Definisi Turunan Fungsi Secara Umum

Posted on

         Pondok Soal.com – Hallow teman-teman, bagaimana kabarnya hari ini? Mudah-mudahan baik-baik saja. Kali ini kita akan membahas materi turunan, namun secara umum saja dengan judul Definisi Turunan Fungsi Secara Umum. Untuk memperoleh dan mengetahui Definisi Turunan Fungsi Secara Umum, kita pelajari dua penterangan berikut yaitu perihal garis singgung dan kecepatan sesaat.

Garis Singgung(garis tangen), Garis Sekan (garis tali busur), dan Garis Normal
       Untuk membedakan ketika garis yaitu garis singgung, garis secan dan garis normal, perhatikan gambar berikut ini.

Gradien Garis Sekan dan Garis Singgung
       Perhatikan gambar garis sekan dan garis singgung berikut.

Perhatikan gambar A, garis sekan (tali busur) yang melalui titik A($a, f(a)$) dan titik B($a+\Delta x , f(a+\Delta x)$) terdapat gradien (kemiringan garis) yang disimbolkan dengan $ m \, $ yaitu :
$ m_{AB} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{f(a+\Delta x) – f(a)}{(a+\Delta x) – a} = \frac{f(a+\Delta x) – f(a)}{ \Delta x } $
Jika $ \Delta x \, $ nilainya semakin kecil, maka garis sekan (gambar A) akan membentuk garis singgung menyerupai gambar B, sesampai kemudian diperoleh gradien garis singgungnya :
gradien garis singgung di titik A($a,f(a)$) : $ m = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x) – f(a)}{ \Delta x } $
dengan syarat nilai limitnya ada. Untuk persyaratan suatu limit ada atau tak, silahkan baca materi “Pengertian Limit Fungsi“, dan untuk cara menghitung hasil limit fungsi aljabar silahkan baca materi “Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar “.

Kecepatan Sesaat
       Untuk materi kecepatan sesaat, lebih kompleksnya silahkan baca pribadi materinya pada artikel “Penerapan Limit pada Laju Perubahan“.
Kecepatan sesaat dirumuskan : $ v = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x ) – f(a)}{\Delta x} $ .

Definisi atau pengertian Turunan Fungsi
       Turunan fungsi $ f(x) \, $ di $ x = a \, $ dinotasikan dengan $ f^\prime (a) \, $ , didefinisikan sebagai :
$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x ) – f(a)}{\Delta x} \, \, $ apabila limitnya ada.
atau sanggup ditulis : $ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) – f(a)}{h} \, \, $ apabila limitnya ada.
Bentuk $ f^\prime (a) \, $ dibaca ” $ f \, $ aksen $ \, a $ “.

       Jika kita tuliskan $ x = a + h \, $ , maka $ h = x – a \, $ dan untuk $ h \to 0 \, $ maka $ x \to a $ . Sesampai kemudian definisi limit diatas sanggup juga ditulis :
$ f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(a+ h ) – f(a)}{h} = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) – f(a)}{x-a} $

Notasi turunan yang dipakai merupakan :
*). Notasi Newton,
Turunan pertama dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ f^\prime (x) \, $ atau $ y^\prime $
Turunan kedua dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ f^{\prime \prime} (x) \, $ atau $ y^{\prime \prime} $
dan seterusnya .
*). Notasi Newton,
Turunan pertama dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ \frac{df(x)}{dx} \, $ atau $ \frac{dy}{dx} $
Turunan kedua dari $ y = f(x) \, $ di notasikan : $ \frac{d^2f(x)}{(dx)^2} \, $ atau $ \frac{d^2y}{(dx)^2} $
dan seterusnya.

Contoh :
1). Tentukan gradien garis singgung pada kurva $ f(x) = x^2 \, $ di titik (2,5)? Penyelesaian :
*). Menentukan fungsinya :
$ f(x) = x^2 \rightarrow f(2) = 2^2 = 4 $
$ f(2 + h) = (2 + h)^2 = 4 + 4h + h^2 $
*). Menentukan gradien pada ketika $ x = 2 $
$ \begin{align} m & = f^\prime (2) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) – f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(2+ h ) – f(2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ (4 + 4h + h^2) – (4)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ 4h + h^2 }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } 4 + h \\ & = 4 + 0 \\ m & = 4 \end{align} $
Jadi, gradien garis singgunya merupakan 4.

2). Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sesampai kemudian kedudukannya sesudah $ x $ detik memenuhi persamaan $ f (x) = 6x^3 + x^2 , \, $ dengan $ f(x) $ dinyatakan dalam meter.
a). Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu $ 2 \leq x \leq 3 $ ?
b). Berapa kecepatan sesaat benda pada $ x = 2 \, $ detik?
Penyelesaian :
a). Kecepatan sesaat untuk $ 2 \leq x \leq 3 \, $ artinya $ \Delta x = 3 – 2 = 1 $
$ a = 2 \rightarrow f(2) = 6.2^3 + 2^2 $
$ f(2 + \Delta x ) = f(2 + 1 ) = f(3) = 6.3^3 + 3^2 $
*). Menentukan kecepatan rata-rata (kelajuan rata-rata) :
keceptan rata-rata nya
$ \begin{align} = \frac{f(a+\Delta x ) – f(a)}{\Delta x} = \frac{f(3) – f(2)}{3-2} = \frac{(6.3^3 + 3^2) – ( 6.2^3 + 2^2 )}{1} = 119 \end{align} $
Jadi, kecepatan rata-ratanya merupakan 119 m/s.

b). Kecepatan sesaat $ x = 2 $
$ \begin{align} v & = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(a+\Delta x ) – f(a)}{\Delta x} \\ & = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{f(2+\Delta x ) – f(2)}{\Delta x} \\ & = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{[ 6(2+\Delta x)^3 + (2+\Delta x)^2] – [6.2^3 + 2^2] }{\Delta x} \\ & = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ 6(8 + 12\Delta x + 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) + (4 + 4\Delta x + (\Delta x)^2) – 52 }{\Delta x} \\ & = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } \frac{ 6(\Delta x)^3 + 37(\Delta x)^2 + 76\Delta x }{\Delta x} \\ & = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0 } 6(\Delta x)^2 + 37\Delta x + 76 \\ & = 6(0)^2 + 37. 0 + 76 \\ & = 76 \end{align} $
Jadi, kecepatan pada ketika $ x = 2 $ atau pada detik kedua merupakan 76 meter/detik.

3). Tentukan nilai dari $ f^\prime (-2) \, $ dari fungsi $ f(x) = x^2 – 3x $ ?
Penyelesaian :
*). Nilai $ f^\prime (-2) \, $ artinya turunan fungsi $ f(x) \, $ pada ketika $ x = -2 $ .
*). Menentukan nilai fungsinya :
$ f(-2) = (-2)^2 – 3.(-2) = 4 + 6 = 10 $
$ f(-2 + h) = (-2 + h)^2 – 3(-2+h) = (4 – 4h + h^2) + 6 – 3h = h^2 – 7h +10 $
*). Menentukan nilai $ f^\prime (-2) \, $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) – f(x)}{h} \\ f^\prime (-2) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(-2+ h ) – f(-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(h^2 – 7h +10) – 10}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{h^2 – 7h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } h – 7 \\ & = 0 – 7 \\ & = -7 \end{align} $
Jadi, nilai $ f^\prime (-2) = -7 \, $ untuk $ f(x) = x^2 – 3x $

Baca Juga:   Nilai Maksimum Atau Minimum Pada Soal Cerita

4). Tentukan turunan dari $ f(x) \, $ atau $ f^\prime (x) \, $ dari masing-masing fungsi berikut,
a). $ f(x) = 5x – 2 $
b). $ f(x) = x^2 + 2x $
c). $ f(x) = \sin x $
Penyelesaian :
*). Bentuk $ f^\prime (x) \, $ artinya turunan dari fungsi $ f(x) $
a). $ f(x) = 5x – 2 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) – f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(5(x+ h) – 2) – (5x-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(5x + 5h – 2) – (5x-2)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{5h}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } 5 \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = 5 $

b). $ f(x) = x^2 + 2x $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) – f(x)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [(x+ h)^2 +2(x+ h)] – (x^2 + 2x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ [x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h] – (x^2 + 2x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ h^2 + 2xh + 2h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } h + 2x + 2 \\ & = 0 + 2x + 2 \\ & = 2x + 2 \end{align} $
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = 2x + 2 $

