Deret Geometri Tak Hingga

Posted on

         Pondok Soal.com Deret Geometri Tak Hingga merupakan deret yang penjumlahannya hingga suku ke tak hingga kemudian. Jumlah deretnya mengikuti deret geometri. Silahkan baca artikel “Barisan dan deret Geometri“. Sebelumnya juga kita telah membahas perihal barisan dan deret aritmetika, bagi yang ingin mempelajarinya silahkan baca artikel “Barisan dan Deret Aritmetika“. Berikut penterangan perihal deret geometri tak hingga kemudian.

Rumus jumlah tak hingga kemudian deret geometri
       Misalkan ada deret $ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + …. \, $ yang dijumlahkan hingga tak hingga kemudian yang disimbolkan dengan $ s_\infty $. Hasil jumlah tak hingga kemudiannya ($s_\infty$) tergantng dari nilai rasionya ($r$).
a). Jika $ r > 1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = + \infty $
b). Jika $ -1 < r < 1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
c). Jika $ r < -1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = – \infty $

Secara umum nilai jumlah tak hingga kemudian deret geometri dengan rasio $ -1 < r < 1 \, $ merupakan        $ s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} $

Pada penjumlahan deret geometri tak hingga kemudian, ada dua istilah yaitu :
1). Konvergen (deret konvergen) syaratnya $ -1 < r < 1 , \, $ artinya jumlah hingga tak hingga kemudiannya menawarkan hasil angka tertentu (hasilnya bukan $ +\infty \, $ atau $ – \infty $)
2). Divergen (deret divergen) syaratnya $ r < -1 \, $ atau $ r > 1 , \, $ artinya jumlah hingga tak hingga kemudiannya menawarkan hasil $ +\infty \, $ atau $ – \infty $

Contoh :
1). Tentukan hasil penjumlahan dari deret geometri tak hingga kemudian berikut :
a). $ 2 + 4 + 8 + 16 + ….. $
b). $ 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ….. $
c). $ 3 + (-6) + 12 + (-24) + ….. $
Penyelesaian :
a). Rasio deretnya : $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{4}{2} = 2 $
Karena nilai rasionya = 2 ($r>1$), maka deret ini termasuk divergen dan akhirnya $ + \infty $
Jadi, nilai $ 2 + 4 + 8 + 16 + ….. = \infty $
b). Rasio deretnya : $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{1}{2} $
Karena nilai rasionya = $ \frac{1}{2} $ ($-1 < r < 1$), maka deret ini termasuk konvergen
Hasilnya : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{2}{1-\frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 $
Jadi, nilai $ 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ….. = 4 $
c). Rasio deretnya : $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{-6}{3} = -2 $
Karena nilai rasionya = -2 ($r < – 1$), maka deret ini termasuk divergen dan akhirnya $ – \infty $
Jadi, nilai $ 3 + (-6) + 12 + (-24) + ….. = – \infty $

2). Diketahui jumlah tak hingga kemudian suatu deret geometri merupakan 6 dan suku pertamanya 2, tentukan nilai rasionya?
Penyelesaian :
Diketahui : $ a = 2, \, $ dan $ s_\infty = 6 $
*). Menentukan nilai rasionya ($r$)
$ \begin{align} s_\infty & = 6 \\ \frac{a}{1-r} & = 6 \\ \frac{2}{1-r} & = 6 \\ 1 – r & = \frac{2}{6} \\ 1-r & = \frac{1}{3} \\ r & = 1 – \frac{1}{3} \\ r & = \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, nilai rasionya merupakan $ r = \frac{2}{3} $

Baca Juga:   Beda Gres Bila Suku Aritmatika Ditambah Atau Dikali Suatu Bilangan

3). Jika suku pertama deret geometri tak hingga kemudian merupakan $ a \, $ dan jumlahnya 4, maka nilai $ a \, $ yang memenuhi merupakan … ?
Penyelesaian :
*). Karena jumlah taksampai kemudiannya merupakan 4 ($s_\infty = 4$) , artinya akhirnya bukan $ + \infty \, $ atau $ – \infty \, $ , maka deret ini termasuk deret konvergen dengan syarat $ -1 < r < 1 $
*). Menentukan kekerabatan suku pertama ($ a $) dan $ r \, $ dari jumlah tak hingga kemudiannya.
$ \begin{align} s_\infty & = 4 \\ \frac{a}{1-r} & = 4 \\ 1-r & = \frac{a}{4} \\ r & = 1 – \frac{a}{4} \end{align} $
*). Substitusikan bentuk $ r = 1 – \frac{a}{4} \, $ ke syarat konvergen :
$ \begin{align} -1 < & r < 1 \\ -1 < 1 – & \frac{a}{4} < 1 \, \, \, \, \text{(jumlahkan -1)} \\ -1 + (-1) < 1 – & \frac{a}{4} + (-1) < 1 +(-1) \\ -2 < – & \frac{a}{4} < 0 \, \, \, \, \text{(kalikan -4, tanda dibalik)} \\ -2 \times (-4) < – & \frac{a}{4} \times (-4) < 0 \times (-4) \\ 8 > & a > 0 \\ 0 < & a < 8 \end{align} $
Catatan : apabila pertaksamaan dikalikan negatif, maka tanda ketaksamaan harus dibalik.
Jadi, semoga deretnya konvergen, nilai $ a \, $ yang memenuhi merupakan $ 0 < a < 8 $

