Fungsi Invers

Posted on

         Pondok Soal.comFungsi Invers merupakan suatu fungsi kebalikan dari fungsi awal. Untuk mempelajari bahan ini, kita harus menguasai bahan Relasi, Fungsi, dan Fungsi Komposisi. Berikut penterangan perihal fungsi invers.

         Materi Fungsi Invers merupakan salah satu bahan wajib yang mana soal-soalnya selalu ada untuk ujian nasional dan tes seleksi masuk sekolah tinggi tinggi. Penting bagi kita untuk menguasainya, lantaran akan membantu kita dalam kelulusan nantinya. Untuk soal-soal fungsi invers sebetulnya terdapat sedikit trik khusus dalam menjawabnya terutama untuk soal-soal setingkat seleksi masuk sekolah tinggi tinggi ibarat SBMPTN. Silahkan teman-teman pelajari kumpulan soal-soal fungsi komposisi dan invers untuk lebih mendalami bahan fungsi invers ini.

Penterangan dan Definisi Fungsi Invers

         Berdasarkan Gambar di atas , kita peroleh sedikit hal atau gosip ialah :
*). Pertama,
       fungsi $f$ memetakan $x \in A$ ke $y \in B$. Jika fungsi $f$ dinyatakan ke dalam bentuk pasangan berurutan, maka sanggup ditulis sebagai berikut. $f = \{(x, y) | x \in A \text{ dan } y \in B\}$. Pasangan berurut $(x , y)$ merupakan unsur dari fungsi $f$.
*). Kedua,
       invers fungsi $f$ atau $f^{-1} $ memetakan $y \in B$ ke $x \in A$. Jika invers fungsi $f$ dinyatakan ke dalam pasangan berurutan, maka sanggup ditulis $f^{-1} = \{(y , x) | y \in B \text{ dan } x \in A\}$. Pasangan berurut $(y, x)$ merupakan unsur dari invers fungsi $f$.

Definisi Fungsi invers
       Jika fungsi $f$ memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan berurutan $f = \{(x, y) | x \in A \text{ dan } y \in B\}$, maka invers fungsi $f$ (dilambangkan $f^{-1}$) merupakan korelasi yang memetakan B ke A, dalam pasangan berurutan dinyatakan dengan $f^{-1} = \{(y, x) | y \in B \text{ dan } x \in A\}$.

Dapat ditulis: apabila $ y = f(x) , \, $ maka inversnya $ x = f^{-1}(y) $

Cara memilih fungsi invers dari fungsi awalnya
       Suatu fungsi $f$ akan memiliki invers, ialah $f^{-1}$ apabila dan hanya apabila fungsi $f$ bijektif atau dalam korespondensi satu-satu. Misalkan, $f$ merupakan fungsi dari A ke B, maka $f^{-1}$ merupakan fungsi invers $f$ apabila berlaku $(f^{-1} \circ f)(x) = x $ dan $ (f \circ f^{-1})(x) = x$. Perhatikanlah gambar di bawah ini.

Langkah-langkah memilih fungsi invers:
1. Buatlah permisalan $f(x) = y$ pada persamaan.
2. Selesaikan persamaan sesampai kemudian diperoleh $x$ sebagai fungsi $y$ atau $x = f^{-1}(y)$.
3. Ganti variabel $y$ dengan $x$ pada $f^{-1}(y)$ sesampai kemudian diperoleh $f^{-1}(x) = y$ sebagai fungsi invers dari $y = f(x)$.

Contoh
1). Jika diketahui $ f(x) = 2x + 3 , \, $ tentukan inversnya dan nilai $ f^{-1}(1) $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ f(x) = y \, $ dan rubahlah kedalam bentuk $ x = f^{-1}(y) $
$ \begin{align} f(x) & = y \\ 2x + 3 & = y \\ 2x & = y – 3 \\ x & = \frac{y-3}{2} \\ \text{berdasarkan } x & = f^{-1}(y) \\ \text{diperoleh } f^{-1}(y) & = \frac{y-3}{2} \end{align} $
Gantilah variabel $ y $ dengan $ x $, artinya $ f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} $
Jadi, invers dari fungsi $ f(x) = 2x + 3 , \, $ merupakan $ f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(1) $
$ f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} \rightarrow f^{-1}(1) = \frac{1-3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $
Jadi, diperoleh nilai $ f^{-1}(1) = -1 $

