Dalil Stewart Pada Segitiga Dan Pembuktiannya

Posted on

         Pondok Soal.com – Salah satu dalil garis pada segitiga yang tak kalah penting merupakan dalil Stewart. Pada artikel ini kita membahas bahan dalil Stewart pada segitiga dan pembuktiannya. Salah satu kegunaan dalil Stewart merupakan untuk mengambarkan rumus panjang garis berat dan panjang garis bagi sebuah segitiga. Dan untuk gampang dalam membuktikan, silahkan baca ihwal dalil proyeksi pada bahan “Panjang Garis Tinggi pada Segitiga dan Pembuktiannya“.

Konsep Dalil Stewart pada Segitiga
       Dalil Stewart menyatakan korelasi antara sisi-sisi segitiga dengan panjang ruas garis yang menghubungkan titik sudut dengan sisi yang ada dihadapan sudut tersebut. perhatikan gambar segitiga ABC berikut,

Jika titik D terletak pada sisi BC pada sigitiga ABC, sesampai lalu panjang $ BD = m , \, DC = n , \, $ dan $ m + n = a , \, $ maka panjang sebarang garis $ AD = d \, $ yakni :

$ AD^2 . BC = AC^2.BD + AB^2 . DC – BD.DC.BC \, $
atau $ \, d^2 . a = b^2.m + c^2 . n – m.n.a $

Contoh soal Dalil Stewart pada segitiga :
1). Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya AB = 4 cm, BC = 8 cm, dan AC = 6 cm. Titik D terletak pada sisi BC dengan BD = 2 cm dan titik E terletak pada sisi AC dengan panjang AE = 4 cm. Tentukan panjang DE?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan dalil Stewart.

*). Menentukan panjang AD dengan dalil Stewart pada $\Delta$ABC
$ \begin{align} AD^2 . BC & = BD. AC^2 + DC.AB^2 – BD.DC.BC \\ AD^2 . 8 & = 2. 6^2 + 6.4^2 – 2.6.8 \\ AD^2 . 8 & = 72 + 96 – 96 \\ AD^2 . 8 & = 72 \\ AD^2 & = 9 \\ AD & = \sqrt{9} = 3 \end{align} $
Sesampai lalu panjang AD = 3 cm.
*). Menentukan panjang DE dengan dalil Stewart pada $\Delta$ADC
$ \begin{align} DE^2 . AC & = CE.AD^2 + EA.DC^2 – CE.EA.AC \\ DE^2 . 6 & = 2.3^2 + 4.6^2 – 2.4.6 \\ DE^2 . 6 & = 18 + 144 – 48 \\ DE^2 . 6 & = 18 + 96 \\ DE^2 . 6 & = 114 \\ DE^2 & = 19 \\ DE & = \sqrt{19} \end{align} $
Jadi, panjang DE = $\sqrt{19} $ cm.

2). Pada sebuah segitiga ABC, diketahui AB = 8 cm, BC = 7 cm, dan AC = 6 cm. Pada perpanjangan AB terdapat titik D, sesampai lalu BD = 1/2 AD. Hitunglah panjang CD.
Penyelesaian :
*). Karena panjang BD = 1/2 AD, maka BD = AB = 8 cm.
*). Gambar ilustrasinya :

*). Kita terapkan dalil stewart pada segitiga ACD.
$ \begin{align} CB^2.AD & = AB.CD^2 + BD.AC^2 – AB.BD.AD \\ 7^2.16 & = 8.CD^2 + 8.6^2 – 8.8.16 \, \, \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ 49.2 & = CD^2 + 36 – 8.16 \\ 98 & = CD^2 + 36 – 128 \\ 98 & = CD^2 -92 \\ CD^2 & = 190 \\ CD & = \sqrt{190} \end{align} $
Jadi, panjang $ CD = \sqrt{190} \, $ cm.
Catatan : soal nomor 2 ini sanggup diselesaikan memakai rumus panjang garis berat.