Deret geometri taksampai kemudian suku-suku genap dan suku-suku ganjil
       Misalkan ada deret geomeri tak hingga kemudian $ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 …. \, $
Deret tersebut sanggup dibagi menjadi dua bab yaitu suku-suku bernomor genap dan ganjil
$ \begin{align} s_\infty & = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6 …. \\ s_\infty & = (u_1 + u_3 + u_5+… ) + (u_2 + u_4 + u_6 ….) \\ s_\infty & = s_{\infty \text{ ganjil}} + s_{\infty \text{ genap}} \end{align} $
Artinya jumlah taksampai kemudian merupakan penjumlahan jumlah taksampai kemudian nomor ganjil dengan jumlah taksampai kemudian nomor genap.

Rumus taksampai kemudian nomor ganjil dan nomor genap.
$ \begin{align} s_{\infty \text{ ganjil}} & = u_1 + u_3 + u_5+… \\ & = a + ar^2 + ar^3 +… \\ & \left( \text{rasio} = \frac{ar^2}{a} = r^2 \right) \\ & \left( \text{suku pertama} = a \right) \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} \\ s_{\infty \text{ ganjil}} & = \frac{a}{1 – r^2} \end{align} $
Sesampai kemudian rumus jumlah taksampai kemudian nomor ganjil : $ s_{\infty \text{ ganjil}} = \frac{a}{1 – r^2} $
$ \begin{align} s_{\infty \text{ genap}} & = u_2 + u_4 + u_6+… \\ & = ar + ar^3 + ar^5 +… \\ & \text{rasio} = \frac{ar^3}{ar} = r^2 \\ & \text{suku pertama} = ar \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} \\ s_{\infty \text{ genap}} & = \frac{ar}{1 – r^2} \end{align} $
Sesampai kemudian rumus jumlah taksampai kemudian nomor genap : $ s_{\infty \text{ genap}} = \frac{ar}{1 – r^2} $

Menentukan rasio dari jumlah taksampai kemudian nomor ganjil dan genap.
$ \begin{align} \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = \frac{\frac{ar}{1 – r^2}}{\frac{a}{1 – r^2}} \\ & = \frac{\frac{ar}{1 – r^2}}{\frac{a}{1 – r^2}} \\ & = \frac{ar}{1 – r^2} . \frac{1-r^2}{a} \\ & = \frac{ar(1-r^2)}{a(1 – r^2)} \\ \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = r \end{align} $
Artinya untuk memilih rasionya, cukup gunakan $ r = \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} $

Baca Juga:   Menentukan Suku Tengah Barisan Aritmatika Dengan Jumlah Suku Ganjil

Contoh :
Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga kemudian merupakan 6, lagikan jumlah suku-sukunya yang bernomor genap merupakan 2, maka tentukan suku pertama deret tersebut ?
Penyelesaian :
Diketahui : $ s_\infty = 6 \, $ dan $ s_{\infty \text{ genap}} = 2 $
*). Menentukan nilai jumlah suku bernomor ganjil ($s_{\infty \text{ ganjil}}$) dan $ r $
$ \begin{align} s_\infty & = s_{\infty \text{ ganjil}} + s_{\infty \text{ genap}} \\ 6 & = s_{\infty \text{ ganjil}} + 2 \\ s_{\infty \text{ ganjil}} & = 6 – 2 = 4 \\ r & = \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} \\ r & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai suku pertama ($a$)
untuk memilih nilai $ a \, $ sanggup memakai $ s_\infty \, $ atau $ s_{\infty \text{ ganjil}} \, $ atau $ s_{\infty \text{ genap}} $
$ \begin{align} s_\infty & = 6 \\ \frac{a}{1-r} & = 6 \\ a & = 6(1-r) \\ a & = 6(1-\frac{1}{2}) \\ a & = 6(\frac{1}{2}) \\ a & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai suku pertamanya merupakan $ a = 3 $

Penerapan jumlah taksampai kemudian deret geometri pada benda yang dijatuhkan/dilempar
       Kejadian pelemparan benda yang dimaksud biasanya bola yang dijatuhkan atau bola dilempar ke atas. Berikut penterangan dua perkara yang dimaksud :