Baca Juga:   Daerah Asal Dan Tempat Hasil Komposisi Fungsi

2). Diketahui fungsi $ g(x) = \frac{3x-1}{2x+5} \, $ , tentukanlah inversnya.!
Penyelesaian :
Misalkan $ g(x) = y \, $ dan rubahlah kedalam bentuk $ x = g^{-1}(y) $
$ \begin{align} g(x) & = \frac{3x-1}{2x+5} \\ y & = \frac{3x-1}{2x+5} \\ y(2x+5) & = 3x -1 \\ 2xy + 5y & = 3x – 1 \\ 2xy – 3x & = -5y – 1 \\ x(2y – 3) & = -5y – 1 \\ x & = \frac{-5y – 1}{2y – 3} \\ \text{berdasarkan } x & = f^{-1}(y) \\ \text{diperoleh } f^{-1}(y) & = \frac{-5y – 1}{2y – 3} \end{align} $
Gantilah variabel $ y $ dengan $ x $, artinya $ f^{-1}(x) = \frac{-5x – 1}{2x – 3} $
Jadi, invers dari fungsi $ f(x) = \frac{3x-1}{2x+5} , \, $ merupakan $ f^{-1}(x) = \frac{-5x – 1}{2x – 3} $
Cara II : $ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1}(x) = \frac{dx – b}{-cx + a } $
$ g(x) = \frac{3x-1}{2x+5} \rightarrow g^{-1}(x) = \frac{5x+1}{-2x+3} $
$ g^{-1}(x) = \frac{5x+1}{-2x+3} \times \frac{-1}{-1} = \frac{-5x-1}{2x-3} $
Jadi, invers dari fungsi $ f(x) = \frac{3x-1}{2x+5} , \, $ merupakan $ f^{-1}(x) = \frac{-5x – 1}{2x – 3} $

3). Diketahui $ f(x) = 5x – 3 . \, $ Jika $ f^{-1}(a) = 2 , \, $ maka nilai $ a + 5 = …. $
Penyelesaian :
Menentukan inversnya
$\begin{align} f(x) & = 5x – 3 \\ y & = 5x – 3 \\ 5x & = y + 3 \\ x & = \frac{y+3}{5} \\ f^{-1}(x) & = \frac{x+3}{5} \\ f^{-1}(a) & = \frac{a+3}{5} \end{align} $
Menenukan nilai $ a $
$ \begin{align} f^{-1}(a) & = 2 \\ \frac{a+3}{5} & = 2 \\ a+3 & = 10 \\ a & = 7 \end{align} $
Sesampai kemudian nilai $ a + 5 = 7 + 5 = 12 $

4). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x + 1 . \, $ Apakah fungsi $ g(x) = \frac{x-1}{2} \, $ merupakan invers dari fungsi $ f(x) $?
Penyelesaian :
*). Dua fungsi dikatakan salaing invers apabila dikomposisikan menghasilkan fungsi identitas ($I(x) = x$).
*). Agar fungsi $ g(x) \, $ merupakan invers dari fungsi $ f(x) \, $ , maka harus terpenuhi $ (f \circ g)(x) = x \, $ atau $ (g \circ f)(x) = x . \, $ Cukup cek salah satu saja.
*). cek fungsi komposisinya :
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f\left( \frac{x-1}{2} \right) \\ & = 2\left( \frac{x-1}{2} \right) + 1 \\ & = (x-1) + 1 \\ & = x \end{align} $
Karena diperoleh $ (f \circ g)(x) = x, \, $ maka terbukti bahwa fungsi $ g(x) \, $ merupakan invers dari fungsi $ f(x) $

Sifat-sifat Fungsi invers
       Beberapa sifat fungsi invers :
1). $ (f^{-1}(x))^{-1} = f(x) $ ,
(fungsi invers di invers lagi, maka akibatnya kembali ke awal)
2). $ (f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f )(x) = I(x) = x $
(fungsi awal di invers dengan dirinya sendiri atau kebalikannya menghasilkan fungsi identitas ialah $ I(x) = x $

Penterangan definisi invers :
Definisi : $ y = f(x) \rightarrow f^{-1}(y) = x $, artinya dikala fungsinya ($f$) pindah ruas (dari kanan ke kiri atau dari kiri ke kanan), maka fungsi tersebut diberikan invers. misalkan :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1}(B) $
$ A = f^{-1}(B) \rightarrow (f^{-1})^{-1} (A) = B \rightarrow f(A) = B $

