Fungsi Logaritma

Posted on
         Pondok Soal.comFungsi Logaritma merupakan suatu fungsi yang memuat bentuk logaritma. Selain sanggup memilih nilai fungsi logaritmanya, juga sanggup menggambar grafik fungsi logaritmanya. Terkadang juga ada soal yang melibatkan nilai maksimum atau nilai minimum suatu bentuk fungsi logaritma.

         Fungsi Logaritma bentuk $ f(x) = {}^a \, \log g(x) \, $ terdapat karakteristik salah satunya menurut nilai basisnya $ (a) $, ialah naik atau turunnya bentuk grafik fungsi kuadratnya. Fungsi logaritma yang dipelajari pada artikel ini merupakan fungsi kuadrat yang bentuknya simpel saja khususnya yang akan digambar grafiknya. Namun fungsi kuadrat yang ada kaitannya dengan nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat tersebut, fungsi yang kita bahas lebih kompleks lagi. Bentuk numerus pada fungsi logarimta juga sanggup dikaitkan dengan bentuk fungsi kuadrat, sesampai lalu kita harus mengingat kembali nilai maksimum dan minimum fungsi kuadrat.

Adapun bentuk umum fungsi logaritma simpel :
                                    $ f(x) = {}^a \log x $
dengan $ a > 0 , \, a \neq 1, \, $ dan $ x > 0 \, $ serta $ x \, $ merupakan variabel bebasnya.

Grafik fungsi logaritma

         Bentuk grafik fungsi logaritma $ f(x) = {}^a \log x \, $ bergantung dari nilai basisnya (bilangan pokok). Jika $ a > 1 , \, $ maka grafiknya naik , dan apabila $ 0 < a < 1 , \, $ maka grafiknya turun. Untuk lebih terangnya, perhatikan grafiknya berikut.

Contoh 1.

Gambarlah grafik fungsi logaritma $ f(x) = {}^2 \log x $ ?
Penyelesaian : nilai $ a = 2 , \, $ sesampai lalu grafiknya naik

Contoh 2.

Gambarlah grafik fungsi logaritma $ f(x) = {}^\frac{1}{3} \log x $ ?
Penyelesaian : nilai $ a = \frac{1}{3} , \, $ sesampai lalu grafiknya turun

Nilai Maksimum atau Minimum fungsi logaritma

         Nilai Maksimum atau minimum fungsi logaritma $ f(x) = {}^a \log g(x) \, $ dengan $ g(x) > 0 , \, $ sanggup ditentukan menurut nilai basisnya $(a)$ :

*). Untuk $ a > 1 $
         Nilai maksimum $ f(x) \, $ diperoleh ketika nilai $ g(x) \, $ maksimum
         Nilai minimum $ f(x) \, $ diperoleh ketika nilai $ g(x) \, $ minimum
*). Untuk $ 0 < a < 1 $
         Nilai maksimum $ f(x) \, $ diperoleh ketika nilai $ g(x) \, $ minimum
         Nilai minimum $ f(x) \, $ diperoleh ketika nilai $ g(x) \, $ maksimum

         Untuk lebih terangnya, yuk kita perhatikan pola berikut ini.

Contoh 3.

Tentukan nilai minimum dari fungsi $ f(x) = {}^2 \log (x^2 – 2x + 9 ) \, $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Nilai basisnya ($ a = 2 $) lebih dari 1, sesampai lalu $ f(x) \, $ minimum ketika nilai $ g(x) = x^2 – 2x + 9 \, $ juga minimum. Karena bentuk $ g(x) = x^2 – 2x + 9 \, $ merupakan fungsi kuadrat, maka nilai minimum $ g(x) = x^2 – 2x + 9 \, $ diperoleh ketika $ x = \frac{-b}{2a} , \, $ ialah :
$ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2.1} = 1 $
artinya bentuk $ g(x) = x^2 – 2x + 9 \, $ minimum pada ketika $ x = 1 \, $ yang menjadikan nilai fungsi $ f(x) \, $ juga minimum.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai minimum fungsi logaritmanya
Substitusi nilai $ x = 1 \, $ ke $ f(x) \, $ :
$\begin{align} f(x) & = {}^2 \log (x^2 – 2x + 9 ) \\ f_\text{minimum} & = f(1) = {}^2 \log (1^2 – 2.1 + 9 ) \\ & = {}^2 \log (8) \\ & = {}^2 \log (2^3) \\ f_\text{minimum} & = 3.{}^2 \log 2 = 3.1 = 3 \end{align} $
Jadi, nilai minimum fungsi $ f(x) = {}^2 \log (x^2 – 2x + 9 ) \, $ merupakan 3 . $ \heartsuit $

Contoh 4.

Tentukan nilai maksimum dari fungsi $ f(x) = {}^\frac{1}{3} \log \left( (x+3)^2 + 1 \right) \, $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Nilai basisnya ($ a = \frac{1}{3} $) kurang dari 1, sesampai lalu $ f(x) \, $ maksimum ketika nilai $ g(x) = \left( (x+3)^2 + 1 \right) \, $ minimum. Nilai minimum dari $ g(x) = \left( (x+3)^2 + 1 \right) \, $ diperoleh ketika $ x = -3 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai maksimum fungsi logaritmanya
Substitusi nilai $ x = -3 \, $ ke $ f(x) \, $ :
$\begin{align} f(x) & = {}^\frac{1}{3} \log \left( (x+3)^2 + 1 \right) \\ f_\text{maksimum} & = f(-3) = {}^\frac{1}{3} \log \left( (-3+3)^2 + 1 \right) \\ & = {}^\frac{1}{3} \log 1 \\ f_\text{maksimum} & = 0 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = {}^\frac{1}{3} \log \left( (x+3)^2 + 1 \right) \, $ merupakan 0 . $ \heartsuit $

         Bagaimana dengan artikel fungsi kuadrat pada artikel ini? Mudah-mudahan sanggup membantu dalam mempelajari fungsi logaritma. Untuk tipe soal ujian nasional, soal yang kerap keluar yang berkaitan dengan fungsi logaritma merupakan bentuk grafiknya baik grafik fungsi aslinya atau grafik inversnya. Dengan latihan soal-soal yang kaya, niscaya teman-teman akan sanggup mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan fungsi kuadrat atau grafiknya.