Determinan Dan Invers Matriks

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel sebelumnya kita telah mempelajari perihal pengenalan matriks dan operasi hitung pada matriks. Kali ini kita akan membahas perihal determinan dan invers suatu matriks. Determinan matriks merepresentasikan suatu bilangan tunggal. Determinan diperoleh dengan mengalikan dan menjumlahkan elemen-elemen matriks dengan cara yang khusus.

         Determinan dan Invers suatu matriks sangat mempunyai kegunaan dalam penerapan matriks. Salah satunya untuk menuntaskan sistem persamaan linear yang sanggup kita selesaikan baik memakai metode determinan atau metode invers. Metode matriks ini kita pilih lantaran secara komputasi akan gampang diterapkan, hal ini terjadi lantaran perhitungan determinan dan invers berlaku secara sistematis dan pasti.

Determinan Matriks

         Suatu Matriks mempunyai determinan apabila dan hanya apabila matriks tersebut merupakan matriks persegi. Untuk lebih terangnya seputar matriks persegi, anda sanggup baca bahan “jenis – jenis matriks” . Determinan matriks A sanggup ditulis det(A) atau |A|.

Determinan matriks $ 2 \times 2 $
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
det(A) = |A| = $ a \times d – b\times c $
Determinan matriks $ 3 \times 3 \, $ cara Sarrus
Untuk memilih determinan matriks $ 3 \times 3 \, $ sanggup memakai cara Sarrus adalah dua kolom pertama dipindahkan ke sebelah kanan matriksnya
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right) $
determinan matriks A merupakan :

 Catatan : Metode Sarrus hanya sanggup dipakai untuk matriks $ 3 \times 3 \, $ saja. Untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar, sanggup mengggunakan Metode Kofaktor . Metode kofaktor ini sanggup dipakai untuk memilih determinan semua ukuran matriks persegi.

Contoh :
Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut :
$ A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right) \, $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & -3 & 4 \end{matrix} \right) $
Penyelesaian :
*). determinan matriks A ,
$ |A| = 2 .5 – 1.4 = 10 – 4 = 6 $
*). determinan matriks B ,

Determinan matriks memakai Metode Kofaktor

         Metode kofaktor merupakan metode umum yang sanggup dipakai untuk memilih determinan dan invers suatu matriks. Sebelum memilih kofaktornya, kita harus memilih sub matriksnya atau minornya terlebih dahulu.

Pengertian Minor suatu matriks
Minor suatu matriks A dilambangkan dengan $ M_{ij} \, $ merupakan matriks bab dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-$i \, $ dan elemen-elemen pada kolom ke-$j$.

Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right) $
Adapun Minor matriks A pada baris satu :

 $ M_{11}, \, M_{12} , \, $ dan $ M_{13} \, $ merupakan submatriks (minor) hasil perluasan baris ke-1 dari matriks A.

Pengertian kofaktor suatu matriks
Kofaktor suatu elemen baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ dari matriks A dilambangkan dengan $ k_{ij} = (-1)^{(i+j)} \times |M_{ij}| $ . Bentuk $|M_{ij}| $ menyatakan determinan dari minor $ M_{ij} $ . Untuk memilih nilai determinan matriks A dengan metode kofaktor cukup mengambil satu perluasan saja, misalkan perluasan baris ke-1.

Determinan matriks A menurut perluasan baris ke-1
Baca Juga:   Pengenalan Matriks

$ |A| = a_{11}. k_{11} + a_{12}.k_{12} + a_{13}.k_{13} $
$ |A| = a_{11}.(-1)^{(1+1)} . |M_{11}| + a_{12}.(-1)^{(1+2)} . |M_{12}| + a_{13}.(-1)^{(1+3)} . |M_{13}| $
$ |A| = a_{11}.(-1)^{(1+1)} . \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{12}.(-1)^{(1+2)} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13}.(-1)^{(1+3)} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $
$ |A| = a_{11}.(-1)^{2} . \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{12}.(-1)^{3} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13}.(-1)^{4} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $
$ |A| = a_{11}.1. \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{12}.(-1) . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13}.1 . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $
$ |A| = a_{11}. \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| – a_{12}. \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $

Catatan : memilih determinan dengan metode kofaktor sanggup menggukanan sembarang ekspansi, misalkan perluasan baris ke-1, atau baris ke-2, atau baris ke-3, atau sanggup juga memakai perluasan kolom ke-1, atau kolom ke-2 atau kolom ke-3.

Contoh : Tentukan determinan matriks $ B = \left( \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & -3 & 4 \end{matrix} \right) $
Penyelesaian : metode kofaktor menurut perluasan baris ke-1
*). Menentukan minor baris ke-1

*). Menentukan kofaktor perluasan baris ke-1
$ k_{11} = (-1)^{(1+1)}. |M_{11}| = (-1)^2. 12 = 12 $
$ k_{12} = (-1)^{(1+2)}. |M_{12}| = (-1)^3. (-4) = (-1).(-4) = 4 $
$ k_{13} = (-1)^{(1+3)}. |M_{13}| = (-1)^4. (-3) = -3 $
*). Menentukan determinan perluasan baris ke-1
$\begin{align} |B| & = b_{11}.k_{11} + b_{12}.k_{12} + b_{13}.k_{13} \\ & = 2.12 + 1.4 + 3.(-3) \\ & = 24 + 4 + (-9) \\ & = 19 \end{align} $
Makara determinan matriks B merupakan 19.

