Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva

Posted on

         Pondok Soal.com – Sebelumnya kita telah mempelajari materi “persamaan garis singgung elips” yang mana jenis-jenis persamaan garis singgungnya kita bagi menjadi tiga menurut yang diketahui. Nah, pada artikel ini kita masih melanjutkan pembahasan garis singgung elips jenis ketiga yakni Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva. Mengingatkan kembali, tiga jenis garis singgung elips yakni pertama : persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1) $ dimana titik ini ada pada elips, kedua : persamaan garis singgung diketahui gradiennya $(m)$, dan ketiga garis singgung melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini ada di luar kurva elips yang akan kita bahas pada artikel berjudul Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva ini. Pembahasan Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva sengaja kita bahas pada artikel tersendiri lantaran bertujuan untuk menyederhanakan cakupan pembelajaran sesampai kemudian artikelnya tak terlalu panjang. Ada tiga cara yang akan kita gunakan untuk memilih Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva.

         Untuk mempermudah mempelajari materi Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva ini, kita harus memahami terlebih dahulu materi “persamaan elips“, “persamaan garis lurus“, “kedudukan garis terhadap elips”, “kedudukan titik terhadap elips”, dan “persamaan garis singgung elips” tipe pertama dan tipe kedua yang sudah kita pelajari sebelumnya lantaran kita akan memakai cara-cara tersebut juga dalam memilih persamaan garis singgung bentuk ketiga ini.

Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva
       Persamaan Garis singgung elips ketiga ini merupakan garis singgung melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini berada di luar kurva elips, sesampai kemudian akan terbentuk dua garis singgung menyerupai tampak pada gambar di atas. Ada tiga cara memilih Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva, sebagai berikut :

Cara Pertama Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva
$\spadesuit \, $ Cara Pertama, Syarat garis menyinggung elips : $ D = 0 $
Langkah-langkah cara pertama (Cara Diskriminan):
(1). Misalkan garis singgungnya merupakan $ y = mx + c $, substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke garis singgung tersebut sesampai kemudian kita peroleh bentuk $ y = mx + y_1 – mx_1 $
(2). Substitusi bentuk $ y = mx + y_1 – mx_1 $ ke persamaan elips, dan kita ubah menjadi bentuk persamaan kuadrat.
(3). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat $ D = 0 $
(4). Substitusi nilai $ m $ ke persamaan $ y = mx + y_1 – mx_1 $ yang merupakan persamaan garis singgung elipsnya.
Nilai $ D = b^2 – 4ac $ dari persamaan kuadrat yang terbentuk.

Silahkan baca syarat garis menyinggung elips pada artikel “Kedudukan garis terhadap elips“.

Cara Kedua Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva
$\clubsuit \, $ Cara Kedua, Menggunakan PGSE Kedua
Langkah-langkah cara kedua (PGSE kedua):
(1). Menentukan rumus garis singgung yang akan dipakai :
-). Jika $ a $ di bawah $ x $ , maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
-). Jika $ a $ di bawah $ y $ , maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
dengan nilai $ a $ merupakan yang terbesar.
-). Jika titik sentra elipsnya $(p,q) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ p $ dan $ q $ sesampai kemudian bentuknya $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $ atau $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $ .

Baca Juga:   Persamaan Asimtot Hiperbola

(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan garis singgung dari langkah (1) dan kita tentukan nilai $ m $.
(3). Nilai $ m $ yang kita peroleh substitusi ke persamaan garis singgun dari langkah (1), itulah persamaan garis singgung elipsnya.

Silahkan baca wacana PGSE Kedua pada artikel “Persamaan garis singgung elips” sebelumnya.

Cara Ketiga Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva
$\heartsuit \, $ Cara Ketiga, Menggunakan PGSE Pertama
Langkah-langkah cara ketiga (PGSE Pertama):
(1). Lakukan CARA BAGI ADIL pada persamaan elips yang diketahui,
(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), sesampai kemudian kita peroleh bentuk persamaan garis,
(3). Menentukan titik potong antara persamaan garis pada langkah (2) dengan persamaan elips, titik potong yang kita peroleh merupakan sebagai titik singgung antara garis dan elips.
(4). Substitusi masing-masing titik potong ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), itulah persamaan garis singgung elipsnya.

Silahkan baca wacana PGSE Pertama (CARA BAGI ADIL) pada artikel “Persamaan garis singgung elips” sebelumnya.

