Dalil Titik Tengah Dan Intercep Segitiga

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada hari ini kali ini kita melanjutkan bahan “geometri bidang datar“, khususnya bahan dalil titik tengah dan dalil intercep segitiga.

Dalil Titik Tengah Segitiga
Perhatikan segitiga ABC berikut,

Pada segitiga ABC di atas, titik D dan E merupakan titik tengah masing-masing sisi AC dan BC, lalu ditarik garis DE (gambar (ii)) yang memenuhi dalil titik tengah.

       Dalil Titik Tengah Segitiga ialah segmen garis penghubung titik-titik tengah dari kedua sisi segitiga (garis DE) merupakan sejajar dengan sisi segitiga (sisi AB) dan panjangnya merupakan setengah kali panjang sisi ketiga segitiganya (sisi AB).
Artinya panjang $ DE = \frac{1}{2} \times AB$.

Contoh :
1). Pada segitiga ABC diketahui panjang AB = 14 cm, CD = DA, CE = EB, dan DE sejajar dengan garis AB. Tentukan panjang garis DE?
Penyelesaian :
*). Berdasarkan dalil titik tengah segitiga,
panjang $ DE = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 14 = 7 $.
Jadi, panjang DE = 7 cm.

2). perhatikan gambar segitiga berikut.

.

Tentukan panjang sisi AB.?
Penyelesaian :
*). Dari gambarnya, maka berlaku dalil titik tengah segitiga.
$ DE = \frac{1}{2} \times AB \rightarrow AB = 2 \times DE = 2 \times 3 = 6 $.
Jadi, panjang AB = 6 cm.

Contoh :
3). perhatikan segitiga berikut,

Tentukan nilai $ x \, $ dan $ y $.?
Penyelesaian :
*). Kita akan memakai dalil intercep segitiga.
*). Menentukan nilai $ x $ ,
$ \begin{align} \frac{PU}{UR} & = \frac{PT}{TQ} \\ \frac{x}{3} & = \frac{3}{2} \\ x & = \frac{3}{2} \times 3 \\ & = \frac{9}{2} \\ & = 4,5 \end{align} $.
Sesampai lalu panjang $ PU = x = 4,5 $.
*). Menentukan nilai $ y $ ,
$ \begin{align} \frac{TU}{QR} & = \frac{PT}{PQ} \\ \frac{y}{10} & = \frac{3}{5} \\ y & = \frac{3}{5} \times 10 \\ & = \frac{30}{5} \\ & = 6 \end{align} $.
Sesampai lalu panjang $ TU = y = 6 $.

4). Dari gambar berikut, tentukan nilai $ m + n $.

Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ m $.
Perhatikan segitiga AFG,
$ \frac{DE}{FG} = \frac{AD}{AF} \rightarrow \frac{m}{10} = \frac{1}{2} \rightarrow m = 5 $.
*). Menentukan nilai $ n $.
Perhatikan segitiga ABC,
$ \frac{FG}{BC} = \frac{AF}{AB} \rightarrow \frac{10}{n} = \frac{2}{3} \rightarrow n = 15 $.
Sesampai lalu nilai $ m + n = 5 + 15 = 20 $.

Cara II :
Untuk soal menyerupai gambar pada soal nomor 4 ini, maka berlaku :
$ m + n = 2 \times 10 = 20 $.
Maksudnya, apabila panjang garis $ FG = a , \, $ maka $ m + n = 2a $.

Pembuktian Dalil Titik Tengah dan Intercep Segitiga
Perhatikan gambar segitiga PQR berikut,

Garis TU sejajar dengan sisi QR pada segitiga PQR.

       Untuk menunjukan kedua dalil ini, konsep yang dipakai merupakan “kesebangunan” pada segitiga. Segitiga PTU sebangun dengan segitiga PQR sesampai lalu berlaku perbandingan yang sama pada sisi-sisi yang bersesuaian.
Perbandingan yang berlaku : $ \frac{PT}{PQ}=\frac{TU}{QR}=\frac{PU}{PR} \, $ ….pers(i).
sesampai lalu terbukti untuk dalil intercep : $ \frac{PT}{PQ}=\frac{TU}{QR}=\frac{PU}{PR} $

*). Pembuktian dalil intercep : $ \frac{PT}{TQ} = \frac{PU}{UR} $.
Dari segitiga PQR, maka $ PQ = PT + TQ \, $ dan $ PR = PU + UR $.
kita gunakan pers(i) :
$\begin{align} \frac{PT}{PQ} & =\frac{PU}{PR} \\ PT.PR & = PU.PQ \\ PT.(PU+UR) & = PU.(PT+TQ) \\ PT.PU + PT.UR & = PU.PT + PU.TQ \\ PT.UR & = PU.TQ \\ \frac{PT}{TQ} & =\frac{PU}{PR} \end{align} $
Sesampai lalu terbukti dalil intercep : $ \frac{PT}{TQ} = \frac{PU}{UR} $.

Baca Juga:   Geometri Bidang Datar Secara Umum

*). Pembuktian dalil titik tengah : $ TU = \frac{1}{2} \times QR $.
Untuk dalil titik tengah, maka PT = TQ sesampai lalu $ \frac{PT}{PQ} = \frac{1}{2} $.
Kita gunakan pers(i) :
$\begin{align} \frac{PT}{PQ} & = \frac{TU}{QR} \\ \frac{1}{2} & = \frac{TU}{QR} \\ TU & = \frac{1}{2} \times QR \end{align} $
Jadi, terbukti dalil titik tengah : $ TU = \frac{1}{2} \times QR $.