -2 $ atau $ x = 2 $ yakni $ y = 0 $
Sesampai kemudian tempat kesudahannya merupakan $ \{ y | y \geq 0 \} $.

b). tempat hasil komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
*). Telah kita peroleh :
$ (f \circ g) (x) = x – 4 $,
Domain : $ x \geq 3 $,
*). Menentukan tempat kesudahannya :
$ y = (f \circ g) (x) = x – 4 $
Dari bentuk $ y = x – 4 $ nilai minimumnya ketika $ x = 3 $ yakni $ y = -1 $
Sesampai kemudian tempat kesudahannya merupakan $ \{ y | y \geq – 1 \} $.

cara lain untuk bab (a) dan (b) nomor (8) ini yakni :
a). $ y = \sqrt{x^2 – 4}$
$ x \leq -2 \rightarrow x^2 \geq 4 \rightarrow x^2 – 4 \geq 0 \rightarrow \sqrt{x^2 – 4} \geq 0 \rightarrow y \geq 0 $
$ x \geq 2 \rightarrow x^2 \geq 4 \rightarrow x^2 – 4 \geq 0 \rightarrow \sqrt{x^2 – 4} \geq 0 \rightarrow y \geq 0 $
b). $ y = x – 4 $
$ x \geq 3 \rightarrow x – 4 \geq 3 – 4 \rightarrow x – 4 \geq -1 \rightarrow y \geq -1 $.

Untuk teladan yang lainnya silahkan teman-teman coba sendiri ya. Semoga sanggup dan benar.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Menentukan Daerah Asal Komposisi Fungsi
       Perhatikan definisi tempat asal komposisi fungsi pada artikel paling atas dan definisi “fungsi invers” berikut ini.
Definisi fungsi invers : $ f(A) = B \leftrightarrow A = f^{-1}(B) $.
dari definisi invers fungsi $ f $ ini , A sebagai domain dan B sebagai range dimana $ f^{-1}(B) = A $ artinya $ f^{-1}{B} $ menghasikan domain dari fungsi $ f $ yakni A.

*). Pembuktian pertama : Menentukan tempat asal $ g \circ f $ :
     Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ p = (g \circ f)(x) \, $ ,
     tempat asal $ g \circ f $ : $ D_{g \circ f} = \{ x | x \in ( D_f \cap D_p ) \} $

-). Misalkan terdapat $ p $ yang merupakan tempat hasil dari $ (g \circ f)(x) $ atau sanggup kita tulis $ p = (g \circ f)(x) $. Karena $ p $ tempat hasil $ (g \circ f)(x) $, maka $ p $ juga merupakan tempat hasil dari fungsi $ g $ , sesampai kemudian tempat asal dari $ g $ merupakan $ g^{-1}(p) $ sesuai definisi invers di atas.
-). Dari definisi : $ D_{g \circ f} = \{ x | x \in D_f , \, f(x) \in D_g \} $
bentuk $ f(x) \in D_g $ artinya terdapat $ x $ sesampai kemudian nilai fungsi $ f(x) $ ada yang sama dengan anggota dari domain fungsi $ g $, misalkan domain $ g $ yang memenuhi tersebut merupakan $ g^{-1}(p) $. Dapat kita tulis $ f(x) = g^{-1}(p) $. Dari definisi invers fungsi :
$ f(x) = g^{-1}(p) \rightarrow p = g(f(x)) \rightarrow p = ( g \circ f)(x) \, $ …..(i)
Dari bentuk (i) ini, artinya $ x $ merupakan domain dari fungsi $ p = ( g \circ f)(x) $ atau kita tulis $ x \in D_p $.
-). Pada definisi : $ x \in D_f $. Di lain pihak juga $ x \in D_p $ , sesampai kemudian sanggup kita simpulkan $ x \in ( D_f \cap D_p) $.
Jadi, terbukti bahwa $ D_{g \circ f} = \{ x | x \in ( D_f \cap D_p ) \} $

*). Pembuktian kedua : Menentukan tempat asal $ f \circ g $ :
     Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ q = (f \circ g)(x) \, $ ,
     tempat asal $ f \circ g $ : $ D_{f \circ g} = \{ x | x \in ( D_g \cap D_q) \} $

-). Misalkan terdapat $ q $ yang merupakan tempat hasil dari $ (f \circ g)(x) $ atau sanggup kita tulis $ q = (f \circ g)(x) $. Karena $ q $ tempat hasil $ (f \circ g)(x) $, maka $ q $ juga merupakan tempat hasil dari fungsi $ f $ , sesampai kemudian tempat asal dari $ f $ merupakan $ f^{-1}(q) $ sesuai definisi invers di atas.
-). Dari definisi : $ D_{f \circ g} = \{ x | x \in D_g , \, g(x) \in D_f \} $
bentuk $ g(x) \in D_f $ artinya terdapat $ x $ sesampai kemudian nilai fungsi $ g(x) $ ada yang sama dengan anggota dari domain fungsi $ f $, misalkan domain $ f $ yang memenuhi tersebut merupakan $ f^{-1}(q) $. Dapat kita tulis $ g(x) = f^{-1}(q) $. Dari definisi invers fungsi :
$ g(x) = f^{-1}(q) \rightarrow q = f(g(x)) \rightarrow q = ( f \circ g)(x) \, $ …..(ii)
Dari bentuk (ii) ini, artinya $ x $ merupakan domain dari fungsi $ q = ( f \circ g)(x) $ atau kita tulis $ x \in D_q $.
-). Pada definisi : $ x \in D_g $. Di lain pihak juga $ x \in D_q $ , sesampai kemudian sanggup kita simpulkan $ x \in ( D_g \cap D_q) $.
Jadi, terbukti bahwa $ D_{f \circ g} = \{ x | x \in ( D_g \cap D_q) \} $

       Demikian pembahasan bahan Daerah Asal dan Daerah Hasil Komposisi Fungsi dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “fungsi“.