Gradien Dan Menyusun Persamaan Garis Lurus

Posted on

         Pondok Soal.com – Untuk artikel kali ini kita akan membahas bahan Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus, dimana sebelumnya telah kita bahas bahan perihal bentuk umum persamaan garis lurus dan grafiknya yang berupa garis lurus. Jika anda belum membacanya, silahkan kunjungi artikel “Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya“. Pada bahan kali ini, kita akan bagi materinya menjadi tiga bab ialah membahas perihal gradien terlebih dahulu kemudian membahas perihal cara menyusun persamaan garis lurus yang diketahui dari bermacam kondisi serta membahas perihal konsep jarak dan tiga titik yang terletak pada satu garis lurus. Langsung saja berikut materinya,

Gradien persamaan garis lurus
Pengertian dan cara memilih gradien suatu garis lurus
       Gradien suatu garis lurus merupakan ukuran kemiringan suatu garis terhadap garis horizontal. Gradien suatu garis sanggup bernilai aktual dan negatif. Suatu garis akan bergradien aktual apabila garisnya naik dari kiri ke kanan dan garis akan bergradien negatif apabila garisnya turun dari kiri ke kanan. Gradien suatu garis lurus biasanya disimbolkan dengan aksara $ m $

Rumus umum kemiringan atau gradien suatu garis lurus :

Cara Menentukan nilai Gradien garis lurus :
*). Gradien garis melalui dua buah titik ($x_1,y_1$) dan ($x_2,y_2$)

Rumus gradien ($m$) : $ m = \frac{\text{Selisih } y }{\text{selish } x } = \frac{y_1 – y_2}{x_1 – x_2} \, $ atau $ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} $
*). Diketahui persamaan garisnya :
       *). $ y = ax + b \rightarrow m = a $
       *). $ ax+by=c \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = – \frac{a}{b} $
*). Diketahui grafiknya (garis pada diagram cartesius)

Garis melalui titik ($x_1,y_1) = (0,a$) dan ($x_2,y_2) = (b,0$), gradiennya :
gradien : $ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{0 – a}{b – 0} = – \frac{a}{b} \, $ atau $ \, m = – \frac{\text{nilai pada } y}{\text{nilai pada } x} $
*). Diketahui besarnya sudut terhadap sumbu X aktual

Misalkan besar sudutnya sebesar $ \alpha , \, $ maka gradiennya : $ m = \tan \alpha $

Contoh
1). Suatu garis lurus melalui titik (2,1) dan (-3, 5). Tentukan nilai gradiennya.!
Penyelesaian :
*). Garis melalui titik $(x_1,y_1) = (2,1) \, $ dan $ (x_2,y_2) = (-3,5) $
*). Menentukan besarnya gradien
$ \begin{align} m & = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \\ & = \frac{5 – 1}{(-3) – 2} \\ & = \frac{4}{-5} \\ & = – \frac{4}{5} \end{align} $
Diperoleh gradien garisnya merupakan $ – \frac{4}{5} \, $ . Karena gradiennya negatif, maka garis tersebut menurun dari kiri ke kanan.

Baca Juga:   Persamaan Garis Lurus Dan Grafiknya

2). Tentukan besarnya gradien dari persamaan garis berikut ini !
a. $ y = 2x – 3 $
b. $ 3x + 2y = 2 $
c. $ 5y – 2x + 5 = 0 $
d. $ y = \frac{-3x+5}{2} $
Penyelesaian :
a. $ y = 2x – 3 $
menurut $ y = ax + b \rightarrow m = a , \, $ maka $ y = 2x – 3 \rightarrow m = 2 $
b. $ 3x + 2y = 2 $
Cara I : memakai $ y = ax + b \rightarrow m = a $
$ 3x + 2y = 2 \rightarrow 2y = -3x + 2 \rightarrow y = -\frac{3}{2}x + 1 \rightarrow m = -\frac{3}{2} $
Cara II : $ ax+by=c \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = – \frac{a}{b} $
$ 3x + 2y = 2 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = -\frac{3}{2} $
c. $ 5y – 2x + 5 = 0 $
Cara I : memakai $ y = ax + b \rightarrow m = a $
$ 5y – 2x + 5 = 0 \rightarrow 5y = 2x – 5 \rightarrow y = \frac{2}{5}x – 1 \rightarrow m = \frac{2}{5} $
Cara II : $ ax+by=c \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = – \frac{a}{b} $
$ 5y – 2x + 5 = 0 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = -\frac{-2}{5} = \frac{2}{5} $
a. $ y = \frac{-3x+5}{2} $
menurut $ y = ax + b \rightarrow m = a , \, $ maka $ y = \frac{-3x+5}{2} = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2} \rightarrow m = -\frac{3}{2} $

3). Dari garis berikut ini, tentukan gradiennya. !