c). $ f(x) = \sin x $
*). Ingat bentuk : $ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
Sesampai kemudian : $ f(x+h) = \sin (x + h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h $
*). Rumus : $ \cos px = 1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $
Sesampai kemudian : $ \cos h = 1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $
bentuk : $ \cos h – 1 = (1 – 2\sin ^2 \frac{1}{2} h) – 1 = – 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = – 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) – f(x) }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \cos x \sin h – \sin x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \sin x ) – \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h – 1 ) + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h – 1 ) }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h – 1 ) }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ – 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) + \cos x . 1 \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) + \cos x \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. (0 ) + \cos x \\ & = 0 + \cos x \\ & = \cos x \end{align} $
Untuk limit trigonometri, baca pada artikel “penyelesaian limit trigonometri“, dan untuk materi jumlah sudut pada trigonometri silahkan baca pada artikel “rumus jumlah trigonometri untuk jumlah dan selisih sudut“.
Jadi, turunannya : $ f^\prime (x) = \cos x \, $ untuk $ f(x) = \sin x $

Contoh :
5). DIketahui fungsi $ f(x) = |x| , \, $ . Tunjukkan bahwa fungsi $ f(x) \, $ tak memiliki turunan di $ x = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Turunannya :
$ \begin{align} f^\prime (a) & = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) – f(a)}{x-a} \\ f^\prime (0) & = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f( x ) – f(0)}{x-0} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{|x| – |0|}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{|x| }{x} \end{align} $
*). Cek nilai limit kiri dan limit kanannya.
Definisi fungsi mutlak (modahulus),
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , \text{ untuk } x \geq 0 \\ -x & , \text{ untuk } x < 0 \end{array} \right. $
Artinya berlaku :
untuk $ x \geq 0 , \, $ maka $ |x| = x \, $ dan $ x < 0 , \, $ maka $ |x| = -x $
*). Menentukan limit kiri dari 0 ( untuk $ x < 0 $).
berlaku $ |x| = – x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to 0^- } \frac{|x| }{x} = \displaystyle \lim_{ x \to 0^- } \frac{-x }{x} = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } -1 = -1 \end{align} $
*). Menentukan limit kanan dari 0 ( untuk $ x \geq 0 $).
berlaku $ |x| = x $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to 0^+ } \frac{|x| }{x} = \displaystyle \lim_{ x \to 0^+ } \frac{x }{x} = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } 1 = 1 \end{align} $
Karena nilai limit kiri dan limit kanannya tak sama, maka nilai limit $ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{|x| }{x} \, $ tak ada. Karena nilai limitnya tak ada, maka turunan fungsi $ f^\prime (0) \, $ tak ada.
Makara terbukti fungsi $ f(x) \, $ tak memiliki turunan di $ x = 0 \, $ untuk fungsi $ f(x) = |x| $ .

Syarat fungsi kontinu yang ada kaitannya dengan turunan fungsi
       Jika fungsi $ f(x) \, $ memiliki turunan di $ x = a \, $ , maka fungsi $ f(x) \, $ kontinu di $ x = a $ .

Pembuktian :
*). Proses turunannya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to a } [ f( x ) – f(a) ] & = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) – f(a)}{x-a} . (x-a) \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to a } \frac{f( x ) – f(a)}{x-a} . \, \displaystyle \lim_{ x \to a } (x-a) \\ & = f^\prime (a) . \, \displaystyle \lim_{ x \to a } (x-a) \\ & = f^\prime (a) . \, (a-a) \\ & = f^\prime (a) . \, 0 \\ \displaystyle \lim_{ x \to a } [ f( x ) – f(a) ] & = 0 \\ \displaystyle \lim_{ x \to a } f( x ) – \displaystyle \lim_{ x \to a } f(a) & = 0 \\ \displaystyle \lim_{ x \to a } f( x ) & = \displaystyle \lim_{ x \to a } f(a) \\ \displaystyle \lim_{ x \to a } f( x ) & = f(a) \end{align} $
Sesuai dengan syarat kekontinuan fungsi yaitu $ \displaystyle \lim_{ x \to a } f( x ) = f(a) \, $ , maka fungsi $ f(x) \, $ kontinu di $ x = a $ . Silahkan baca materi syarat kekontinuan pada artikel “Penerapan Limit pada Kekontinuan Fungsi“.

Catatan: Untuk memilih turunan suatu fungsi, kita tak perlu memakai definisi turunan menyerupai di atas, alasannya yakni akan rumit dan sulit. Kita akan pribadi memakai turunan masi-masing menyerupai turunan fungsi aljabar, fungsi trigonometri, dan turunan fungsi lainnya.