Contoh Soal Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva :

Contoh 1). Tentukan persamaan garis singgung pada elips $ \frac{(x – 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $ di titik $ (2,2) $!
Penyelesaian :
*). Kita cek dahulu kedudukan titik $ (2,2) $ terhadap elipsnya :
$ \begin{align} (x,y)=(2,2) \rightarrow \frac{(x – 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{(2 – 1)^2}{6} + \frac{2^2}{3} & … 1 \\ \frac{1}{6} + \frac{4}{3} & … 1 \\ \frac{1}{6} + \frac{8}{6} & … 1 \\ \frac{9}{6} & … 1 \\ \frac{9}{6} & > 1 \end{align} $
Karena ruas kanan $ > $ ruas kiri, maka titik $ (2,2) $ ada di luar elips $ \frac{(x – 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $ .
Silahkan baca : “Kedudukan titik terhadap elips
*). Karena titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar elips, maka ada tiga cara untuk memilih persamaan garis singgungnya, yakni :

CARA PERTAMA : Cara Diskriminan
Langkah (1). Misalkan persamaan garis singgungnya merupakan $ y = mx + c $,
-). Substitusi titik $ (x,y) = (2,2) $ ke garis singgung :
$ \begin{align} y & = mx + c \\ 2 & = m.2 + c \\ c & = 2 – 2m \end{align} $
Sesampai kemudian persamaan garis singgungnya :
$ y = mx + c \rightarrow y = mx + 2-2m $.
Langkah (2). Substitusi $ y = mx + 2 – 2m $ ke persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x – 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{(x – 1)^2}{6} + \frac{(mx + 2 – 2m)^2}{3} & = 1 \, \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ (x – 1)^2 + 2(mx + 2 – 2m)^2 & = 6 \\ (x^2 – 2x + 1) + 2(m^2x^2 + 4(1 – m)mx + (2-2m)^2) & = 6 \\ x^2 – 2x + 1 + 2m^2x^2 + 8(1 – m)mx + 2(2-2m)^2 & = 6 \\ (1 + 2m^2)x^2 + [8(1 – m)m – 2]x + [2(2-2m)^2 – 5] & = 0 \\ a = 1 + 2m^2, b = 8(1 – m)m – 2, c & = 2(2-2m)^2 – 5 \end{align} $
Langkah (3). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 – 4ac & = 0 \\ [8(1 – m)m – 2]^2 – 4.(1 + 2m^2).[2(2-2m)^2 – 5] & = 0 \end{align} $
Ternyata pada langkah (3) ini sangat sulit bagi kita untuk memilih nilai $ m $ nya, hal ini terjadi lantaran persamaan elips kedua variabelnya yakni $ x $ dan $ y $ berbentuk kuadrat sesampai kemudian saat kita substitusi persamaan garis singgunggnya maka sesudah kita kuadratkan menghasikan bentuk yang agak rumit. Namun bukan berarti tak sanggup dikerjakan, silahkan coba teman-teman lanjutkan pengerjaan langkah (3) untuk mencari nilai $ m $, sesudah itu lanjutkan ke langkah (4). Sebagai bantuan, nilai $ m $ nya merupakan $ m = -1 $ dan $ m = \frac{1}{5} $.

Baca Juga:   Cara Menemukan Persamaan Hiperbola

SARAN : Untuk garis singgung elips titik diluar kurva, sebaiknya jangan memakai cara pertama ini lantaran sulit dalam penghitungan mencari nilai $ m $.

CARA KEDUA : Menggunakan PGSE Kedua
Langkah (1). Menentukan garis singgung yang akan dipakai :
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $
-). Dari persamaan elips $ \frac{(x – 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $
$ a^2 = 6 $ dan $ b^2 = 3 $.
INGAT : nilai $ a^2 $ merupakan nilai yang terbesar.
*). Karena $ a $ ada di bawah $ x $, maka
PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
Karena ada titik sentra $ (p,q) $ , maka
PGSE-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
-). Substitusi $ a^2 = 6 $ dan $ b^2 = 3 $ ke garisnya :
$ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} \rightarrow y = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 + 3} $
Langkah (2). Substitusi titik $ (x,y) = (2,2) $ ke garisnya :
$ \begin{align} y & = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 + 3} \\ 2 & = m(2-1) \pm \sqrt{6m^2 + 3} \\ 2 & = m \pm \sqrt{6m^2 + 3} \\ \pm \sqrt{6m^2 + 3} & = m – 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 6m^2 + 3 & = m^2 – 4m + 4 \\ 5m^2 + 4m – 1 & = 0 \\ (m+1)(5m-1) & = 0 \\ m = -1 \vee m & = \frac{1}{5} \end{align} $
Langkah (3). Substitusi nilai $ m = -1 $ atau $ m = \frac{1}{5} $ ke garis singgungnya :
$ \begin{align} m = -1 \rightarrow y & = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 + 3} \\ y & = -1(x-1) \pm \sqrt{6.(-1)^2 + 3} \\ y & = -x+1 \pm \sqrt{9} \\ y & = -x+1 \pm 3 \\ y & = -x+1 + 3 \vee y = -x + 1 – 3 \\ y & = -x+4 \vee y = -x -2 \\ m = \frac{1}{5} \rightarrow y & = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 + 3} \\ y & = \frac{1}{5}(x-1) \pm \sqrt{6.(\frac{1}{5})^2 + 3} \\ y & = \frac{1}{5}(x-1) \pm \sqrt{ \frac{6}{25} + 3} \\ y & = \frac{1}{5}(x-1) \pm \sqrt{ \frac{81}{25} } \\ y & = \frac{1}{5}(x-1) \pm \frac{9}{5} \, \, \, \, \, \text{(kali 5)} \\ 5y & = x-1 \pm 9 \\ 5y & = x-1 + 9 \vee 5y = x – 1 – 9\\ 5y & = x + 8 \vee 5y = x – 10 \end{align} $
Dari keempat garis singgung yang kita peroleh di atas, hanya dua saja yang memenuhi balasan yakni garis singgung yang melalui titik $(2,2)$. Garis singgung tersebut merupakan $ y = -x + 4 $ dan $ 5y = x + 8 $.
Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan $ y = -x + 4 $ dan $ 5y = x + 8 $.

