Fungsi Komposisi

Posted on

         Pondok Soal.comFungsi Komposisi merupakan penggabungan dua fungsi atau lebih. Sebelum mempelajari bahan fungsi komposisi ini, kita harus menguasai dahulu perihal fungsi, silahkan baca pada artikel “Relasi” dan “Fungsi“. Yang kita pelajari kali ini yaitu mengomposisikan dua fungsi atau lebih dan memilih komponen fungsi yang belum diketahui serta sifat-sifat fungsi komposisi.

Deskripsi dan Definisi Fungsi Komposisi

         Jika diketahui $ A = \{a_1, a_2, a_3\}, B = \{b_1, b_2, b_3, b_4\}$, dan $C = \{c1, c2, c3\}$, maka fungsi $f : A \rightarrow B $ dan $ g : B \rightarrow C $ didefinisikan menyerupai diagram berikut.

         Dari kedua diagram di atas, sanggup diperoleh fungsi yang memetakan pribadi dari A ke C sebagai berikut.

         Jika fungsi yang pribadi memetakan A ke C itu dianggap fungsi tunggal, maka diagramnya merupakan sebagai berikut.

         Fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi komposisi dan dilambangkan dengan $g \circ f $ dibaca “fungsi $g$ bundaran $f$”. $g \circ f$ merupakan fungsi komposisi dengan $f$ dikerjakan lebih dahulu daripada $g$.

Definisi Fungsi Komposisi
       Diketahui, $f$ dan $g$ dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi $f$ dan $g$ ditulis $g \circ f$, didefinisikan sebagai $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ dengan $f$ dikerjakan lebih dahulu daripada $g$.
Ilustrasi diagram panah untuk fungsi komposisi $ (g \circ f )(x) $ :

       Sementara untuk fungsi komposisi $g$ dan $f$ ditulis $f \circ g$, didefinisikan sebagai $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ dengan $g$ dikerjakan lebih dahulu daripada $f$.
Ilustrasi diagram panah untuk fungsi komposisi $ (f \circ g )(x) $ :

Syarat Fungsi Komposisi
       Syarat yang harus dipenuhi biar fungsi $f$ dan fungsi $g$ sanggup dikomposisikan menjadi fungsi komposisi $(g \circ f)$ merupakan irisan antara tempat hasil fungsi $f$ dan tempat asal fungsi $g$ bukan himpunan kosong, atau $R_f \cap D_g \neq \emptyset $.
Daerah Asal Fungsi Komposisi
*). Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ (g \circ f)(x) \, $ , tempat asalnya ($D_{g \circ f}$) merupakan $ D_{g \circ f} = \{ x | x \in D_f , \, f(x) \in D_g \} $

*). Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ (f \circ g)(x) \, $ , tempat asalnya ($D_{f \circ g}$) merupakan $ D_{f \circ g} = \{ x | x \in D_g , \, g(x) \in D_f \} $
Keterangan :
$ D_f = \, $ tempat asal fungsi $ f $
$ D_g = \, $ tempat asal fungsi $ g $

Untuk teladan memilih tempat asal dan tempat hasil fungsi komposisi, silahkan baca artikelnya pada “Daerah asal dan tempat hasil komposisi fungsi“.

