Dalil Ceva Pada Segitiga Dan Pembuktiannya

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel sebelumnya kita telah mengepostkan bahan “Dalil Menelaus pada Segitiga“. Pada artikel kali ini, kita akan membahas bahan Dalil Ceva pada Segitiga dan Pembuktiannya. Untuk memudahkan mempelajari bahan ini, sebaiknya baca juga bahan yang berkaitan dengan luas segitiga. Pada Dalil Ceva pada Segitiga, kita akan mempelajari dalil Ceva dan teladan soalnya, dan tak kalah penting merupakan pembuktian dalil Ceva itu sendiri dengan dua cara adalah memakai luas segitiga dan dalil menelaus.

Dalil Ceva pada Segitiga
       Terdapat sebuah segitiga ABC, titik-titik D, E, dan F masing-masing terletak pada sisi BC, sisi AC, dan sisi AF ibarat gambar berikut.

Dalil Ceva berbunyi :
Garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren)
apabila dan hanya apabila $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.

       Untuk memudahkan dalam mengingat, lihat putarannya, memutarnya sanggup berlawanan jarum jam atau sanggup searah putaran jarum jam ibarat gambar berikut,

Dalil Ceva pada Segitiga berbentuk Trigonometri
       Terdapat sebuah segitiga ABC, titik-titik D, E, dan F masing-masing terletak pada sisi BC, sisi AC, dan sisi AF ibarat gambar berikut.

Dalil Ceva trigonometri berbunyi :
Garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren)
apabila dan hanya apabila $ \, \, \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}.\frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE} = 1 $.

Contoh soal dalil Ceva pada segitiga :
1). Perhatikan gambar segitiga berikut,

Tentukan nilai $ x $ ?
Penyelesaian :
*). Langsung kita gunakan dalil Ceva,
$ \begin{align} \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} & = 1 \\ \frac{3}{2}.\frac{4}{9}.\frac{x}{1} & = 1 \\ \frac{2}{3} .x & = 1 \\ x & = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ x = \frac{3}{2} $.

2). Diketahui titik D, E, dan F masing-masing terletak pada sisi AB, sisi BC, dan sisi AC dengan perbandingan BE : EC = 2 : 3 dan AF : FC = 8 : 9. Jika panjang sisi AB = 28 cm, dan garis AE, BF, CD berpotongan di satu titik, maka tentukan panjang AD?
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambar berikut,

*). Kita gunakan dalil ceva,
$ \begin{align} \frac{AD}{DB}. \frac{BE}{EC}. \frac{CF}{FA} & = 1 \\ \frac{AD}{DB}. \frac{2}{3}. \frac{9}{8} & = 1 \\ \frac{AD}{DB}. \frac{3}{4} & = 1 \\ \frac{AD}{DB} & = \frac{4}{3} \end{align} $
Kita peroleh perbandingan AD : DB = 4 : 3, sesampai lalu AD : AB = 4 : 7.
*). Menentukan panjang AD
$ \begin{align} AD & = \frac{AD}{AB} \times \text{panjang AB} \\ & = \frac{4}{7} \times 28 \\ & = 16 \end{align} $
Jadi, panjang AD = 16 cm.

3). Perhatikan gambar segitiga berikut,

Jika panjang CD = 14 cm, maka tentukan panjang CO.
Penyelesaian :
*). Karena panjang CF = FA, sesampai lalu $ \frac{CF}{FA} = 1 $.
*). Kita gunakan dalil ceva untuk AD : DB.
$ \begin{align} \frac{AD}{DB}. \frac{BE}{EC}. \frac{CF}{FA} & = 1 \\ \frac{AD}{DB}. \frac{2}{3}. 1 & = 1 \\ \frac{AD}{DB} & = \frac{3}{2} \end{align} $
kita peroleh AD : DB = 3 : 2.
*). Kita gunakan dalil menelaus pada gambar berikut,

Dalil menelaus untuk perbandingan DO : OC,
$ \begin{align} \frac{DO}{OC}. \frac{CF}{FA}. \frac{AB}{BD} & = 1 \\ \frac{DO}{OC}. 1. \frac{5}{2} & = 1 \\ \frac{DO}{OC} & = \frac{2}{5} \end{align} $
Kita peroleh perbandingan DO : OC = 2 : 5, sesampai lalu CO : CD = 5 : 7.
*). Menentukan panjang CO
$ \begin{align} CO & = \frac{CO}{CD} \times \text{panjang CD} \\ & = \frac{5}{7} \times 14 \\ & = 10 \end{align} $
Jadi, panjang CO = 10 cm.