Penyelesaian :
*). Gambar 1.
gradiennya : $ m = – \frac{\text{nilai pada } y}{\text{nilai pada } x} = -\frac{4}{2} = -2 $
*). Gambar 2.
gradiennya : $ m = – \frac{\text{nilai pada } y}{\text{nilai pada } x} = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2} $

4). Suatu garis membentuk sudut $ 45^\circ \, $ terhadap sumbu X positif, tentukan besarnya gradien garis tersebut!
Penyelesaian :
Gradiennya : $ m = \tan 45^\circ = 1 $
Untuk nilai $ \tan 45^\circ \, $ sanggup kita lihat pada tabel trigonometri.

Menyusun persamaan garis lurus (PGL)
Cara Menyusun atau Menentukan persamaan garis lurus (PGL)
       Berikut cara Menyusun persamaan garis lurus,
*). Garis melalui dua titik ($x_1,y_1$) dan ($x_2,y_2$)
       PGL : $ \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} $
*). Garis melalui satu titik ($x_1,y_1$) dan diketahui gradiennya ($m$)
       PGL : $ y – y_1 = m(x-x_1) $
*). Diketahui garisnya

Garis melalui dua titik ($x_1,y_1) = (0,a$) dan ($x_2,y_2) = (b,0$), sesampai kemudian
PGL : $ \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \rightarrow \frac{y-a}{0-a} = \frac{x-0}{b-0} \rightarrow ax + by = ab $

Contoh :
1). Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (1,-2) dan (3,4) !
Penyelesaian :
*). Garis melalui titik ($x_1,y_1) = (1,-2$) dan ($x_2,y_2) = (3,4$)
*). Menentukan persamaan garisnya
$ \begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-(-2)}{4-(-2)} & = \frac{x-1}{3-1} \\ \frac{y+2}{6} & = \frac{x-1}{2} \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ \frac{y+2}{3} & = \frac{x-1}{1} \, \, \, \, \text{(kali silang)} \\ y+2 & = 3x – 3 \\ y & = 3x – 5 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya merupakan $ y = 3x – 5 $

Baca Juga:   Hubungan Dua Garis Lurus

2). Suatu garis terdapat gradien 2 dan melalui titik (2,3), tentukan persamaan garis tersebut!
Penyelesaian :
*). Diketahui $(x_1,y_1) = (2,3) \, $ dan $ m = 2 $
*). Menyusun persamaan garisnya
$ \begin{align} y – y_1 & = m(x-x_1) \\ y – 3 & = 2(x-2) \\ y – 3 & = 2x – 4 \\ y & = 2x – 4 + 3 \\ y & = 2x – 1 \end{align} $
Jadi, persamaan garis lurusnya merupakan $ y = 2x – 1 $

3). Dari grafik berikut ini, tentukanlah persamaan garisnya !

Penyelesaian :
*). Gambar 1.
Pgl : $ ax + by = ab \rightarrow 4x + 2y = 4 \times 2 \rightarrow 4x + 2y = 8 $
*). Gambar 2.
Pgl : $ ax + by = ab \rightarrow -1.x + 2y = -1 \times 2 \rightarrow -x + 2y = -2 $

4). Suatu garis melalui titik (1,2), (3,1), ($0,p$), dan ($2,q$). Tentukan nilai $ 2p + 4q $ !
Penyelesaian :
*). Kita cari persamaan garisnya yang melalui titik (1,2) dan (3,1)!
$ \begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-2}{1-2} & = \frac{x-1}{3-1} \\ \frac{y-2}{-1} & = \frac{x-1}{2} \\ 2y – 4 & = -x + 1 \\ x + 2y & = 5 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p \, $ dan $ q \, $ dengan cara substitusi ke PGL
$ \begin{align} (x,y)=(0,p) \rightarrow x + 2y & = 5 \\ 0 + 2p & = 5 \\ p & = \frac{5}{2} \\ (x,y)=(2,q) \rightarrow x + 2y & = 5 \\ 2 + 2q & = 5 \\ 2q & = 3 \\ q & = \frac{3}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ 2p + 4q $
$ 2p + 4q = 2. \frac{5}{2} + 4 . \frac{3}{2} = 5 + 6 = 11 $
Jadi, nilai $ 2p + 4q = 11 $ .