Bola dilempar ke atas
       Misalkan bola dilempar ke atas, terbentuklah lintasan yang dilalui oleh bola tersebut menyerupai gambar berikut :

keterangan :
$ a = \, $ ketianggian awal yang dicapai oleh bola
$ r = \, $ rasio ketinggian sehabis terjadi pantulan dari ketinggian sebelumnya.
Dari lintasan yang dilalui oleh bola, ada bab yang naik dan ada bab yang turun. Masing-masing bab naik total panjang lintasannya merupakan $ s_\infty \, $ dan bab yang turun juga panjang lintasannya $ s_\infty $. Sesampai kemudian total panjang lintasan (PL) yang dilalui oleh bola merupakan :
$ \begin{align} \text{total panjang lintasan} & = \text{Lintasan naik } + \text{ lintasan turun} \\ PL & = s_\infty + s_\infty \\ PL & = 2s\infty \\ PL & = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) \\ PL & = \frac{2a}{1-r} \end{align} $

Bola dijatuhkan dari ketinggian awal $ a $
       Lintasan yang terbentuk dikala bola dijatuhkan hampir sama dengan lintasan yang terbentuk dikala bola dilempar ke atas. Hanya saja satu lintasan awal (lintasan naik awal) tak dihitung alasannya yakni bola eksklusif dijatukan. Berikut gambar lintasannya :

Dari gambar bola dijatuhkan, terlihat bahwa lintasannya sama dengan bola dilempar ke atas, hanya saja satu lintasan naik ($a$) tak dihitung. Sesampai kemudian total panjang lintasannya merupakan :
$ PL = 2s_\infty – a $
$ PL = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) – a $

Baca Juga:   Pengertian, Ciri-Ciri Dan Rumus Umum Barisan Aritmatika

Panjang Lintasan sehabis pantulan ke-$k$
       Untuk perkara panjang lintasan sehabis pantulan ke-$k \, $ baik bola dijatuhkan atau dilempar ke atas akhirnya akan selalu sama.

Dari gambar terlihat bahwa sehabis pantulan ke-1 maka suku pertamanya merupakan suku ke-2 ($u_2$), sehabis pantulan ke-2 maka suku pertamanya merupakan suku ke-3 ($u_3$), sehabis pantulan ke-3 maka suku pertamanya merupakan suku ke-4 ($u_4$), dan seterusnya hingga sehabis pantulan ke-$k\,$ maka suku pertamanya merupakan suku ke-$k+1\,$ ($u_{k+1}$)
Dapat disusun rumus panjang lintasannya dengan $ u_n = ar^{n-1} $ :
Panjang lintasan sehabis pantulan ke-1 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} = 2. \frac{u_2}{1 – r} = 2. \frac{ar}{1 – r} $
Panjang lintasan sehabis pantulan ke-2 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} = 2. \frac{u_3}{1 – r} = 2. \frac{ar^2}{1 – r} $
Panjang lintasan sehabis pantulan ke-3 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} = 2. \frac{u_4}{1 – r} = 2. \frac{ar^3}{1 – r} $
dan seterusnya …..
Panjang lintasan sehabis pantulan ke-$k$ :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 – \text{ rasio}} = 2. \frac{u_{k+1}}{1 – r} = 2. \frac{ar^k}{1 – r} $
Makara sanggup diperumum, panjang lintasan kalau bola dijatuhkan atau dilempar ke atas sehabis pantulan ke-$k \, $ merupakan
                     $ PL = 2 \times \frac{ar^k}{1 – r} $

Contoh :
1). Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 4 m dan memantul kembali menjadi $ \frac{2}{3} \, $ tinggi sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola tersebut hingga berhenti?
Penyelesaian:
Diketahui : $ a = 4 \, $ dan $ r = \frac{2}{3} $
Panjang lintasannya :
$ \begin{align} PL & = 2s_\infty – a \\ & = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) – a \\ & = 2\left( \frac{4}{1-\frac{2}{3}} \right) – 4 \\ & = 2\left( \frac{4}{\frac{1}{3}} \right) – 4 \\ & = 2\left( 4 . 3 \right) – 4 \\ & = 2\left( 12 \right) – 4 \\ & = 24 – 4 = 20 \end{align} $
Jadi, panjang lintasan hingga berhenti merupakan 20 m.

2). Sebuah bola dilempar ke atas sesampai kemudian mencapai ketinggian 5 m dan memantul kembali menjadi $ \frac{4}{5} \, $ tinggi sebelumnya. Tentukan panjang lintasan sehabis pantulan ke-3 samapi berhenti?
Penyelesaian :
Diketahui : $ a = 5 \, $ dan $ r = \frac{4}{5} $
Panjang lintasan sehabis pantulan ke-3 ($k = 3$)
$ \begin{align} PL & = 2 \times \frac{ar^k}{1 – r} \\ & = 2 \times \frac{5\left( \frac{4}{5} \right)^3}{1 – \frac{4}{5} } \\ & = 2 \times \frac{5\left( \frac{64}{125} \right)}{ \frac{1}{5} } \\ & = 2 \times 5 \times \frac{64}{125} \times \frac{5}{1} \\ & = \frac{128}{5} \end{align} $
Jadi, panjang lintasan sehabis pantulan ke-3 hingga berhenti merupakan $ \frac{128}{5} \, $ m.