Contoh:
1). Fungsi $ f $ dan $ g $ dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan berikut.
$ f = \{ (a,b),(c,d),(e,f),(g,h),(i,j)\} $
$ g = \{ (b,-1),(f,a),(h,5), (1,i), (j,c) \} $
Nyatakan fungsi-fungsi komposisi berikut dalam pasangan berurutan.!
a). $ (g \circ f)(x) \, \, \, $ b). $ (f \circ g(x) $
Penyelesaian :
*). Fungsi $ f $ : $ f(a) = b, \, f(c) = d, \, f(e)=f , \, f(g)=h, \, f(i)=j $
Domain fungsi $ f $ : $ D_f = \{ a,c,e,g,i \} $
*). Fungsi $ g $ : $ g(b)=-1, \, g(f)=a, \, g(h)=5, \, g(1)=i, \, g(j)=c $
Domain fungsi $ g $ : $ D_g = \{ b,f,h,1,j \} $
*). Menentukan fungsi komposisinya
a). $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
Kerjakan fungsi $ f $ dahulu dengan memasukkan domain fungsi $ f $ :
$ x = a \rightarrow (g \circ f)(a) = g(f(a)) = g(b) = -1 , \, $ artinya $ (g \circ f)(a) = -1 $
$ x = c \rightarrow (g \circ f)(c) = g(f(c)) = g(d) = – , \, $ artinya $ (g \circ f)(c) = – $
(tak ada pasangannya)
$ x = e \rightarrow (g \circ f)(e) = g(f(e)) = g(f) = a , \, $ artinya $ (g \circ f)(e) = a $
$ x = g \rightarrow (g \circ f)(g) = g(f(g)) = g(h) = 5 , \, $ artinya $ (g \circ f)(g) = 5 $
$ x = i \rightarrow (g \circ f)(i) = g(f(i)) = g(j) = c , \, $ artinya $ (g \circ f)(i) = c $
Sesampai kemudian diperoleh $ g \circ f = \{(a,-1),(e,a),(g,5),(i,c) \} $
b). $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
Kerjakan fungsi $ g $ dahulu dengan memasukkan domain fungsi $ g $ :
$ x = b \rightarrow (f \circ g)(a) = f(g(b)) = f(-1) = – , \, $ artinya $ (f \circ g)(b) = – $
(tak ada pasangannya)
$ x = f \rightarrow (f \circ g)(f) = f(g(f)) = f(a) = b , \, $ artinya $ (f \circ g)(f) = b $
$ x = h \rightarrow (f \circ g)(h) = f(g(h)) = f(5) = – , \, $ artinya $ (f \circ g)(h) = – $
(tak ada pasangannya)
$ x = 1 \rightarrow (f \circ g)(1) = f(g(1)) = f(i) = j , \, $ artinya $ (f \circ g)(1) = j $
$ x = j \rightarrow (f \circ g)(j) = f(g(j)) = f(c) = d , \, $ artinya $ (f \circ g)(j) = d $
diperoleh $ f \circ g = \{(f,b),(1,j),(j,d) \} $

Baca Juga:   Fungsi Invers

2). Diketahui fungsi $f: R\rightarrow R $ dengan $ f(x) = x^2 + 2 $ dan fungsi $g: R \rightarrow R $ dengan $ g(x) = \sqrt{1-x} $.
a). Apakah fungsi komposisi $(g \circ f )(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ terdefinisi?
b). Tentukan fungsi komposisi $(g \circ f )(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ !
Penyelesaian :
*). Menentukan Domain dan Range fungsi $ f $ dan fungsi $ g $ :
Fungsi $ f(x) = x^2 + 2 \rightarrow D_f = \{x | x \in R \} \, $ dan $ R_f = \{y|y \geq 2 \} $
Fungsi $ g(x) = \sqrt{1-x} \rightarrow D_g = \{x | x \leq 1 \} \, $ dan $ R_g = \{y|y \geq 0 \} $
a). Untuk memilih apakah fungsi komposisi $(g \circ f )(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ terdefinisi, diketahui berdasarkan:
*). Jika $R_f \cap D_g \neq \emptyset $ maka $(g \circ f)(x)$ terdefinisi.
$ R_f \cap D_g = \{y|y \geq 2 \} \cap \{x | x \leq 1 \} = \emptyset $
Karena $R_f \cap D_g = \emptyset $ maka $(g \circ f)(x)$ tak terdefinisi, artinya fungsi komposisi $(g \circ f)(x)$ tak sanggup dicari hasilnya.
*). Jika $R_g \cap D_f \neq \emptyset $ maka $(f \circ g)(x)$ terdefinisi.
$ R_g \cap D_f = \{y|y \geq 0 \} \cap \{x | x \in R \} = \{x | x \geq 0, \, x \in R \} \neq \emptyset $
Karena $R_g \cap D_f \neq \emptyset $ maka $(f \circ g)(x)$ terdefinisi, artinya fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ sanggup dicari hasilnya.
b). Menentukan fungsi komposisi $(g \circ f )(x)$ dan $(f \circ g)(x)$
*). Menentukan $ (g \circ f )(x)$
$\begin{align} (g \circ f )(x) & = g(f(x)) \\ & = g(x^2 + 2) \\ & = \sqrt{1-(x^2 + 2)} \\ & = \sqrt{-(x^2+1)} \end{align} $
Karena jadinya merupakan bilangan real (R), maka bentuk $ (g \circ f )(x) = \sqrt{-(x^2+1)} \, $ tak terdefinisi (dalam akar selalu negatif, padahal pada bilangan real tak ada akar negatif). Ini artinya fungsi komposisi $ (g \circ f )(x) \, $ tak ada hasilnya, dan ini sesuai dengan pernyataan a) di atas yaitu bentuk $ (g \circ f )(x) \, $ tak terdefinisi.
*). Menentukan $ (f \circ g )(x)$
$\begin{align} (f \circ g )(x) & = f(g(x)) \\ & = f(\sqrt{1-x} ) \\ & = (\sqrt{1-x} )^2 + 2 \\ & = (1-x) + 2 \\ & = 3-x \end{align} $
Sesampai kemudian diperoleh, $ (f \circ g )(x) = 3-x $