Baca Juga:   Geometri Bidang Datar Secara Umum

4). Perhatikan gambar berikut,

Diketahui perbandingan BE : EC = 2 : 3, CF : FA = 5 : 4, dan panjang AC = 15 cm. Jika garis GH sejajar dengan garis AC, tentukan panjang GH.
Penyelesaian :
*). Dalil Ceva untuk perbandingan AD : DB,
$ \begin{align} \frac{AD}{DB}. \frac{BE}{EC}. \frac{CF}{FA} & = 1 \\ \frac{AD}{DB}. \frac{2}{3}. \frac{5}{4} & = 1 \\ \frac{AD}{DB}. \frac{5}{6} & = 1 \\ \frac{AD}{DB} & = \frac{6}{5} \end{align} $
*). Dalil Menenlaus untuk perbandingan FO : OB,

$ \begin{align} \frac{FO}{OB}. \frac{BD}{DA}. \frac{AC}{CF} & = 1 \\ \frac{FO}{OB}. \frac{5}{6}. \frac{9}{5} & = 1 \\ \frac{FO}{OB}. \frac{3}{2} & = 1 \\ \frac{FO}{OB} & = \frac{2}{3} \end{align} $
*). Menentukan panjang GH dengan kesebangunan (dalil intercep),

Segitiga GBH sebangun dengan segitiga ABC,
$ \begin{align} \frac{GH}{AC} & = \frac{OB}{FB} \\ \frac{GH}{15} & = \frac{3}{5} \\ GH & = \frac{3}{5} \times 15 \\ GH & = 9 \end{align} $
Jadi, panjang GH = 9 cm.

5). Diketahui gambar segitiga ibarat berikut ini,

Jika $ \sin \angle ACF = a \sin \angle BCF , \, $ maka tentukan nilai $ a^2 + 3 $.
Penyelesaian :
*). Kita gunakan dalil Ceva trigonometri,
$ \begin{align} \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}.\frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE} & = 1 \\ \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}.\frac{\sin 30^\circ}{\sin 30^\circ} & = 1 \\ \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{ \frac{1}{2} }{ \frac{1}{2}\sqrt{2} }. 1 & = 1 \\ \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{ 1 }{ \sqrt{2} } & = 1 \\ \sin \angle ACF & = \sqrt{2} \sin \angle BCF \end{align} $
Kita peroleh : $ \sin \angle ACF = \sqrt{2} \sin \angle BCF $
dan juga telah diketahui $ \sin \angle ACF = a \sin \angle BCF $
artinya nilai $ a = \sqrt{2} $.
*). Menentukan nilai $ a^2 + 3 $.
$ a^2 + 3 = (\sqrt{2})^2 + 3 = 2 + 3 = 5 $.
Jadi, nilai $ a^2 + 3 = 5 $.

Catatan :
Sebenarnya contoh-contoh soal pada artikel ini kita mempermudahnya dengan eksklusif ada gambarnya masing-masing. Sebenarnya untuk soal-soal lain, soalnya dalam bentuk kisah sesampai lalu kita harus menggambarnya terlebih dahulu yang tentu akan lebih mempersulit kita dalam mengerjakannya.

Pembuktian Dalil Ceva pada Segitiga
       Untuk pertanda dalil Ceva pada segitiga, ada dua cara pembuktian yang akan ditampilkan pada artikel ini adalah memakai luas segitiga dan menggunakan dalil Menenlaus .

       Pada dalil Ceva terdapat kata “apabila dan hanya apabila“, artinya pembuktiannya ada dua arah adalah dari kiri dan dari kanan , kedua arah harus dibuktikan.
Pembuktian dari kiri ke kanan :
Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren),
maka $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.

Pembuktian dari kanan ke kiri :
Jika berlaku $ \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 , \, $
maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren)
.

Baca Juga:   Panjang Garis Tinggi Pada Segitiga Dan Pembuktiannya

Pembuktian Dari kiri ke kanan
Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren),
maka $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.

Pembuktian Dalil Ceva pada Segitiga Dengan Luas segitiga
       Perhatikan gambar berikut,

*). Kita misalkan $ [ABC] \, $ menyatakan luas segitiga ABC.
*). Menentukan perbandingan AF : FB .
*). Perhatikan $\Delta$AOB,
$\Delta$AOF dengan ganjal AF dan $\Delta$BOF dengan ganjal FB terdapat tinggi yang sama misalkan $ \, t_1 $.
$ [AOF] = \frac{1}{2}.AF . t_1 \, $ dan $ [BOF] = \frac{1}{2}.FB.t_1 $
*). Perhatikan $\Delta$ACB,
$\Delta$ACF dengan ganjal AF dan $\Delta$BCF dengan ganjal FB terdapat tinggi yang sama misalkan $ \, t_2 $.
$ [ACF] = \frac{1}{2}.AF . t_2 \, $ dan $ [BCF] = \frac{1}{2}.FB.t_2 $
*). Menentukan luas segitiga AOC dan luas segitiga BOC .
$ [AOC] = [ACF]-[AOF] $.
$ [AOC] = \frac{1}{2}.AF.t_2 – \frac{1}{2}.AF . t_1 = \frac{1}{2}.AF . (t_2 – t_1) $.
$ [BOC] = [BCF]-[BOF] $ .
$ [BOC] = \frac{1}{2}.FB.t_2 – \frac{1}{2}.FB.t_1 = \frac{1}{2}.FB.(t_2-t_1) $ .
*). Perbandingan AF : FB ,
$ \begin{align} \frac{[AOC]}{[BOC]} & = \frac{\frac{1}{2}.AF . (t_2 – t_1)}{\frac{1}{2}.FB.(t_2-t_1)} \\ \frac{[AOC]}{[BOC]} & = \frac{AF}{FB} \end{align} $
Kita peroleh : $ \frac{AF}{FB} = \frac{[AOC]}{[BOC]} \, $ ….pers(a).

