Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada materi “persamaan garis singgung hiperbola“, ada tiga jenis garis singgungnya dimana jenis pertama dan jenis kedua sudah kita bahas di dalam artikel tersebut . Nah, pada artikel ini kita masih melanjutkan pembahasan garis singgung Hiperbola jenis ketiga yakni Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva. Mengingatkan kembali, tiga jenis garis singgung Hiperbola yakni pertama : persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1) $ dimana titik ini ada pada Hiperbola, kedua : persamaan garis singgung diketahui gradiennya $(m)$, dan ketiga garis singgung melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini ada di luar kurva Hiperbola yang akan kita bahas pada artikel berjudul Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva ini. Pembahasan Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva sengaja kita bahas pada artikel tersendiri lantaran bertujuan untuk menyederhanakan cakupan pembelajaran sesampai kemudian artikelnya tak terlalu panjang. Ada tiga cara yang akan kita gunakan untuk memilih Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva.

         Sebelum kita mempelajari materi Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva ini, kita harus memahami terlebih dahulu materi “persamaan Hiperbola“, “persamaan garis lurus“, “kedudukan garis terhadap Hiperbola“, “kedudukan titik terhadap Hiperbola“, dan “persamaan garis singgung Hiperbola” tipe pertama dan tipe kedua yang sudah kita pelajari sebelumnya lantaran kita akan memakai cara-cara tersebut juga dalam memilih persamaan garis singgung bentuk ketiga ini.

Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva
       Persamaan Garis singgung Hiperbola ketiga ini merupakan garis singgung melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini berada di luar kurva Hiperbola, sesampai kemudian akan terbentuk dua garis singgung menyerupai tampak pada gambar di atas. Ada tiga cara memilih Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva, sebagai berikut :

Cara Pertama Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva
$\spadesuit \, $ Cara Pertama, Syarat garis menyinggung Hiperbola : $ D = 0 $
Langkah-langkah cara pertama (Cara Diskriminan):
(1). Misalkan garis singgungnya merupakan $ y = mx + c $, substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke garis singgung tersebut sesampai kemudian kita peroleh bentuk $ y = mx + y_1 – mx_1 $
(2). Substitusi bentuk $ y = mx + y_1 – mx_1 $ ke persamaan Hiperbola, dan kita ubah menjadi bentuk persamaan kuadrat.
(3). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat $ D = 0 $
(4). Substitusi nilai $ m $ ke persamaan $ y = mx + y_1 – mx_1 $ yang merupakan persamaan garis singgung Hiperbolanya.
Nilai $ D = b^2 – 4ac $ dari persamaan kuadrat yang terbentuk.

Silahkan baca syarat garis menyinggung Hiperbola pada artikel “Kedudukan garis terhadap Hiperbola”.

Cara Kedua Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva
$\clubsuit \, $ Cara Kedua, Menggunakan PGSH Kedua
Langkah-langkah cara kedua (PGSH kedua):
(1). Menentukan rumus garis singgung yang akan dipakai :
-). Jika $ a $ di bawah $ x $ , maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2} $
-). Jika $ a $ di bawah $ y $ , maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 – b^2m^2} $
dengan nilai $ a $ merupakan yang ada dibagian positif.
-). Jika titik sentra Hiperbolanya $(p,q) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ p $ dan $ q $ sesampai kemudian bentuknya $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2} $ atau $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 – b^2m^2} $ .

(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan garis singgung dari langkah (1) dan kita tentukan nilai $ m $.
(3). Nilai $ m $ yang kita peroleh substitusi ke persamaan garis singgun dari langkah (1), itulah persamaan garis singgung Hiperbolanya.

Baca Juga:   Cara Menemukan Persamaan Elips

Silahkan baca perihal PGSH Kedua pada artikel “Persamaan garis singgung Hiperbola” sebelumnya.

Cara Ketiga Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva
$\heartsuit \, $ Cara Ketiga, Menggunakan PGSH Pertama
Langkah-langkah cara ketiga (PGSH Pertama):
(1). Lakukan CARA BAGI ADIL pada persamaan Hiperbola yang diketahui,
(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), sesampai kemudian kita peroleh bentuk persamaan garis,
(3). Menentukan titik potong antara persamaan garis pada langkah (2) dengan persamaan Hiperbola, titik potong yang kita peroleh merupakan sebagai titik singgung antara garis dan Hiperbola.
(4). Substitusi masing-masing titik potong ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), itulah persamaan garis singgung Hiperbolanya.