CARA KETIGA : Menggunakan PGSE Ketiga
Langkah (1). Menentukanpersamaa BAGI ADIL
$ \begin{align} \frac{(x – 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{(x – 1)(x_1 – 1)}{6} + \frac{y.y_1}{3} & = 1 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ (x – 1)(x_1 – 1) + 2y.y_1 & = 6 \end{align} $
Langkah (2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) = (2,2) $ ke persamaan bagi adil :
$ \begin{align} (x – 1)(x_1 – 1) + 2y.y_1 & = 6 \\ (x – 1)(2 – 1) + 2y.2 & = 6 \\ (x – 1) + 4y & = 6 \\ x & = -4y + 7 \end{align} $
Langkah (3). Menentukan titik potong garis $ x = -4y + 7 $ dengan elips $ \frac{(x – 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $ dengan cara substitusi garis ke elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x – 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{(-4y + 7 – 1)^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{(-4y + 6)^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ (-4y + 6)^2 + 2y^2 & = 6 \\ 16y^2 – 48y + 36 + 2y^2 & = 6 \\ 18y^2 – 48y + 30 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ 3y^2 – 8y + 5 & = 0 \\ (3y-5)(y-1) & = 0 \\ y = 1 \vee y & = \frac{5}{3} \end{align} $
Untuk $ y = 1 \rightarrow x = -4y + 7 = -4.1 + 7 = 3 $
Untuk $ y = \frac{5}{3} \rightarrow x = -4y + 7 = -4.\frac{5}{3} + 7 = \frac{1}{3} $
Titik singgungnya merupakan $ (3,1 ) $ dan $ \left( \frac{1}{3}, \frac{5}{3} \right) $.
Langkah (4). Substitusi titik singgung ke persamaan Bagi Adil :
$ \begin{align} \text{untuk } (x_1,y_1) & = (3,1) \rightarrow \\ (x – 1)(x_1 – 1) + 2y.y_1 & = 6 \\ (x – 1)(3 – 1) + 2y.1 & = 6 \\ (x – 1).2 + 2y & = 6 \\ 2x – 2 + 2y & = 6 \\ 2y & = – 2x + 8 \\ y & = – x + 4 \\ \text{untuk } (x_1,y_1) & = \left( \frac{1}{3}, \frac{5}{3} \right) \rightarrow \\ (x – 1)(x_1 – 1) + 2y.y_1 & = 6 \\ (x – 1)( \frac{1}{3} – 1) + 2y. \frac{5}{3} & = 6 \\ (x – 1). \frac{-2}{3} + \frac{10}{3}y & = 6 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ (x – 1). (-2) + 10y & = 18 \\ -2x + 2 + 10y & = 18 \\ 10y & = 2x + 16 \\ 5y & = x + 8 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan $ y = -x + 4 $ atau $ 5y = x + 8 $.

Baca Juga:   Cara Menemukan Persamaan Parabola

Berikut ilustrasi kurva dan garis singgung untuk pola soal nomor 1.

Contoh 2). Tentukan persamaan garis singgung pada elips $ \frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y – 1)^2}{20} = 1 $ di titik $ (-3,4) $!
Penyelesaian :
*). Kita cek dahulu kedudukan titik $ (-3,4) $ terhadap elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y – 1)^2}{20} & = 1 \\ \frac{(-3+1)^2}{5} + \frac{(4 – 1)^2}{20} & … 1 \\ \frac{4}{5} + \frac{9}{20} & … 1 \\ \frac{16}{20} + \frac{9}{20} & … 1 \\ \frac{25}{20} & … 1 \\ \frac{25}{20} & > 1 \end{align} $
Karena ruas kanan $ > $ ruas kiri, maka titik $ (-3,4) $ ada di luar elips $ \frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y – 1)^2}{20} = 1 $ .
*). Karena titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar elips, maka ada tiga cara untuk memilih persamaan garis singgungnya. Untuk langkah berikutnya silahkan teman-teman coba sendiri ya sebagai materi latihan. Semoga sukses dan sanggup mengerjakannya.

       Demikian pembahasan materi Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan “irisan kerucut“.