Dilatasi Pada Transformasi Geometri

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari materi “translasi pada transformasi geometri“, pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan salah satu jenis dari transformasi geometri yaitu Dilatasi pada Transformasi Geometri. Dilatasi merupakan sebuah transformasi geometri yang mengubah ukuran benda namun bentuk benda tetap. Beberapa contoh dari dilatasi yaitu : sebuah miniatur kendaraan beroda empat dimana ukurannya lebih kecil dari ukuran kendaraan beroda empat sebenarnya, sebuah pencetakan foto yang diperbesar dari klisenya (layar kamera), dan lain-lainnya.

         Proses perubahan ukuran benda dari kecil menjadi lebih besar (diperbesar) atau sebaliknya yaitu dari besar menjadi lebih kecil (diperkecil) inilah yang disebut dengan dilatasi. Dilatasi pada transformasi geometri menimbulkan ukuran benda berubah, Faktor yang menimbulkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangkit ini disebut faktor dilatasi atau faktor skala atau faktor pengali. Faktor skala ini biasanya disimbolkan dengan $ k $.

         Perbesaran atau pengecilan suatu bangkit oleh dilatasi membutuhkan suatu titik pola yangg biasa kita sebut sebagai titik pusat. Artinya ada pola terperinci bagi kita sesampai lalu sanggup diperoleh ukuran yang lebih besar atau lebih kecil. Titik sentra tersebut kita simbolkan sebagai titik $ P(a,b)$. Titik sentra pada dilatasi dibagi menjadi dua yaitu titik sentra $ P(0,0) $ dan titik sentra bukan $ (0,0) $ yaitu $ P(a,b)$.

  gambar perubahan bangkit menurut faktor skala $ k $.

Sifat-sifat Dilatasi pada transformasi geometri
       Dilatasi menimbulkan ukuran suatu bangkit berubah kecuali untuk faktor skala $ k = 1 $ yang ukuran bendanya tetap. Perhatikan gambar di atas, perubahan ukuran bangkit dipengaruhi oleh besarnya faktor skala $ k $ yang terbagi menjadi sedikit kepingan yaitu :

i). Jika $ k > 1 $ maka bangkit akan diperbesar dan terletak searah terhadap sentra dilatasi dengan bangkit semula, terlihat ibarat gambar warna hijau.
ii). Jika $ k = 1 $ maka bangkit tak mengalami perubahan ukuran dan letak, terlihat ibarat gambar warna biru (gambar awal/aslinya).
iii). Jika $ 0 < k < 1 $ maka bangkit akan diperkecil dan terletak searah terhadap sentra dilatasi dengan bangkit semula, terlihat ibarat gambar warna kuning.
iv). Jika $ -1 < k < 0 $ maka bangkit akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap sentra dilatasi dengan bangkit semula, terlihat ibarat gambar warna abu-abu.
v). Jika $ k = -1 $ maka bangkit tak mengalami perubahan ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap sentra dilatasi dengan bangkit semula, terlihat ibarat gambar warna merah.
vi). Jika k < – 1 maka bangkit akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap sentra dilatasi dengan bangkit semula, terlihat ibarat gambar warna oranye.

Simbol Penulisan Dilatasi
       Terkadang pada soal-soal tak tertuliskan kata-kata dilatasi tenamun memakai simbolnya, apabila kita mengerti simbolnya maka akan sulit bagi kita untuk menjawab soal tersebut yang padahal kita mengerti cara pengerjaannya. Berikut simbol yang mewakili dilatasi yaitu :
1). Simbol D[O,$k$]
       artinya dilatasi dengan sentra (0,0) dan faktor skala $ k $.
2). Simbol D[P($a,b),k$]
       artinya dilatasi dengan sentra ($a,b$) dan faktor skala $ k $.

Contoh Soal Dilatasi :
1). Tuliskan simbol dilatasinya dari pernyataan berikut ini dan tentukan jenis perubahan ukurannya :
a). Suatu dilatasi dengan sentra (0,0) dan faktor skala 2.
b). Suatu dilatasi dengan sentra ($-2,3$) dan faltor skala $ -\frac{2}{3} $

Penyelesaian :
a). Simbolnya yaitu : D[O,$k$] = D[O,2].
Bangun mengalami perbesaran dan searah alasannya yakni $ k = 2 $.

Baca Juga:   Transformasi Geometri Luas Bangkit Datar

b). Simbolnya yaitu : D[P($a,b),k$] = D[P($-2,3), -\frac{2}{3}$].
Bangun mengalami pengecilan dan berlawanan arah alasannya yakni $ k = -\frac{2}{3} $.