3). Diketahui sebuah segitiga ABC dengan AC = 8 cm, AB = 6 cm dan BC = 12 cm. Titik D pada AB dan titik E pada AC sesampai lalu AD:AB = 1:3 dan BE = CE. Hitunglah panjang DE!
Penyelesaian :
*). Panjang AD:AB = 1:3 ,
Panjang $ AD = \frac{1}{3} AB = \frac{1}{3} . 6 = 2 $.
Panjang $ DB = \frac{2}{3} AB = \frac{2}{3} . 6 = 4 $.
Misalkan panjang $ BE = EC = x , \, $ sesampai lalu $ EA = 8 – x $.
*). Ilustrasi gambar segitiga ABC.

*). Dalil Stewart pada $\Delta$ABC memilih panjang BE ($x$),
$ \begin{align} BE^2.AC & = CE.AB^2 + EA.BC^2 – CE.EA.AC \\ x^2.8 & = x.6^2 + (8-x).12^2 – x.(8-x).8 \\ 8x^2 & = 36x + 1152 – 144x – 64x + 8x^2 \\ 172x & = 1152 \\ x & = \frac{1152}{172} = \frac{288}{43} \end{align} $
Sesampai lalu panjang $ BE = x = \frac{288}{43} \, $ cm.
Panjang $ EA = 8 – x = 8 – \frac{288}{43} = \frac{56}{43} $ .
*). Kita terapkan dalil stewart pada segitiga AEB.
$ \begin{align} DE^2.AB & = AD.BE^2 + DB.EA^2 – AD.DB.AB \\ DE^2.6 & = 2.(\frac{288}{43})^2 + 4.(\frac{56}{43})^2 – 2.4.6 \\ DE^2.6 & = 2.(\frac{82944}{1849}) + 4.(\frac{3136}{1849}) – 48 \\ DE^2.6 & = \frac{165888}{1849} + \frac{12544}{1849} – 48 \\ DE^2.6 & = \frac{178432}{1849} – 48 \\ DE^2.6 & = \frac{178432}{1849} – \frac{88752}{1849} \\ DE^2.6 & = \frac{89680}{1849} \\ DE^2 & = \frac{89680}{11094} \\ DE & = \sqrt{\frac{89680}{11094}} \\ DE & = \sqrt{\frac{89680}{11094}} \end{align} $
Jadi, panjang $ DE = \sqrt{\frac{89680}{11094}} \, $ cm.

Baca Juga:   Dalil Titik Tengah Dan Intercep Segitiga

4). Diketahui ada sebuah trapesium. Sisi-sisi sejajar trapesium merupakan 16 cm dan 10 cm. Panjang kaki-kakinya 8 cm dan 10 cm. Hitunglah panjang kedua diagonalnya!
Penyelesaian :
*). gambaran gambar trapesiumnya.