Dengan cara yang sama kita peroleh :
*). Menggunakan segitiga BOC dan segitiga BAC kita peroleh,
Perbandingan : $ \frac{BD}{DC} = \frac{[AOB]}{[AOC]} \, $ ….pers(b).
*). Menggunakan segitiga AOC dan segitiga ABC kita peroleh,
Perbandingan : $ \frac{CE}{EA} = \frac{[BOC]}{[AOB]} \, $ ….pers(c).

*). Kalikan ketiga perbandingan yang diperoleh :
$ \begin{align} \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} & = \frac{[AOC]}{[BOC]} . \frac{[AOB]}{[AOC]} . \frac{[BOC]}{[AOB]} = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), maka $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.

Pembuktian Dalil Ceva pada Segitiga dengan Dalil Menelaus
       Perhatikan gambar berikut yang diperoleh dari gambar orisinil di atas yang dibagi menjadi dua untuk memudahkan dalam memakai dalil menelaus.

*). Dalil Menelaus pada gambar (a),
$ \frac{FO}{OC}. \frac{CE}{EA}. \frac{AB}{FB} = 1 \, $ ….pers(i).
*). Dalil Menelaus pada gambar (b),
$ \frac{FO}{OC}. \frac{CD}{DB}. \frac{AB}{AF} = 1 \rightarrow \frac{FO}{OC} = \frac{DB}{CD}.\frac{AF}{AB} \, $ ….pers(ii).
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
$ \begin{align} \frac{FO}{OC}. \frac{CE}{EA}. \frac{AB}{FB} & = 1 \\ \left( \frac{DB}{CD}.\frac{AF}{AB} \right). \frac{CE}{EA}. \frac{AB}{FB} & = 1 \\ \frac{DB}{CD}.\frac{AF}{FB}. \frac{CE}{EA} & = 1 \\ \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} & = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), maka $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.

Pembuktian Dalil Ceva pada Segitiga berbentuk Trigonometri
Dalil Ceva berbunyi :
Garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren)
apabila dan hanya apabila $ \, \, \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}.\frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE} = 1 $.

Baca Juga:   Panjang Garis Bagi Pada Segitiga Dan Pembuktiannya

Kita buktikan dari kiri ke kanan saja.
Perhatikan gambar berikut,

untuk hukum sinus, silahkan baca materinya di “Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga“.

Kita terapkan hukum sinus pada segitiga yang ada berikut,
*). Segitiga AOB,
$ \frac{OB}{\sin \angle BAO} = \frac{OA}{\sin \angle ABO} \rightarrow \frac{\sin \angle BAO}{\sin \angle ABO} = \frac{OB}{OA} $
$ \rightarrow \frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle ABE} = \frac{OB}{OA} \, $ ….pers(1).
*). Segitiga BOC,
$ \frac{OC}{\sin \angle CBO} = \frac{OB}{\sin \angle BCO} \rightarrow \frac{\sin \angle CBO}{\sin \angle BCO} = \frac{OC}{OB} $
$ \rightarrow \frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle BCF} = \frac{OC}{OB} \, $ ….pers(2).
*). Segitiga COA,
$ \frac{OA}{\sin \angle ACO} = \frac{OC}{\sin \angle CAO} \rightarrow \frac{\sin \angle ACO}{\sin \angle CAO} = \frac{OA}{OC} $
$ \rightarrow \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle CAD} = \frac{OA}{OC} \, $ ….pers(3).
*). Kalikan ketiga persamaan yang diperoleh :
$ \begin{align} \frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle ABE}. \frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle BCF} . \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle CAD} & = \frac{OB}{OA} . \frac{OC}{OB} . \frac{OA}{OC} \\ \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}.\frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE} & = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), maka $ \, \, \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}.\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}.\frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE} = 1 $.

Pembuktian dari kanan ke kiri
Jika berlaku $ \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 , \, $
maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren)
.

       Sebelumnya telah terbukti dari kiri ke kanan :
Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), maka $ \, \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $.

Misalkan AD dan BE berpotongan dititik O, perpanjangan garis CO memotong sisi AB di titik F’, cukup kita tunjukkan F = F’.
Dari pembuktian dari kiri ke kanan, maka berlaku :
$ \frac{AF’}{F’B}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 \, $ ….pers(i).
Sementara dari arah kanan ke kiri berlaku :
$ \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 \, $ ….pers(ii).
Dari pers(i) dan pers(ii), kita peroleh :
$ \frac{AF’}{F’B} = \frac{AF}{FB} $
artinya F = F’ atau titik F dan F’ berimpit, sesampai lalu terbukti bahwa garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), atau lebih kompleksnya :
Jika berlaku $ \, \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 , \, $
maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren)
.

Catatan :
Dalil Ceva juga sanggup dibuktikan dengan memakai konsep vektor. Silahkan baca artikelnya pada “Pembuktian Dalil Menenlaus dan Ceva dengan vektor“.