Contoh
1). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x – 1 $
a). Tentukan $ f^{-1}(x) $
b). Tentukan $ (f^{-1}(x))^{-1} $
c). Tentukan $ (f \circ f^{-1})(x) $
d). Tentukan $ (f^{-1} \circ f)(x) $
Penyelesaian :
a). Menentukan $ f^{-1}(x) $
$\begin{align} f(x) & = 2x – 1 \\ y & = 2x – 1 \\ 2x & = y + 1 \\ x & = \frac{y+1}{2} \\ f^{-1}(y) & = \frac{y+1}{2} \end{align} $
sesampai kemudian inversnya : $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} $
b). Menentukan invers dari $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} $
$\begin{align} f^{-1}(x) & = \frac{x+1}{2} \\ y & = \frac{x+1}{2} \\ 2y & = x + 1 \\ x & = 2y – 1 \\ f^{-1}(y) & = 2y -1 \end{align} $
invers dari $ f^{-1} (x) $ merupakan $ (f^{-1}(x))^{-1} = 2x -1 , \, $ yang sama dengan $ (f^{-1}(x))^{-1} = f(x) , \, $ ini sesuai dengan sifat invers.
c). Menentukan $ (f \circ f^{-1})(x) $
$ \begin{align} (f \circ f^{-1})(x) & = f(f^{-1}(x)) \\ & = f(\frac{x+1}{2}) \\ & = 2\left( \frac{x+1}{2} \right) – 1 \\ & = (x+1) – 1 \\ & = x \end{align} $
Diperoleh : $ (f \circ f^{-1})(x) = x $
d). Menentukan $ (f^{-1} \circ f)(x) $
$\begin{align} (f^{-1} \circ f)(x) & = f^{-1}(f(x)) \\ & = f^{-1}(2x-1) \\ & = \frac{(2x-1)+1}{2} \\ & = \frac{2x}{2} \\ & = x \end{align} $
Diperoleh : $ (f^{-1} \circ f)(x) = x $
Dari hasil c) dan d) terlihat bahwa $ (f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = x, \, $ yang sesuai dengan sifat invers.

Baca Juga:   Kumpulan Rumus Cepat Komposisi Fungsi Dilengkapi Contoh

2). Diketahui fungsi $ f(x-2) = 3x + 5 $. Jika $ f^{-1}(a) = -1 , \, $ maka tentukan nilai $ a^2 -4 $ !
Penyelesaian :
Cara I : Menentukan inversnya terlebih dahulu
Misalkan $ p = x -2 \rightarrow x = p+2 , \, $ substitusi ke fungsinya
$ \begin{align} f(x-2) & = 3x + 5 \\ f(p) & = 3(p+2) + 5 \\ f(p) & = 3p + 11 \end{align} $
sesampai kemudian, $ f(x) = 3x + 11 $
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} f(x) & = 3x + 11 \\ y & = 3x + 11 \\ 3x & = y – 11 \\ x & = \frac{y – 11}{3} \end{align} $
sesampai kemudian inversnya : $ f^{-1}(x) = \frac{x – 11}{3} $
*). Menentukan nilai $ a $
$ \begin{align} f^{-1}(x) & = \frac{x – 11}{3} \\ f^{-1}(a) & = -1 \\ \frac{a – 11}{3} & = -1 \\ a – 11 & = -3 \\ a & = 11 – 3 = 8 \end{align} $
diperoleh nilai $ a = 8 $,
sesampai kemudian nilai $ a^2 – 4 = 8^2 – 4 = 64 – 4 = 60 $
Jadi, nilai $ a^2 – 4 = 60 $

Cara II : Tanpa mencari inversnya.
*). Gunakan definisi invers : $ A = f(B) \rightarrow f^{-1}(A) = B $
$ f(x-2) = 3x + 5 \rightarrow x-2 = f^{-1}(3x+5) \, $ atau $ f^{-1}(3x+5) = x-2 $
*). Menyamakan bentuk yang diketahui dan yang ditanya.
$ \begin{align} f^{-1}(3x+5) & = x-2 \\ f^{-1}(a) & = -1 \end{align} $
Ruas kanan sama dengan ruas kanan dan ruas kiri sama juga dengan ruas kiri
Diperoleh : $ x – 2 = -1 \, $ dan $ a = 3x + 5 $
$ x – 2 = -1 \rightarrow x = 1 $
Substitusi nilai $ x = 1 \, $ ke persamaan kedua
$ x = 1 \rightarrow a = 3x + 5 = 3.1 + 5 = 8 $
sesampai kemudian nilai $ a^2 – 4 = 8^2 – 4 = 64 – 4 = 60 $
Jadi, nilai $ a^2 – 4 = 60 $