Konsep Jarak pada garis lurus
Jarak dan Tiga titik yang terletak pada garis lurus
*). Jarak titik A($x_1,y_1$) dengan titik B($x_2,y_2$) :
       Jarak = $ \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
*). Jarak titik A($x_1,y_1$) dengan garis $ ax+by+c = 0 $
       Jarak = $ \left| \frac{a.x_1 + b.y_1 +c}{\sqrt{a^2 + b^2} }\right| $
*). Jarak dua garis yang sejajar antara $ ax+by+c_1 = 0 \, $ dengan $ ax+by+c_2 = 0 $
       Jarak = $ \left| \frac{c_2 – c_1}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| $
Catatan : Jika dua garis tersebut tak sejajar, niscaya kedua garis tersebut berpotongan, sesampai kemudian jaraknya niscaya nol.

*). Tiga titik $(x_1,y_1), \, (x_2,y_2), \, (x_3,y_3) \, $ terletak pada satu garis
       apabila memenuhi : $ \frac{y_3-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x_3-x_1}{x_2-x_1} $

Baca Juga:   Persamaan Garis Lurus Dan Grafiknya

Contoh :
1). Tentukan besarnya jarak dari
a). titik A(2,-1) dengan titik B(-1,3)
b). titik P(2,3) dengan garis $ 3x + 4y – 3 = 0 $
c). garis $ 4x – 3y + 4 = 0 $ dengan garis $ -8x + 6y + 2 = 0 $
Penyelesaian :
a). Jarak titik A($x_1,y_1) = (2,-1$) dengan B($x_2,y_2) = (-1,3$)
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ & = \sqrt{(-1 – 2)^2 + (3-(-1))^2} \\ & = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2} \\ & = \sqrt{9 + 16} \\ & = \sqrt{25} \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, jarak kedua titik merupakan 5 satuan.
b). Jarak titik P($x_1,y_1) = (2,3$) dengan garis $ 3x + 4y – 3 = 0 $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{a.x_1 + b.y_1 +c}{\sqrt{a^2 + b^2} }\right| \\ & = \left| \frac{3.2 + 4.3 – 3}{\sqrt{3^2 + 4^2} }\right| \\ & = \left| \frac{6 + 12 – 3}{\sqrt{25} }\right| \\ & = \left| \frac{15}{5}\right| \\ & = 3 \end{align} $
Jadi, jarak titik dan garisnya merupakan 3 satuan.
c). Cek apakah kedua garis sejajar dengan cara cek apakah gradiennya sama.
Untuk bahan dua garis sejajar, silahkan baca artikel “Hubungan Dua Garis Lurus“.
$ 4x – 3y + 4 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = – \frac{4}{-3} = \frac{4}{3} $
$ -8x + 6y + 2 = 0 \rightarrow m_2 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = – \frac{-8}{6} = \frac{4}{3} $
Karena kedua garis terdapat gradien yang sama, maka kedua garis sejajar.
*). Menyamakan nilai koefisien $ x \, $ dan $ y $
$ -8x + 6y + 2 = 0 \, \, \, \text{(bagi -2) } \rightarrow 4x – 3y – 1 = 0 $
*). Jarak garis $ 4x – 3y + 4 = 0 \rightarrow c_1 = 4 \, $ dengan $ 4x – 3y – 1 = 0 \rightarrow c_2 = -1 $
Jarak = $ \left| \frac{c_2 – c_1}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| = \left| \frac{-1 – 4}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} \right| = \left| \frac{-5}{\sqrt{25}} \right| = \left| \frac{-5}{5} \right| = | -1 | = 1 $
Jadi, jarak kedua garis merupakan 1 satuan.

2). Jika titik A(2,1), B(3,-5), dan C($a,-1$) terletak pada satu garis, tentukan nilai $ a $ !
Penyelesaian :
*). Titik $(x_1,y_1) = (2,1), \, (x_2,y_2) = (3,-5), \, (x_3,y_3) = (a,-1) \, $
*). Menentukan nilai $ a \, $ dari syarat segaris
$\begin{align} \frac{y_3-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x_3-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{-1 – 1}{-5-1} & = \frac{a-2}{3-2} \\ \frac{-2}{-6} & = \frac{a-2}{1} \\ \frac{1}{3} & = \frac{a-2}{1} \\ a – 2 & = \frac{1}{3} \\ a & = \frac{1}{3} + 2 \\ a & = \frac{7}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{7}{3} $