Silahkan baca perihal PGSH Pertama (CARA BAGI ADIL) pada artikel “Persamaan garis singgung Hiperbola” sebelumnya.

Contoh Soal Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva :

Contoh 1). Tentukan persamaan garis singgung pada Hiperbola $ \frac{(x – 1)^2}{6} – \frac{y^2}{8} = 1 $ di titik $ (2,-2) $!
Penyelesaian :
*). Kita cek dahulu kedudukan titik $ (2,-2) $ terhadap Hiperbolanya :
$ \begin{align} (x,y)=(2,-2) \rightarrow \frac{(x – 1)^2}{6} – \frac{y^2}{8} & = 1 \\ \frac{(2 – 1)^2}{6} – \frac{(-2)^2}{8} & … 1 \\ \frac{1}{6} – \frac{4}{8} & … 1 \\ \frac{1}{6} – \frac{1}{2} & … 1 \\ \frac{1}{6} – \frac{3}{6} & … 1 \\ -\frac{2}{6} & … 1 \\ -\frac{1}{3} & < 1 \end{align} $
Karena ruas kanan $ < $ ruas kiri, maka titik $ (2,-2) $ ada di luar Hiperbola $ \frac{(x – 1)^2}{6} – \frac{y^2}{8} = 1 $ .
Silahkan baca : “Kedudukan titik terhadap Hiperbola
*). Karena titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar Hiperbola, maka ada tiga cara untuk memilih persamaan garis singgungnya, yakni :

CARA PERTAMA : Cara Diskriminan
Langkah (1). Misalkan persamaan garis singgungnya merupakan $ y = mx + c $,
-). Substitusi titik $ (x,y) = (2,-2) $ ke garis singgung :
$ \begin{align} y & = mx + c \\ -2 & = m.2 + c \\ c & = -2 – 2m \end{align} $
Sesampai kemudian persamaan garis singgungnya :
$ y = mx + c \rightarrow y = mx – 2-2m $.
Langkah (2). Substitusi $ y = mx – 2 – 2m $ ke persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x – 1)^2}{6} – \frac{y^2}{8} & = 1 \\ \frac{(x – 1)^2}{6} – \frac{(mx – 2 – 2m)^2}{8} & = 1 \, \, \, \, \, \text{(kali 24)} \\ 4(x – 1)^2 – 3(mx – 2 – 2m)^2 & = 24 \\ 4(x^2 – 2x + 1) – 3(m^2x^2 – 4(1 + m)mx + (2+2m)^2) & = 24 \\ 4x^2 – 8x + 4 – 3m^2x^2 + 12(1 + m)mx – 3(2+2m)^2 & = 24 \\ (4 – 3m^2)x^2 + [12(1 + m)m – 8]x – [3(2+2m)^2 + 20] & = 0 \\ a = 4 – 3m^2, b = 12(1 + m)m – 8, c & = – [3(2+2m)^2 + 20] \end{align} $
Langkah (3). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 – 4ac & = 0 \\ [12(1 + m)m – 8]^2 – 4.(4 – 3m^2).(- [3(2+2m)^2 + 20]) & = 0 \end{align} $
Ternyata pada langkah (3) ini sangat sulit bagi kita untuk memilih nilai $ m $ nya, hal ini terjadi lantaran persamaan Hiperbola kedua variabelnya yakni $ x $ dan $ y $ berbentuk kuadrat sesampai kemudian saat kita substitusi persamaan garis singgunggnya maka sesudah kita kuadratkan menghasikan bentuk yang agak rumit. Namun bukan berarti tak sanggup dikerjakan, silahkan coba teman-teman lanjutkan pengerjaan langkah (3) untuk mencari nilai $ m $, sesudah itu lanjutkan ke langkah (4). Sebagai bantuan, nilai $ m $ nya merupakan $ m = 2 $ dan $ m = -\frac{6}{5} $.