*). Misalkan panjang $ AC = x \, $ dan $ BD = y $ .
Misalkan juga $ AE = x_1 , \, EC = x_2, \, DE = y_1, \, EB = y_2 $
dengan $ x_1 + x_2 = x \, $ dan $ \, y_1 + y_2 = y $.
*). Segitiga AED sebangun dengan segitiga BEC.
Karena sebangun, maka perbandingan sisi yang bersesuaian sama.
$ \frac{AE}{EC} = \frac{AD}{BC} \rightarrow \frac{x_1}{x_2} = \frac{10}{16} \rightarrow \frac{x_1}{x_2} = \frac{5}{8} $.
Sesampai lalu : $ x_1 = \frac{5}{13} x \, $ dan $ x_2 = \frac{8}{13}x $.
$ \frac{DE}{EB} = \frac{AD}{BC} \rightarrow \frac{y_1}{y_2} = \frac{10}{16} \rightarrow \frac{y_1}{y_2} = \frac{5}{8} $.
Sesampai lalu : $ y_1 = \frac{5}{13} y \, $ dan $ y_2 = \frac{8}{13}y $.
*). Menerapkan dalil stewart pada segitiga ACD.
$ \begin{align} DE^2.AC & = AE.CD^2 + EC.AD^2 – AE.EC.AC \\ y_1^2.x & = x_1.8^2 + x_2.10^2 – x_1.x_2.x \, \, \, \, \, \text{….pers(i)} \end{align} $
*). Menerapkan dalil stewart pada segitiga ACB.
$ \begin{align} BE^2.AC & = AE.BC^2 + EC.AB^2 – AE.EC.AC \\ y_2^2.x & = x_1.(16)^2 + x_2.10^2 – x_1.x_2.x \, \, \, \, \, \text{….pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii),
$ \begin{array}{cc} y_1^2.x = x_1.8^2 + x_2.10^2 – x_1.x_2.x & \\ y_2^2.x = x_1.(16)^2 + x_2.10^2 – x_1.x_2.x & – \\ \hline x(y_1^2 – y_2^2) = -192x_1 & \end{array} $
*). Substitusi nilai $ x_1, y_1 , y_2 $,
$ \begin{align} x(y_1^2 – y_2^2) & = -192x_1 \\ x((\frac{5}{13} y)^2 – (\frac{8}{13} y)^2) & = -192.\frac{5}{13} x \\ x(\frac{25}{169} y^2 – \frac{64}{169} y^2) & = -192.\frac{5}{13} x \\ x.\frac{-39}{169} y^2 & = -192.\frac{5}{13} x \\ \frac{39}{169} y^2 & = 192.\frac{5}{13} \\ \frac{3}{13} y^2 & = 192.\frac{5}{13} \\ 3 y^2 & = 192 . 5 \\ y^2 & = \frac{192.5}{3} = 64 . 5 \\ y & = \sqrt{64. 5} = 8 \sqrt{5} \end{align} $
*). Menerapkan dalil stewart pada segitiga ADB.
$ \begin{align} AE^2.BD & = DE.AB^2 + EB.AD^2 – DE.EB.DB \\ x_1^2.y & = y_1.10^2 + y_2.10^2 – y_1.y_2.y \, \, \, \, \, \text{….pers(iii)} \end{align} $
*). Menerapkan dalil stewart pada segitiga CDB.
$ \begin{align} CE^2.BD & = DE.BC^2 + EB.CD^2 – DE.EB.DB \\ x_2^2.y & = y_1.16^2 + y_2.8^2 – y_1.y_2.y \, \, \, \, \, \text{….pers(iv)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(iii) dan pers(iv),
$ \begin{array}{cc} x_1^2.y = y_1.10^2 + y_2.10^2 – y_1.y_2.y & \\ x_2^2.y = y_1.16^2 + y_2.8^2 – y_1.y_2.y & – \\ \hline y(x_1^2 – x_2^2) = -156y_1 + 36y_2 & \end{array} $
*). Substitusi nilai $ x_1,x_2, y_1 , y_2 $,
$ \begin{align} y(x_1^2 – x_2^2) & = -156y_1 + 36y_2 \\ y((\frac{5}{13} x)^2 – (\frac{8}{13} x)^2) & = -156.\frac{5}{13} y + 36. \frac{8}{13} y \\ y(\frac{25}{169} x^2 – \frac{64}{169} x^2) & = -156.\frac{5}{13} y + 36. \frac{8}{13} y \\ y.\frac{-39}{169} x^2 & = -156.\frac{5}{13} y + 36. \frac{8}{13} y \\ \frac{-3}{13} x^2 & = -156.\frac{5}{13} + 36. \frac{8}{13} \\ -3 x^2 & = -156.5 + 36. 8 \\ -3 x^2 & = -492 \\ x^2 & = 164 \\ x & = \sqrt{164} \end{align} $
Jadi, panjang diagonal-diagonalnya merupakan $ 8 \sqrt{5} \, $ cm dan $ \sqrt{164} \, $ cm.