3). Diketahui fungsi $ f(x) = 5x^2 – 3 \, $ dan $ g(x) = 2x + 1 $, tentukan nilai $ (f \circ g)(-1) $ ?
Penyelesaian :
Ada dua cara menuntaskan soal yaitu dengan mencari fungsi komposisinya atau dengan pribadi menghitung nilai komposisinya.
*). Cara I : memilih fungsi komposisinya
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f(2x+1) \\ & = 5(2x+1)^2 – 3 \\ & = 5(4x^2 + 4x + 1) – 3 \\ & = 20x^2 + 20x + 5 – 3 \\ (f \circ g)(x) & = 20x^2 + 20x + 2 \end{align} $
Sesampai kemudian nilai $ (f \circ g)(-1) $
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = 20x^2 + 20x + 2 \\ (f \circ g)(-1) & = 20(-1)^2 + 20(-1) + 2 \\ & = 20.1 -20 + 2 \\ & = 2 \end{align} $
*). Cara II : Langsung substitusi nilai $ x = -1 $
$\begin{align} (f \circ g)(-1) & = f(g(-1)) \\ & = f(2.(-1) + 1) \\ & = f(-1) \\ & = 5(-1)^2 – 3 \\ & = 5 – 3 \\ & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ (f \circ g)(-1) = 2 $ .

Baca Juga:   Kumpulan Rumus Cepat Komposisi Fungsi Dilengkapi Contoh

4). Diketahui fungsi $ f(x) = 3x -1 $ dan $ g(x) = 2 – x $. Jika $ (f \circ g)(a) = -1 $ , maka nilai $ a^2 + 2 = …. $
Penyelesaian :
Disini kita tak perlu mencari bentuk komposisinya dahulu, namun pribadi kita substitusi nilai $ x = a $ untuk memilih nilai $ a $ .
$\begin{align} (f \circ g)(a) & = -1 \\ f(g(a)) & = -1 \\ f(2-a) & = -1 \\ 3(2-a) – 1 & = -1 \\ 6 – 3a – 1 & = -1 \\ 5 – 3a & = -1 \\ 3a & = 6 \\ a & = 2 \end{align} $
sesampai kemudian nilai $ a^2 + 2 = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6 $

Sifat-sifat operasi fungsi komposisi
       Bila $f, g$, dan $h$ suatu fungsi, maka:
a. tak berlaku sifat komutatif, yaitu $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$;
b. apabila $I$ fungsi identitas ($I(x) = x$) berlaku :
$(I \circ f)(x) = (f \circ I)(x) = f(x)$;
c. berlaku sifat asosiatif, yaitu : $(f \circ (g \circ h))(x) = ((f \circ g) \circ h)(x)$.

teladan :
1). Diketahui $f(x) = 2x – 5, g(x) = x^2 +x – 3$.
a. Tentukan $(g \circ f)(x)$.
b. Tentukan $(f \circ g)(x)$. c. Apakah berlaku sifat komutatif: $g \circ f = f \circ g$?
Penyelesaian :
$\begin{align} \text{a. } \, (g\circ f)(x) & = g(f(x)) \\ & = g(2x – 5) \\ & = (2x – 5)^2 + (2x – 5) – 3 \\ & = (4x^2 -20x + 25 ) + (2x – 5) – 3 \\ & = (4x^2 -20x + 25 ) + (2x – 5) – 3 \\ & = 4x^2 – 18x + 17 \\ \\ \text{b. } \, (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f(x^2 +x – 3) \\ & = 2(x^2 +x – 3) – 5 \\ & = 2x^2 + 2x – 6 – 5 \\ & = 2x^2 + 2x – 11 \end{align} $
c. Tidak berlaku sifat komutatif alasannya yakni $ (g\circ f)(x) \neq (f \circ g)(x) $ .

2). Diketahui $f(x) = 3x – 7 $ dan $I(x) = x$.
Buktikan $I \circ f = f \circ I = f. $
Pembuktian :
$ \begin{align} (I \circ f)(c) & = I(f(x)) \\ & = I(3x – 7) \\ & = 3x – 7 \\ \\ (f \circ I)(x) & = f(I(x)) \\ & = f(x) \\ & = 3x – 7 \end{align} $
Tampak bahwa $I \circ f = f \circ I = f $ (terbukti).