3). Diketahui fungsi invers $ f^{-1}\left( \frac{3}{x-1} \right) = \frac{x^2 – 8}{2- x } . \, $ Jika $ f(a) = -3, \, $ maka tentukan nilai $ a + 1 \, $ !
Penyelesaian : Tanpa mencari invernya,
Definisi : $ A = f(B) \rightarrow f^{-1}(A) = B $
sesampai kemudian $ f(a) = -3 \rightarrow a = f^{-1}(-3) \, $ atau $ f{-1}(-3) = a $
Menyamakan bentuknya :
$ \begin{align} f^{-1}\left( \frac{3}{x-1} \right) & = \frac{x^2 – 8}{2- x } \\ f^{-1}(-3) & = a \end{align} $
Diperoleh kesamaan : $ \frac{3}{x-1} = -3 \, $ dan $ a = \frac{x^2 – 8}{2- x } $
$ \frac{3}{x-1} = -3 \rightarrow x – 1 = -1 \rightarrow x = 0 $
Substitusi nilai $ x = 0 \, $ ke persamaan kedua,
$ a = \frac{x^2 – 8}{2- x } = \frac{0^2 – 8}{2- 0 } = \frac{ – 8}{2 } = -4 $
diperoleh nilai $ a = -4 $
Sesampai kemudian nilai $ a + 1 = -4 + 1 = -3 $
Jadi, nilai $ a + 1 = -3 $
Catatan : yang diubah memakai definisi invers boleh fungsi yang diketahui atau fungsi yang ditanyakan ibarat soal nomor 2 dan nomor 3.

Contoh
1). Diketahui fungsi $ f(x) = 3x + 5 \, $ dan $ g(x) = x -1 $. Tentukanlah $ (g \circ f)^{-1}(x) $
Penyelesaian :
*). Menentukan fungsi komposisinya
$ \begin{align} (g \circ f)(x) & = g(f(x)) \\ & = g(3x + 5) \\ & = (3x + 5) – 1 \\ & = 3x + 4 \end{align} $
*). Menentukan inversnya
misalkan $ y = (g \circ f)(x) $
$ \begin{align} (g \circ f)(x) & = 3x + 4 \\ y & = 3x + 4 \\ 3x & = y – 4 \\ x & = \frac{y-4}{3} \\ f^{-1}(y) & = \frac{y-4}{3} \end{align} $
Jadi, inversnya $ (g \circ f)^{-1}(x) = \frac{x-4}{3} $

2). Diketahui fungsi $ f^{-1}(x) = 2 – x \, $ dan $ g^{-1}(x) = \frac{x}{x-1} . \, $ Tentukan $ (f \circ g)^{-1}(x) $ !
Penyelesaian :
*). Kita pribadi memakai sifat invers fungsi komposisi
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1}(x) & = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) \\ & = g^{-1}(f^{-1}(x)) \\ & = g^{-1}(2-x) \\ & = \frac{(2-x)}{(2-x)-1} \\ & = \frac{2-x}{1-x} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ (f \circ g)^{-1}(x) = \frac{2-x}{1-x} $

Menggambar Grafik Fungsi Invers dan Grafik Fungsi Asalnya
       Grafik fungsi invers ($f^{-1}(x)$) diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi awal ($f(x)$) terhadap garis $ y = x $ , begitu juga sebaliknya, untuk mencari grafik fungsi asalnya ($f(x)$) diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi invers ($f^{-1}(x)$) terhadap garis $ y = x $

Contoh
Diketahui fungsi $ f(x) = 2x-1 , \, $ gambarlah grafik $ f(x) \, $ dan $ f^{-1}(x) $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan invers fungsi
$ \begin{align} f(x) & = 2x-1 \\ y & = 2x-1 \\ 2x & = y + 1 \\ x & = \frac{y+1}{2} \end{align} $
Sesampai kemudian, inversnya $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} $

*). Dari grafik di atas, garis warna biru merupakan grafik fungsi $ f(x) = 2x-1 , \, $ garis warna hijau merupakan grafik fungsi $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} \, $ dan garis warna merah merupakan grafik garis $ y = x $
*). Dari grafik di atas, terlihat bahwa grafik $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} \, $ (warna hijau) merupakan pencerminan dari grafik $ f(x) = 2x-1 \, $ (warna biru) terhadap garis $ y = x \, $ (warna merah).

       Demikian penterangan perihal fungsi invers, agar sanggup bermanfaat. Materi Relasi, Fungsi, Fungsi komposisi, dan Fungsi invers semuanya saling terkait, jadi sebaiknya kita pelajari semuanya.