2). Tuliskan arti dari simbol dilatasi berikut ini.
a). D[O,$-3$] ,
b). D[P(2,1), 5].

Penyelesaian :
a). D[O,$-3$] ,
artinya suatu dilatasi dengan sentra (0,0) dan fakator skala $ – 3 $.

b). D[P(2,1), 5].
artinya suatu dilatasi dengan sentra (2,1) dan faktor skala 5.

Cara Penghitungan Dilatasi
       Setiap jenis transformasi geometri proses penghitungannya sanggup diubah dalam bentuk matriks transformasi geometri. Dilatasi dengan faktor skala $ k $ terdapat matriks transformasi yaitu $ M = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) $. Untuk penghitungannya kita bagi menjadi dua menurut titik pusatnya :
i). Titik sentra (0,0) :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

ii). Titik sentra P($a,b$) :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime – a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

Catatan :
Cara penghitungan ini sesuai dengan rumus umum transformasi geometri yaitu :
bayangan = Matriks transformasi $ \times $ awal.

Contoh Soal :
3). Tentukan bayangan masing-masing titik berikut ini :
a). Titik A(2,3) didilatasi dengan titik sentra merupakan sentra koordinat dan faktor skala $ -2$.
b). Titik B($-1,1$) didilatasi dengan faktor skala 3 dan terhadap titik ($-2,5$).
c). Titik C(1,5) oleh D[O,7].
d). Titik D($4, – 1$) oleh D[P(1,2),3].

Penyelesaian :
a). Titik A(2,3) didilatasi dengan titik sentra merupakan sentra koordinat dan faktor skala $ -2$.
*). Faktor skala $ – 2 $ artinya $ k = -2 $, Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan banyangan titik A(2,3) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 \\ -6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A merupakan $ A^\prime (-4,-6) . \, \heartsuit $.

b). Titik B($-1,1$) didilatasi dengan faktor skala 3 dan terhadap titik ($-2,5$).
*). Faktor skala $ 3 $ artinya $ k = 3 $, Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) $
dan titik pusatnya : $ (a,b) = (-2,5) $.
*). Menentukan banyangan titik B($-1,1$) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 – (-2) \\ 1 – 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ -12 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B merupakan $ B^\prime (1,-7) . \, \heartsuit $.

c). Titik C(1,5) oleh D[O,7].
*). Faktor skala $ 7 $ artinya $ k = 7 $, Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right) $
dan titik pusatnya merupakan (0,0).
*). Menentukan banyangan titik C(1,5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 7 \\ 35 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik C merupakan $ C^\prime (7,35) . \, \heartsuit $.

Baca Juga:   Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang

d). Titik D($4, – 1$) oleh D[P(1,2),3].

*). Faktor skala $ 3 $ artinya $ k = 3 $, Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) $
dan titik pusatnya : $ (a,b) = (1,2) $.
*). Menentukan banyangan titik D($4, – 1$) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4-1 \\ -1-2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 9 \\ -9 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 10 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik D merupakan $ D^\prime (10,-7) . \, \heartsuit $.

4). Tentukan bayangan persamaan $ 4x + 3y – 5 = 0 $ oleh dilatasi dengan faktor skala 2 dan sentra (0,0)!

Penyelesaian :
*). Untuk memilih persamaan bayangannya, kita ubah bentuk awal ($x,y$) menjadi bayangannya ($x^\prime , y^\prime $).
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2x \\ 2y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = 2x \rightarrow x = \frac{1}{2} x^\prime $
$ y^\prime = 2y \rightarrow y = \frac{1}{2} y^\prime $
*). Substitusikan bentuk $ x = \frac{1}{2} x^\prime $ dan $ y = \frac{1}{2} y^\prime $ ke persamaan awal :
$ \begin{align} 4x + 3y – 5 & = 0 \\ 4. (\frac{1}{2} x^\prime ) + 3.(\frac{1}{2} y^\prime ) – 5 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 4x^\prime + 3 y^\prime – 10 & = 0 \end{align} $
sesampai lalu bayangannya $ 4x^\prime + 3 y^\prime – 10 = 0 $ atau $ 4x + 3y – 10 = 0 $.
Jadi, persamaan bayangannya merupakan $ 4x + 3y – 10 = 0 . \, \heartsuit $.