Baca Juga:   Panjang Garis Berat Pada Segitiga Dan Pembuktiannya

5). Sisi-sisi sejajar sebuah trapesium 6 cm dan 36 cm. Panjang diagonalnya 21 cm dan 28 cm. Hitunglah panjang kaki-kaki trapesium tersebut!
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambaran gambar di bawah ini.

*). Menentukan panjang masing pada trapesium.
Diagonal AC = 28 cm, diagonal BD = 21 cm.
Sisi-sisi sejajar : AD = 6 cm dan BC = 36 cm.
*). Segitiga AED sebangun dengan segitiga BEC.
$ \frac{AE}{EC} = \frac{AD}{BC} \rightarrow \frac{AE}{EC} = \frac{6}{36} \rightarrow \frac{AE}{EC} = \frac{1}{6} $
Sesampai lalu : $ AE = \frac{1}{7} AC = \frac{1}{7}. 28 = 4 \, $ dan $ EC = \frac{6}{7} AC = \frac{6}{7}. 28 = 24 $ .
$ \frac{DE}{EB} = \frac{AD}{BC} \rightarrow \frac{DE}{EB} = \frac{6}{36} \rightarrow \frac{DE}{EB} = \frac{1}{6} $
Sesampai lalu : $ DE = \frac{1}{7} BD = \frac{1}{7}. 21 = 3 \, $ dan $ EB = \frac{6}{7} BD = \frac{6}{7}. 21 = 18 $ .
*). Menerapkan dalil stewart pada segitiga ACD.
$ \begin{align} DE^2.AC & = AE.CD^2 + EC.AD^2 – AE.EC.AC \\ 3^2.28 & = 4.CD^2 + 24.6^2 – 4.24.28 \\ 252 & = 4.CD^2 + 864 – 2688 \\ 252 & = 4.CD^2 – 1824 \\ 4.CD^2 & = 2076 \\ CD^2 & = \frac{2076}{4} = 519 \\ CD & = \sqrt{519} \end{align} $
*). Menerapkan dalil stewart pada segitiga ACB.
$ \begin{align} BE^2.AC & = AE.BC^2 + EC.AB^2 – AE.EC.AC \\ 18^2.28 & = 4.(36)^2 + 24.AB^2 – 4.24.28 \\ 9072 & = 5184 + 24.AB^2 – 2688 \\ 24.AB^2 & = 6576 \\ AB^2 & = 274 \\ AB & = \sqrt{274} \end{align} $
Jadi, panjang kaki-kaki trapesium tersebut merupakan $ \sqrt{519} \, $ cm dan $ \sqrt{274} \, $ cm.

Pembuktian Dalil Stewart dengan hukum Cosinus
       Untuk pembuktian pertama ini kita akan memakai aturan cosinus. Teori hukum cosinus sanggup di baca pada artikel “Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga“.