Baca Juga:   Persamaan Garis Singgung Titik Diluar Parabola

SARAN : Untuk garis singgung Hiperbola titik diluar kurva, sebaiknya jangan memakai cara pertama ini lantaran sulit dalam penghitungan mencari nilai $ m $.

CARA KEDUA : Menggunakan PGSH Kedua
Langkah (1). Menentukan garis singgung yang akan dipakai :
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $
-). Dari persamaan Hiperbola $ \frac{(x – 1)^2}{6} – \frac{y^2}{8} = 1 $
$ a^2 = 6 $ dan $ b^2 = 8 $.
INGAT : nilai $ a^2 $ merupakan nilai yang ada dibagian positif.
*). Karena $ a $ ada di bawah $ x $, maka
PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2} $
Karena ada titik sentra $ (p,q) $ , maka
PGSH-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2} $
-). Substitusi $ a^2 = 6 $ dan $ b^2 = 8 $ ke garisnya :
$ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2} \rightarrow y = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 – 8} $
Langkah (2). Substitusi titik $ (x,y) = (2,-2) $ ke garisnya :
$ \begin{align} y & = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 – 8} \\ -2 & = m(2-1) \pm \sqrt{6m^2 – 8} \\ -2 & = m \pm \sqrt{6m^2 – 8} \\ \pm \sqrt{6m^2 – 8} & = m + 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 6m^2 – 8 & = m^2 + 4m + 4 \\ 5m^2 – 4m – 12 & = 0 \\ (5m + 6 )(m-2) & = 0 \\ m = -\frac{6}{5} \vee m & = 2 \end{align} $
Langkah (3). Substitusi nilai $ m = -\frac{6}{5} $ atau $ m = 2 $ ke garis singgungnya :
$ \begin{align} m = 2 \rightarrow y & = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 – 8} \\ y & = 2(x-1) \pm \sqrt{6.(2)^2 – 8} \\ y & = 2x – 2 \pm \sqrt{16} \\ y & = 2x-2 \pm 4 \\ y & = 2x-2 + 4 \vee y = 2x-2 – 4 \\ y & = 2x + 2 \vee y = 2x-6 \\ m = -\frac{6}{5} \rightarrow y & = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 – 8} \\ y & = -\frac{6}{5}(x-1) \pm \sqrt{6.(-\frac{6}{5})^2 – 8} \\ y & = -\frac{6}{5}(x-1) \pm \sqrt{ \frac{216}{25} – 8} \\ y & = -\frac{6}{5}(x-1) \pm \sqrt{ \frac{16}{25} } \\ y & = -\frac{6}{5}(x-1) \pm \frac{4}{5} \, \, \, \, \, \text{(kali 5)} \\ 5y & = -6(x-1) \pm 4 \\ 5y & = -6x + 6 \pm 4 \\ 5y & = -6x + 6 + 4 \vee 5y = -6x + 6 – 4 \\ 5y & = -6x + 10 \vee 5y = -6x + 2 \end{align} $
Dari keempat garis singgung yang kita peroleh di atas, hanya dua saja yang memenuhi balasan yakni garis singgung yang melalui titik $(2,-2)$. Garis singgung tersebut merupakan $ y = 2x – 6 $ dan $ 5y = -6x + 2 $.
Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan $ y = 2x – 6 $ dan $ 5y = -6x + 2 $.