3). Diketahui $f(x) = x^2, \, g(x) = x + 2$, dan $h(x) = 3x$.
a. Tentukan $(f \circ (g \circ h))(x)$.
b. Tentukan $((f \circ g) \circ h)(x)$.
c. Apakah $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ , mengapa?
Penyelesaian :
a. $ (f \circ (g \circ h))(x) = … $
$ \begin{align} \text{Misalkan } \, p(x) & = (g \circ h)(x) \\ & = g(h(x)) \\ & = g(3x) \\ & = 3x + 2 \end{align} $
Soalnya menjadi :
$ \begin{align} (f \circ (g \circ h))(x) & = (f \circ (g \circ h)(x)) \\ & = (f \circ p)(x) \\ & = f(p(x)) \\ & = f(3x + 2) \\ & = (3x+2)^2 \\ & = 9x^2 + 12x + 4 \end{align} $
b. $ ((f \circ g) \circ h)(x) = … $
$ \begin{align} \text{Misalkan } \, q(x) & = (f \circ g)(x) \\ & = f(g(x)) \\ & = f(x+2) \\ & = (x+2)^2 \\ & = x^2 + 4x + 4 \end{align} $
Soalnya menjadi :
$ \begin{align} ((f \circ g) \circ h)(x) & = (q \circ h)(x) \\ & = q(h(x)) \\ & = q(3x) \\ & = (3x)^2 + 4(3x) + 4 \\ & = 9x^2 + 12x + 4 \end{align} $
c. Ya, benar berlaku $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ , alasannya yakni bersifat asosiatif.

Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi
Menentukan fungsi $ f $ atau fungsi $ g $ dari fungsi komposisinya
       Jika diketahui fungsi komposisinya $ (g \circ f)(x) \, $ atau $ (f \circ g)(x) \, $ dan diketaui salah satu fungsinya sanggup fungsi $ f $ atau fungsi $ g $, maka kita diminta memilih fungsi yang belum diketahui.

Baca Juga:   Menentukan Fungsi Invers Dari Grafiknya

Cara Umumnya :
*). yang ditanyakan bab kanan
       Misal diketahui fungsi $ f $ dan fungsi komposisi $ (f \circ g)(x) $ , kita diminta memilih fungsi $ g $. Caranya, pribadi substitusi bentuk $ g(x) $ ke fungsi $ f $, maksudnya semua variabel $ x $ pada fungsi $ f $ dimenggantikan dengan $ g(x) $.
*). yang ditanyakan bab kiri
       Misal diketahui fungsi $ f $ dan fungsi komposisi $ (g \circ f)(x) $ , kita diminta memilih fungsi $ g $. Caranya, substitusi bentuk fungsi $ f(x) $ ke komposisinya, kemudian misalkan biar menjadi satu variabel.

1). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x – 3 \, $ dan $ (f \circ g)(x) = 4x^2 – 6x + 5 $. Tentukan fungsi $ g(x) $!
Penyelesaian :
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = 4x^2 – 6x + 5 \\ f(g(x)) & = 4x^2 – 6x + 5 \\ 2[g(x)] – 3 & = 4x^2 – 6x + 5 \\ 2[g(x)] & = 4x^2 – 6x + 5 + 3 \\ 2[g(x)] & = 4x^2 – 6x + 8 \\ g(x) & = \frac{4x^2 – 6x + 8}{2} \\ g(x) & = 2x^2 – 3x + 4 \end{align} $
Jadi, diperoleh fungsi $ g(x) = 2x^2 – 3x + 4 $

2). Diketahui fungsi $ g(x) = 3x + 2 \, $ dan $ (f \circ g)(x) = x^2 +x – 3 $. Tentukan fungsi $ f(x) $ nya !
Penyelesaian :
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = x^2 +x – 3 \\ f(g(x)) & = x^2 +x – 3 \\ f(3x+2) & = x^2 +x – 3 \\ \text{misal } p & = 3x+2 \rightarrow x = \frac{p-2}{3} \\ \text{substitusikan } p & = 3x+2 \\ f(3x+2) & = x^2 +x – 3 \\ f(p) & = \left( \frac{p-2}{3} \right)^2 + \left( \frac{p-2}{3} \right) – 3 \\ f(p) & = \frac{p^2-4p + 4}{9} + \frac{p-2}{3} – 3 \\ f(p) & = \frac{p^2-4p + 4}{9} + \frac{3(p-2)}{9} – \frac{27}{9} \\ f(p) & = \frac{p^2-4p + 4}{9} + \frac{3p-6}{9} – \frac{27}{9} \\ f(p) & = \frac{(p^2-4p + 4) + (3p-6) + 27 }{9} \\ f(p) & = \frac{p^2 – p + 25 }{9} \end{align} $
Sesampai kemudian diperoleh : $ f(p) = \frac{p^2 – p + 25 }{9} \rightarrow f(x) = \frac{x^2 – x + 25 }{9} $
Jadi, diperoleh fungsi $ f(x) = \frac{x^2 – x + 25 }{9} $