*). Panjang untuk sisi masing-masing terlihat pada gambar di atas.
khususnya merupakan $ m + n = a $.
*). Misalkan sudut $ ABD = y \, $ dan sudut $ ADC = x $.
Sudut $ x \, $ dan $ y \, $ saling berpelurus, sesampai lalu jumlahnya $ 180^\circ$.
$ y + x = 180^\circ \rightarrow y = 180^\circ – x $.
Sesampai lalu : $ \cos y = \cos (180^\circ – x ) = – \cos x $.
*). Aturan Cosinus pada segitiga ABD,
$ c^2 = d^2 + m^2 – 2.d.m .\cos y $
$ \rightarrow c^2 = d^2 + m^2 – 2.d.m .(-\cos x) $
$ \rightarrow c^2 = d^2 + m^2 + 2dm\cos x \, $ , sobat semua dengan $ n \, $ kedua ruas :
$ c^2.n = d^2.n + m^2.n + 2dmn\cos x \, $ ….pers(i).
*). Aturan Cosinus pada segitiga ACD,
$ b^2 = d^2 + n^2 – 2.d.n .\cos x \, $ , sobat semua dengan $ m \, $ kedua ruas :
$ b^2.m = d^2.m + n^2.m – 2dmn\cos x \, $ ….pers(ii).
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} b^2.m = d^2.m + n^2.m – 2dmn\cos x & \\ c^2.n = d^2.n + m^2.n + 2dmn\cos x & + \\ \hline b^2.m + c^2.n = d^2(m+n) + mn(m+n) & \\ b^2.m + c^2.n = d^2.a + m.n.a & \\ d^2.a = b^2.m + c^2.n – m.n.a & \end{array} $
Sesampai lalu terbukti panjang $ AD = d \, $ diperoleh dari rumus :
$ d^2.a = b^2.m + c^2.n – m.n.a \, $ atau
$ AD^2 . BC = AC^2.BD + AB^2 . DC – BD.DC.BC $

Baca Juga:   Panjang Garis-Garis Istimewa Pada Segitiga

Pembuktian Dalil Stewart dengan dalil proyeksi
       Teori dalil proyeksi sanggup kita baca pada bahan “Panjang Garis Tinggi pada Segitiga dan Pembuktiannya” yang dibagi menjadi dua yakni dalil proyeksi segitiga tumpul dan dalil proyeksi segitiga lancip.

Pada gambar kita proyeksikan garis AD pada garis BD yang balasannya merupakan DE.
*). Panjang untuk sisi masing-masing terlihat pada gambar di atas.
khususnya merupakan $ m + n = a $.
*). Dalil proyeksi lancip pada segitiga BAD,
$ c^2 = d^2 + m^2 – 2 . m . ED \, $ , sobat semua dengan $ n \, $ kedua ruas :
$ c^2.n = d^2.n + m^2.n – 2 . m .n. ED \, $ ….pers(iii).
*). Dalil proyeksi tumpul pada segitiga CAD,
$ b^2 = d^2 + n^2 + 2.n .ED \, $ , sobat semua dengan $ m \, $ kedua ruas :
$ b^2.m = d^2.m + n^2.m + 2 . m .n. ED \, $ ….pers(iv).
*). Eliminasi pers(iii) dan pers(iv) :
$ \begin{array}{cc} b^2.m = d^2.m + n^2.m + 2 . m .n. ED & \\ c^2.n = d^2.n + m^2.n – 2 . m .n. ED & + \\ \hline b^2.m + c^2.n = d^2(m+n) + mn(m+n) & \\ b^2.m + c^2.n = d^2.a + m.n.a & \\ d^2.a = b^2.m + c^2.n – m.n.a & \end{array} $
Sesampai lalu terbukti panjang $ AD = d \, $ diperoleh dari rumus :
$ d^2.a = b^2.m + c^2.n – m.n.a \, $ atau
$ AD^2 . BC = AC^2.BD + AB^2 . DC – BD.DC.BC $

Catatan:
Seetelah admin mulai menyusun bahan yang berkaitan dengan Dalil Stewart, ternyata admin sangat kagum dengan kegunaan dalil ini, tak hanya untuk mengambarkan panjang garis berat dan garis bagi, ternyata sanggup juga dipakai untuk mengambarkan teorema pythagoras pada segitiga siku-siku.
Ini sedikit tantangan untuk kita semua, coba selesaikan sedikit soal berikut ini,
i). Coba buktikan teorema pythagaoras memakai dali Stewart, silahkan konstruksinya bebas.
ii). Buktikan untuk sebarang jajar genjang, berlaku bahwa jumlah kuadrat sisi-sisi diagonalnya sama dengan dua kali jumlah kuadrat sisi-sisinya sejajarnya.
Selamat untuk mencoba bagi teman-teman yang tertarik untuk memecahkan dilema di atas.