Garis Singgung Komplotan Lingkaran

Posted on

         Pondok Soal.com Garis singgung komplotan lingkaran maksudnya ada suatu garis yang menyinggung suatu bundar baik satu lingkaran, dua lingkaran, atau pun lebih. Kosep dasar yang dipakai pada bahan garis singgung komplotan lingkaran merupakan teorema pythagoras. Adapun hal-hal yang akan dibahas dalam bahan garis singgung ini yatiu garis singgung pada satu lingkaran, garis singgung pada dua lingkaran, dan panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan lingkaran. Tapi sebelumnya akan dibahas dahulu sedikit wacana teorema pythagoras.

Teorema Pythagoras
       Mislakan ada segitiga siku-siku menyerupai berikut,

Maka berlaku teorema Pythagoras untuk panjang sisi-sisinya, ialah :
              $ AC^2 = AB^2 + BC^2 $

Contoh :
Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan panjang AB = 3 dan BC = 4, tentukan panjang AC?
Penyelesaian :
*). Karena segitiga siku-siku, maka berlaku pythagoras :
$ \begin{align} AC^2 & = AB^2 + BC^2 \\ AC^2 & = 3^2 + 4^2 \\ AC^2 & = 9 + 16 \\ AC^2 & = 25 \\ AC & = \sqrt{25} = 5 \end{align} $
Jadi, panjang AC = 5.

Garis Singgung pada Satu Lingkaran
$\clubsuit $ Defisi garis singgung bundar
       Garis singgung bundar merupakan garis yang memotong suatu bundar di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya.

Pada gambar di atas tampak bahwa garis $ k $ tegak lurus dengan jari-jari OA. Garis $ k $ merupakan garis singgung bundar di titik A, lagikan A disebut titik singgung lingkaran.

$\clubsuit $ Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran dari Satu Titik di Luar Lingkaran

Pada gambar di atas, bundar berpusat di titik O dengan jari-jari OB dan OB $ \bot $ garis AB. Garis AB merupakan garis singgung bundar melalui titik A di luar lingkaran. Perhatikan segitiga siku-siku ABO.
Dengan teorema Pythagoras berlaku :
$ \begin{align} OB^2 + AB^2 & = OA^2 \\ AB^2 & = OA^2 – OB^2 \\ AB & = \sqrt{ OA^2 – OB^2 } \end{align} $
Artinya, panjang garis singgung AB merupakan $ AB = \sqrt{ OA^2 – OB^2 } $

Contoh :
Diketahui bundar berpusat di titik O dengan jarijari OB = 5 cm. Garis AB merupakan garis singgung bundar yang melalui titik A di luar lingkaran. Jika jarak OA = 13 cm maka
a. gambarlah sketsanya;
b. tentukan panjang garis singgung AB.
Penyelesaian :
a). Sketsanya

b). panjang garis singgung AB
$ \begin{align} AB & = \sqrt{ OA^2 – OB^2 } \\ AB & = \sqrt{ 13^2 – 5^2 } \\ AB & = \sqrt{ 169 – 25 } \\ AB & = \sqrt{ 144 } = 12 \end{align} $
Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm.

Garis singgung pada dua bundar (Garis singgung persekutuan)
       Garis singgung komplotan merupakan garis yang menyinggung dua buah bundar sekaligus. Dari sedikit “kedudukan dua lingkaran“, diperoleh bermacam garis singgung ialah :

gambar 1 : kedua bundar tak memiliki garis singgung persekutuan.
gambar 2 : kedua bundar memiliki satu garis singgung persekutuan.
gambar 3 : kedua bundar memiliki dua garis singgung persekutuan.
gambar 4 : kedua bundar memiliki tiga garis singgung persekutuan.
gambar 5 : kedua bundar memiliki empat garis singgung persekutuan.
Namun yang akan dibahas lebih lanjut merupakan garis singgung pada gambar 5, yang sanggup dibagi menjadi dua ialah garis singgung komplotan dalam dan garis singgung komplotan luar lingkaran.

Baca Juga:   Luas Irisan Dua Bulat Bentuk 2

Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Lingkaran
       Berikut merupakan gambar garis singgung komplotan dalam lingkaran.

Garis singgung komplotan dalamnya merupakan garis AB

Rumus cara menghitung panjang garis singgungya :

Perhatikan gambar di atas. Perpanjang garis PA di titik S sesampai kemudian garis SQ sejajar dengan garis singgung AB. Panjang AS = BQ = r, dan PS = PA + AS = R + r , serta panjang PQ = p (jarak kedua sentra lingkaran), dan SQ = AB = d (garis singgung).
Perhatikan segitiga PQS siku-siku di S, sesampai kemudian berlaku pythagoras.
$ \begin{align} PQ^2 & = SQ^2 + PS^2 \\ SQ^2 & = PQ^2 – PS^2 \\ d^2 & = p^2 – (R+r)^2 \\ d & = \sqrt{p^2 – (R+r)^2} \end{align} $
Rumus panjang garis singgung komplotan dalam dua bundar ($d$) dengan jarak kedua titik sentra $p$, jari-jari bundar besar $R$, dan jari-jari bundar kecil $r$ merupakan $ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 – (R+r)^2} \end{align} $

Contoh :
Diketahui dua buah bundar dengan jarak kedua sentra bundar 15 cm, jari-jari bundar besar 5 cm, dan jari-jari bundar kecil 4 cm. Tentukan panjang garis singgung komplotan dalamnya?
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ p = 15, R = 5, r = 4 $
*). Panjang garis singgung komplotan dalamnya :
$ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 – (R+r)^2} \\ d & = \sqrt{15^2 – (5+4)^2} \\ d & = \sqrt{225 – 81} \\ d & = \sqrt{144} = 12 \end{align} $
Jadi, panjang garis singgung komplotan dalamnya merupakan 12 cm

Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Lingkaran
       Berikut merupakan gambar garis singgung komplotan luar lingkaran.