5). Sebuah bulat $ (x-3)^2 + (y+2)^2 = 16 $ didilatasi oleh D[P(1,4),$\frac{1}{2}$]. Tentukan persamaan bayangannya dan luas bayangan dari lingkarannya?

Penyelesaian :
*). Faktor skalanya $ k = \frac{1}{2} $ dan titik pusatnya $ (a,b) = (1,4) $
*). Menentukan hubungan ($x,y$) dan ($x^\prime , y^\prime $) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime – a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime – 1 \\ y^\prime – 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x – 1 \\ y – 4 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime – 1 \\ y^\prime – 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}(x – 1) \\ \frac{1}{2}(y – 4) \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime – 1 = \frac{1}{2}(x – 1) \rightarrow x – 1 = 2(x^\prime -1) \rightarrow x = 2x^\prime -1 $
$ y^\prime – 4 = \frac{1}{2}(y – 4) \rightarrow y – 4 = 2(y^\prime -4) \rightarrow y = 2y^\prime – 4 $
*). Kita substitusi ke persamaan awalnya :
$ \begin{align} (x-3)^2 + (y+2)^2 & = 16 \\ ( 2x^\prime -1 -3)^2 + ( 2y^\prime – 4+2)^2 & = 16 \\ ( 2x^\prime -4)^2 + ( 2y^\prime – 2)^2 & = 16 \\ [2(x^\prime -2)]^2 + [ 2(y^\prime – 1)]^2 & = 16 \\ 4(x^\prime -2)^2 + 4(y^\prime – 1)^2 & = 16 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ (x^\prime -2)^2 + (y^\prime – 1)^2 & = 4 \end{align} $
Sesampai lalu persamaan bayangan lingkarannya merupakan $ (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 $.
jari-jarinya : $ r^2 = 4 \rightarrow r = 2 $.
*). Menentukan luas bayangannya :
Luas $ = \pi r^2 = \pi . 2^2 = 4\pi \, $ satuan luas.
Jadi, luas bayangannya merupakan $ 4 \pi $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

Baca Juga:   Transformasi Geometri Secara Umum

Cara II untuk soal nomor 5.
*). Persamaan bulat awal :
$ (x-3)^2 + (y+2)^2 = 16 \rightarrow r^2 = 16 \rightarrow r = 4 $.
Luas awal $ = \pi r^2 = \pi . 4^2 = 16\pi $
*). Menentukan luas bayangannya :
$ \begin{align} \text{Luas bayangan } & = det{M} \times \text{ luas awal} \\ & = \left| \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right| \times 16\pi \\ & = \left( \frac{1}{2} . \frac{1}{2} – 0.0 \right) \times 16\pi \\ & = \frac{1}{4} \times 16\pi \\ & = 4\pi \end{align} $
Jadi, luas bayangannya merupakan $ 4 \pi $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

6). Suatu persamaan parabola terdapat bayangan $ y = 2x^2 – 3x + 1 $ oleh dilatasi dengan faktor skala 2 dan titik sentra (0,5). Tentukan persamaan awal dari persamaan parabola tersebut!.

Penyelesaian :
*). Faktor skala $ k = 2 $ dan titik sentra $(a,b) = (0,5) $.
persamaan bayangannya : $ y = 2x^2 – 3x + 1 \, $ atau $ y^\prime = 2{x^\prime}^2 – 3x^\prime + 1 $
ditanyakan persamaan awalnya?
*). Hubungan titik awal ($x,y$) dan bayangannya ($x^\prime , y^\prime $):
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x – 0 \\ y – 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2x \\ 2y – 10 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2x \\ 2y – 5 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x^\prime = 2x \, $ dan $ y^\prime = 2y – 5 $
*). Substitusikan bentuk $ x^\prime = 2x \, $ dan $ y^\prime = 2y – 5 $ ke persamaan bayagannya sesampai lalu kita peroleh persamaan awal.
$ \begin{align} y^\prime & = 2{x^\prime}^2 – 3x^\prime + 1 \\ 2y – 5 & = 2(2x)^2 – 3(2x) + 1 \\ 2y – 5 & = 8x^2 – 6x + 1 \\ 2y & = 8x^2 – 6x + 1 + 5 \\ 2y & = 8x^2 – 6x + 6 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ y & = 4x^2 – 3x + 3 \end{align} $
Jadi, persamaan awal fungsi parabola tersebut merupakan $ y = 4x^2 – 3x + 3 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Dilatasi pada Transformasi Geometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan “rotasi pada transformasi geometri“.