CARA KETIGA : Menggunakan PGSH Ketiga
Langkah (1). Menentukanpersamaa BAGI ADIL
$ \begin{align} \frac{(x – 1)^2}{6} – \frac{y^2}{8} & = 1 \\ \frac{(x – 1)(x_1 – 1)}{6} – \frac{y.y_1}{8} & = 1 \, \, \, \, \text{(kali 24)} \\ 4(x – 1)(x_1 – 1) – 3y.y_1 & = 24 \end{align} $
Langkah (2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) = (2,-2) $ ke persamaan bagi adil :
$ \begin{align} 4(x – 1)(x_1 – 1) – 3y.y_1 & = 24 \\ 4(x – 1)(2 – 1) – 3y.(-2) & = 24 \\ 4(x – 1) + 6y & = 24 \\ 4x – 4 + 6y & = 24 \\ 4x + 6y & = 28 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 2x + 3y & = 14 \\ y & = \frac{14 – 2x}{3} \end{align} $
Langkah (3). Menentukan titik potong garis $ y = \frac{14 – 2x}{3} $ dengan Hiperbola $ \frac{(x – 1)^2}{6} – \frac{y^2}{8} = 1 $ dengan cara substitusi garis ke Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x – 1)^2}{6} – \frac{y^2}{8} & = 1 \\ \frac{(x – 1)^2}{6} – \frac{(\frac{14 – 2x}{3} )^2}{8} & = 1 \\ \frac{(x – 1)^2}{6} – \frac{ \frac{(14 – 2x)^2}{9} }{8} & = 1 \\ \frac{(x – 1)^2}{6} – \frac{(14 – 2x)^2}{72} & = 1 \, \, \, \, \text{(kali 72)} \\ 12(x – 1)^2 – (14 – 2x)^2 & = 72 \\ 12(x^2 – 2x + 1) – (4x^2 – 56x + 196) & = 72 \\ 12x^2 – 24x + 12 – 4x^2 + 56x – 196 & = 72 \\ 8x^2 + 32x – 256 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ x^2 + 4x – 32 & = 0 \\ (x +8)(x – 4) & = 0 \\ x = -8 \vee x & = 4 \end{align} $
Untuk $ x = -8 \rightarrow y = \frac{14 – 2x}{3} = \frac{14 – 2(-8)}{3} = \frac{30}{3} = 10 $
Untuk $ x = 4 \rightarrow y = \frac{14 – 2x}{3} = \frac{14 – 2.4}{3} = \frac{6}{3} = 2 $
Titik singgungnya merupakan $ (-8,10 ) $ dan $ (4,2) $.
Langkah (4). Substitusi titik singgung ke persamaan Bagi Adil :
$ \begin{align} \text{untuk } (x_1,y_1) & = (-8,10) \rightarrow \\ 4(x – 1)(x_1 – 1) – 3y.y_1 & = 24 \\ 4(x – 1)(-8 – 1) – 3y.10 & = 24 \\ 4(x – 1)(-9) – 30y & = 24 \\ -36(x – 1) – 30y & = 24 \\ -36x + 36 – 30y & = 24 \\ -36x – 30y & = -12 \, \, \, \, \text{(bagi -6)} \\ 6x + 5y & = 2 \\ 5y & = -6x + 2 \\ \text{untuk } (x_1,y_1) & = (4,2) \rightarrow \\ 4(x – 1)(x_1 – 1) – 3y.y_1 & = 24 \\ 4(x – 1)(4 – 1) – 3y.2 & = 24 \\ 12(x – 1) – 6y & = 24 \\ 12x – 12 – 6y & = 24 \\ 12x – 6y & = 36 \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ 2x – y & = 6 \\ y & = 2x – 6 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan $ y = 2x – 6 $ dan $ 5y = -6x + 2 $.

Baca Juga:   Persamaan Hiperbola Dan Unsur-Unsurnya

Berikut ilustrasi kurva dan garis singgung untuk rujukan soal nomor 1.

Contoh 2). Tentukan persamaan garis singgung pada Hiperbola $ \frac{(x+1)^2}{12} – \frac{(y – 2)^2}{3} = 1 $ di titik $ (1,4) $!
Penyelesaian :
*). Kita cek dahulu kedudukan titik $ (1,4) $ terhadap Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{12} – \frac{(y – 2)^2}{3} & = 1 \\ \frac{(1+1)^2}{12} – \frac{(4 – 2)^2}{3} & … 1 \\ \frac{4}{12} – \frac{4}{3} & … 1 \\ \frac{1}{3} – \frac{4}{3} & … 1 \\ – \frac{3}{3} & … 1 \\ – 1 & … 1 \\ – 1 & < 1 \end{align} $
Karena ruas kanan $ < $ ruas kiri, maka titik $ (1,4) $ ada di luar Hiperbola $ \frac{(x+1)^2}{12} – \frac{(y – 2)^2}{3} = 1 $ .
*). Karena titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar Hiperbola, maka ada tiga cara untuk memilih persamaan garis singgungnya. Untuk langkah berikutnya silahkan teman-teman coba sendiri ya sebagai materi latihan. Semoga sukses dan sanggup mengerjakannya.

       Demikian pembahasan materi Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan “irisan kerucut“.