Invers Matriks

         Invers suatu matriks dilambangkan $ A^{-1} \, $ , $ A^{-1} \, $ melambangkan invers dari matriks A. Secara umum hanya matriks persegi yang mempunyai invers. Berikut penterangannya perihal invers.

Invers matriks $ 2 \times 2 $
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
det(A) = |A| = $ a \times d – b\times c $
invers matriks A merupakan $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $

Contoh :
Tentukan invers dari matriks $ A = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) $ ?
Penyelesaian :
*). Determinan matriks A : $ |A| = 3.1 – 2.2 = 3 – 4 = -1 $
*). Invers matriks A :
$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) = \frac{1}{-1} \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) = -1 \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{matrix} \right) $
Jadi, invers matriks A merupakan $ A ^{-1} = \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{matrix} \right) $

Invers matriks $ 3 \times 3 \, $ dengan metode kofaktor
Secara umum, invers suatu matriks misalkan matriks A merupakan
                  $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} . adj(A) $
$adj(A) \, $ artinya adjoin dari matriks A yang diperoleh dengan cara mentranspose matriks kofaktor.
Misalkan matriks kofaktornya : $ K = \left( \begin{matrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \\ k_{21} & k_{22} & k_{23} \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} \end{matrix} \right) $
dengan $ k_{ij} = (-1)^{(i+j)} \times |M_{ij}| $
maka adjoin matriks A merupakan $ adj(A) = K^t $ .
Menentukan invers semacam ini disebut memakai metode kofaktor.

Catatan :
Rumus invers matriks A merupakan $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} . adj(A) $ , dari rumus ini diperoleh :
*). Jika $ |A| = 0 \, $ (determinan = 0) , maka matriks tak punya invers (disebut matriks singular)
*). Jika $ |A| \neq 0 \, $ (determinan $ \neq $ 0) , maka matriks punya invers (disebut matriks non singular)

Baca Juga:   Pengenalan Matriks

Contoh :
Tentukan invers dari matriks $ A = \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan determinan matriks A

*). Menentukan Minor matriks A

*). Menentukan matriks kofaktornya : $ k_{ij} = (-1)^{(i+j)} \times |M_{ij}| $
$ k_{11} = (-1)^{(1+1)} . |M_{11}| = (-1)^2 . (-1) = -1 $
$ k_{12} = (-1)^{(1+2)} . |M_{12}| = (-1)^3 . (-1) = 1 $
$ k_{13} = (-1)^{(1+3)} . |M_{13}| = (-1)^4 . (-6) = -6 $
$ k_{21} = (-1)^{(2+1)} . |M_{21}| = (-1)^3 . (1) = -1 $
$ k_{22} = (-1)^{(2+2)} . |M_{22}| = (-1)^4 . (-8) = -8 $
$ k_{23} = (-1)^{(2+3)} . |M_{23}| = (-1)^5 . (-12) = 12 $
$ k_{31} = (-1)^{(3+1)} . |M_{31}| = (-1)^4 . (-2) = -2 $
$ k_{32} = (-1)^{(3+2)} . |M_{32}| = (-1)^5 . (-2) = 2 $
$ k_{33} = (-1)^{(3+3)} . |M_{33}| = (-1)^6 . (-3) = -3 $
Sesampai lalu matriks kofaktornya :
$ K = \left( \begin{matrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \\ k_{21} & k_{22} & k_{23} \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 1 & -6 \\ -1 & -8 & 12 \\ -2 & 2 & -3 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan adjoin matriks A
$ adj(A) = K^t = \left( \begin{matrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & -8 & 2 \\ -6 & 12 & -3 \end{matrix} \right) $
*). invers matriks A
$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} . adj(A) = \frac{1}{-9} \left( \begin{matrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & -8 & 2 \\ -6 & 12 & -3 \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \left( \begin{matrix} \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} \\ \frac{-1}{9} & \frac{8}{9} & \frac{-2}{9} \\ \frac{6}{9} & \frac{-12}{9} & \frac{3}{9} \end{matrix} \right) $

         Setelah kita memahami perihal determinan dan invers suatu matriks persegi, selanjutnya kita harus menguasai bahan yang tak kalah pentingnya lagi adalah perihal sifat-sifat determinan dan invers. Silahkan baca materinya dengan klik “Sifat- sifat Determinan dan Invers Matriks“.

         Untuk memilih invers suatu matriks, sanggup memakai “Operasi Baris Elementer (OBE)“. Determinan dan invers suatu matriks sanggup dipakai untuk menuntaskan suatu sistem persamaan linear. Untuk penterangannya, sanggup anda baca pada artikel “Penerapan matriks pada SPL” .