Garis singgung komplotan luarnya merupakan garis AB

Rumus cara menghitung panjang garis singgungya :

Perhatikan gambar di atas. Dibuat garis SQ sejajar dengan garis singgung AB. Panjang AS = BQ = r, dan PS = PA – SA = R – r , serta panjang PQ = p (jarak kedua sentra lingkaran), dan SQ = AB = d (garis singgung).
Perhatikan segitiga PQS siku-siku di S, sesampai kemudian berlaku pythagoras.
$ \begin{align} PQ^2 & = SQ^2 + PS^2 \\ SQ^2 & = PQ^2 – PS^2 \\ d^2 & = p^2 – (R-r)^2 \\ d & = \sqrt{p^2 – (R-r)^2} \end{align} $
Rumus panjang garis singgung komplotan luar dua bundar ($d$) dengan jarak kedua titik sentra $p$, jari-jari bundar besar $R$, dan jari-jari bundar kecil $r$ merupakan $ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 – (R-r)^2} \end{align} $

Baca Juga:   Kedudukan Dua Lingkaran

Contoh :
Panjang garis singgung komplotan luar dua bundar merupakan 12 cm. Jarak kedua sentra bundar tersebut 13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari bundar 3$\frac{1}{2} \, $ cm, hitunglah panjang jari-jari bundar yang lain.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ p = 13, \, d = 12, r = 3,5 $
*). Panjang garis singgung komplotan luar
$ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 – (R-r)^2} \\ R – r & = \sqrt{p^2 – d^2 } \\ R – 3,5 & = \sqrt{13^2 – 12^2 } \\ R – 3,5 & = \sqrt{25 } \\ R – 3,5 & = 5 \\ R & = 5 + 3,5 = 8,5 \end{align} $
Jadi, panjang jari-jari yang lainnya merupakan 8,5 cm.

Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang Menghubungkan Lingkaran
       Dalam kehidupan sehari-hari kerap kita jumpai seorang tukang bangunan mengikat sedikit pipa air untuk memudahkan mengangkat. Mungkin juga sedikit tong minyak kosong dikumpulkan menjadi satu untuk diisi kembali. Kali ini kita akan mempelajari cara menghitung panjang tali minimal yang dibutuhkan untuk mengikat barang-barang tersebut semoga memudahkan pekerjaan.
       Konsep yang dipakai merupakan panjang busur lingkaran, silahkan baca juga materinya di “Irisan Dua Lingkaran“.

Contoh :
Perhatikan gambar berikut!

Gambar di atas menawarkan penampang tiga buah pipa air berbentuk bundar yang masingmasing berjari-jari 7 cm dan diikat menjadi satu. Hitunglah panjang sabuk lilitan minimal yang diharapkan untuk mengikat tiga pipa tersebut.!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar

*). Menentukan panjang masing-masing.
dari gambar ilustrasi di atas,
panjang DE = FG = HI = AB = BC = CA = $ 2\times r = 2 \times 7 = 14 $
Segitiga ABC sama sisi, sesampai kemudian :
$ \angle ABC = \angle BAC = \angle ACB = 60^\circ $
$ \angle CBF = \angle ABE = 90^\circ $
$ \angle FBE = \angle GCH = \angle DAI = 360^\circ – (60^\circ + 90^\circ + 90^\circ ) = 120^\circ $
Busur FE, busur GH, busur DI masing-masing sudutnya 120$^\circ $, sesampai kemudian bila dijumlahkan menjadi 360$^\circ $ .
Artinya total busur FE, GH, dan DI membentuk keliling satu lingkaran, sesampai kemudian :
$ \begin{align} \text{busur FE + busur GH + busur DI } & = \text{ keliling bundar } \\ & = 2 \pi r \\ & = 2 . \frac{22}{7} . 7 \\ & = 44 \end{align} $
*). Panjang total sabuk lilitan
$ \begin{align} \text{panjang sabuk lilitan } & = DE + FG + HI + \text{busur FE + busur GH + busur DI } \\ & = 14 + 14 + 14 + 44 \\ & = 86 \end{align} $
Jadi, panjang sabuk lilitan minimalnya merupakan 86 cm.

Baca Juga:   Keliling Dan Luas Irisan Dua Lingkaran

Catatan : Jumlah semua busur pada sabuk lilitan minimal kekayaan membentuk keliling satu lingkaran.

Sebagai latihan, coba tentukan panjang sabuk lilitan minimal gambar-bambar berikut:

Anggap jari-jari masing-masing bundar merupakan 7 cm.

HINT ANSWER:
gambar (i) : panjang lilitan = $ 8r + \, $ keliling bundar
gambar (ii) : panjang lilitan = $ 12r + \, $ keliling bundar
gambar (iii) : panjang lilitan = $ 10r + \frac{5}{6} \times \text{ keliling bundar } $
gambar (iv) : panjang lilitan = $ 12r + \, $ keliling lingkaran.