Pondok Soal.com – Selain memilih “persamaan garis singgung pada kurva“, aplikasi lain turunan merupakan memilih interval fungsi naik dan fungsi turun yang akan kita pelajari pada artikel kali ini. Interval fungsi naik dan fungsi turun memakai turunan akan gampang kita pelajari apabila kita sudah memahami bahan “turunan fungsi aljabar” atau “turunan fungsi trigonometri“.
Dari grafik di atas diperoleh interval naik dan turunnya,
Interval naik : $ x_1 < x < x_2 \, $ atau $ x > x_3 $ .
Interval turun : $ x < x_1 \, $ atau $ x_2 < x < x_3 $ .
Dari garfik di atas sanggup diterangkan bahawa,
*). Fungsi naik pada interval $ a < x < b \, $ apabila terdapat $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ dengan $ x_1 < x_2 \, $ pada interval $ a < x < b \, $ , maka berlaku $ f(x_1) < f(x_2) $ .
*). Fungsi turun pada interval $ a < x < b \, $ apabila terdapat $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ dengan $ x_1 > x_2 \, $ pada interval $ a < x < b \, $ , maka berlaku $ f(x_1) > f(x_2) $ .
Untuk memilih interval naik atau turun suatu fungsi, sanggup memakai konsep turunan, yakni :
Fungsi Naik pada ketika $ f^\prime (x) > 0 \, $
Fungsi Turun pada ketika $ f^\prime (x) < 0 \, $
Catatan : dari penggunaan turunan untuk fungsi naik dan fungsi turun kita akan melibatkan pertaksamaan, sesampai kemudian untuk memudahkan silahkan baca bahan pertaksamaan terlebih dahulu pada artikel “pertaksamaan secara umum“.
Contoh :
1). Tentukan interval-interval dari fungsi $ f(x) = x^2 – 4x $ supaya fungsi:
a. naik,
b. turun.
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan fungsi :
$ f(x) = x^2 – 4x \rightarrow f^\prime (x) = 2x – 4 $
*). Menentukan interval naik dan turun,
Interval fungsi naik, syaratnya : $ f^\prime (x) > 0 $
$ f^\prime (x) > 0 \rightarrow 2x – 4 > 0 \rightarrow 2x > 4 \rightarrow x > 2 $
Sesampai kemudian, fungsi $ f(x) = x^2 – 4x \, $ naik pada interval $ x > 2 $ .
Artinya tanpa memakai syarat interval turun, kita sudah tau bahwa selain interval naik maka niscaya interval yang lainnya merupakan turun.
Sesampai kemudian fungsinya turun pada interval : $ x < 2 $ .
Jadi, fungsi $ f(x) = x^2 – 4x \, $ naik pada interval $ x > 2 \, $ dan turun pada interval $ x < 2 $ .
2). Tentukan interval naik dan turun dari fungsi $ f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan fungsi :
$ f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 3x^2 – 12x + 9 $
*). Menentukan interval naik dan turun,
Fungsi naik, syaratnya : $ f^\prime (x) > 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & > 0 \\ 3x^2 – 12x + 9 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x^2 – 4x + 3 & > 0 \\ (x – 1)(x – 3) & > 0 \\ x = 1 \vee x & = 3 \end{align} $
Menyelesaikan pertaksamaan, buat garis bilangan :
dari garis bilangan di atas, yang diminta merupakan $ > 0 \, $ artinya kawasan yang positif,
sesampai kemudian fungsi naik pada interval : $ x < 1 \vee x > 3 $ .
Selain interval naik di atas, niscaya untuk interval turun (dapat juga dilihat pada garis bilangan, tanda negatif artinya fungsi turun),
Sesampai kemudian fungsi turun pada interval : $ 1 < x < 3 $
Jadi, interval naik $ x < 1 \vee x > 3 \, $ dan turunnya $ 1 < x < 3 $ .
*). Gambar grafik fungsi $ f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 1 $
3). Tentukan nilai $ p \, $ pada fungsi $ y = \frac{1}{3} x^3 – x^2 + px – 5 \, $ supaya fungsinya selalu naik ?
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ y = \frac{1}{3} x^3 – x^2 + px – 5 \rightarrow y^\prime = x^2 – 2x + p $
*). Syarat fungsi naik : $ y^\prime > 0 $
Sesampai kemudian : $ x^2 – 2x + p > 0 \, $ …..pert(i).
*). Agar pert(i) terpenuhi, maka bentuk $ x^2 – 2x + p \, $ nilainya selalu faktual untuk semua nilai $ x \, $ yang terpenuhi apabila berlaku definit positif. Materi definit faktual sanggup dibaca pada artikel “Ciri-ciri Grafik Fungsi Kuadrat (parabola)“.
Syarat definit faktual : $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 \, $ dengan $ D = b^2 – 4ac $ .
*). Menyelesaikan syarat definit faktual :
Bentuk $ x^2 – 2x + p \rightarrow a = 1, \, b = -2 , \, c= p $
Syarat pertama : $ a > 0 \rightarrow 1 > 0 \, $ (benar)
Syarat kedua : $ D < 0 \rightarrow b^2 – 4ac < 0 $
$ \begin{align} b^2 – 4ac & < 0 \\ (-2)^2 – 4.1.p & < 0 \\ 4 – 4p & < 0 \\ – 4p & < -4 \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ p & > 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ p \, $ supaya fungsinya selalu naik merupakan $ \{ p > 1 \} $ .
