Grafik Fungsi Trigonometri

Posted on

         Pondok Soal.comFungsi trigonometri merupakan suatu fungsi yang melibatkan bentuk trigonometri, misalkan fungsi sinus, cosinus, tan, sec, csc, dan fungsi cotangen. Artikel kali ini kita akan membahas Grafik Fungsi Trigonometri, yang artinya penitikberatan ada pada grafiknya. Selain grafik, kita juga akan membahas nilai maksimum atau minimum suatu fungsi trigonometri dengan memanfaatkan bentuk grafik fungsi trigonometri masing-masing dan rumus-rumus dasar yang ada pada trigonometri.

Pengertian Fungsi Periodik
       Fungsi periodik merupakan suatu fungsi yang grafiknya berulang secara terus-menerus dalam setiap periode tertentu. Suatu fungsi $ f(x) \, $ disebut fungsi periodik dengan periode $ p \, $ , apabila memenuhi $ f(x + p ) = f(x) $.

Contoh :
1). Perhatikan grafik fungsi $ f(x) \, $ berikut.

a). Apakah fungsi $ f(x) \, $ merupakan fungsi periodik?
b). Jika $ f(x) \, $ merupakan fungsi periodik, tentukan periodenya?
Penyelesaian :
a). Pada gambar di atas, terlihat jelas bahwa fungsi $ f(x) \, $ merupakan fungsi periodik alasannya grafiknya selalu berulang.
b). Perhatikan klimaks A dan B, dimana klimaks B merupakan pengulangan kembali klimaks A, ini artinya fungsi $ f(x) \, $ mengalami pengulangan setiap jaraknya sama dengan dari titik A ke titik B. Dimana jarak titik A dan B merupakan 2, sesampai kemudian periode fungsi tersebut merupakan 2, atau memenuhi $ f(x + 2 ) = f(x) $.

Grafik Baku fungsi trigonometri
       Fungsi trigonometri merupakan fungsi periodik. Grafi baku fungsi trigonometri merupakan grafik paling mudah pada fungsi trigonometri, yakni untuk fungsi $ f(x) = \sin x , \, f(x) = \cos x , \, $ dan $ f(x) = \tan x $. Salah satu hal penting yang harus kita ketahui dalam grafik fungsi trigonometri merupakan periode dan amplitudo.
Periode merupakan jarak terjadinya pengulangan grafik fungsi trigonometri dari titik pola awal ke titik pengulangan yang pertama. Satu periode pada fungsi trigonometri khususnya fungsi $ y = \sin x \, $ dan $ \cos x \, $ biasanya terdiri dari satu lembah dan satu bukit.
Amplitudo merupakan simpangan terjauh titik pada suatu grafik fungsi trigonometri terhadap garis horizontalnya (misalkan sumbu X).

Berikut grafik baku dari ketiga fungsi trigonometri :
*). Garfik fungsi $ y = \sin x $

*). Garfik fungsi $ y = \cos x $

*). Garfik fungsi $ y = \tan x $

Grafik Fungsi non standar (tak baku) fungsi trigonometri
       Grafik fungsi non standar maksudnya merupakan grafik fungsi trigonometri yang lebih kompleks. Bentuk fungsi yang lebih kompleks merupakan :
*). $ f(x) = a \sin k(x \pm b) \pm c \, \rightarrow \text{ periode } = \frac{2\pi}{k} , \, \text{amplitudo } = |a| $
*). $ f(x) = a \cos k(x \pm b) \pm c \, \rightarrow \text{ periode } = \frac{2\pi}{k}, \, \text{amplitudo } = |a| $
*). $ f(x) = a \tan k(x \pm b) \pm c \, \rightarrow \text{ periode } = \frac{\pi}{k} $
dengan nilai $ \pi = 180^\circ $

Langkah-langkah dalam membuat grafik fungsi trigonometri yang lebih kompleks :
1). Gambar grafik baku fungsi $ f(x) = \sin x , \, f(x) = \cos x , \, $ dan $ f(x) = \tan x $ .

2). Gambar grafik fungsi $ f(x) = a\sin x , \, f(x) = a\cos x , \, $ dan $ f(x) = a\tan x $ , dengan mengubah amplitudonya menjadi sebesar $ a \, $ . Jika nilai $ a \, $ negatif, maka cerminkan grafik baku terhadap sumbu X.

3). Ubah periode fungsi sesuai rumus besar periode masing-masing sesampai kemudian diperoleh grafik fungsi $ f(x) = a\sin kx , \, f(x) = a\cos kx , \, $ dan $ f(x) = a\tan kx $

4). Gambar grafik fungsi $ f(x) = a\sin k(x \pm b) , \, f(x) = a\cos (x \pm b) , \, $ dan $ f(x) = a\tan (x \pm b) \, $ dengan cara menggeser grafik nomor 3 di atas sejauh $ b^\circ $. Jika tandanya faktual ($ x + b$) maka geser kekiri sejauh $ b \, $ dan apabila tandanya negatif ($ x – b$) maka geser kekana sejauh $ b $ .

Baca Juga:   Menentukan Panjang Sisi Segitiga Dengan Hukum Sinus

5). Gambar grafik fungsi $ f(x) = a\sin k(x \pm b) \pm c , \, f(x) = a\cos (x \pm b) \pm c , \, $ dan $ f(x) = a\tan (x \pm b) \pm c \, $ dengan cara menggeser grafik nomor 4 di atas sejauh $ c \, $ . Jika tandanya faktual ($ + c $ ) maka geser ke atas sejauh $ c \, $ dan apabila tandanya negatif ($ – c $) maka geser ke bawah sejauh $ c $ .

Contoh :
2). Gambarlah grafik fungsi trigonometri $ f(x) = 2 \sin 2(x – 45^\circ ) $ ?
Penyelesaian :
Langkah-langkah menggambar grafiknya :
1). Gambar grafik baku fungsi $ f(x) = \sin x $

2). Gambar grafik fungsi $ f(x) = 2 \sin x \, $ dengan amplitudo $ a = 2 $

3). Gambar grafik fungsi $ f(x) = 2 \sin 2 x \, $ dengan periode : $ p = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2} = \pi $

4). Gambar gafik fungsi $ f(x) = 2 \sin 2(x – 45^\circ ) \, $ dengan $ b = 45^\circ \, $ artinya grafik $ f(x) = 2 \sin 2 x \, $ digeser ke kanan alasannya bentuknya negatif sejauh $ 45^\circ $.

Ingat : $ \pi = 180^\circ $

3). Gambarlah grafik fungsi trigonometri $ f(x) = -3 \cos 2(x – 45^\circ ) + 1 $ ?
Penyelesaian :
Langkah-langkah menggambar grafiknya :
1). Gambar grafik baku fungsi $ f(x) = \cos x $

2). Gambar grafik fungsi $ f(x) = -3 \cos x \, $ dengan amplitudo $ a = -3 \, $ alasannya nilai amplitudonya negatif, maka grafik $ y = \cos x \, $ dicerminkan terhadap sumbu X.

3). Gambar grafik fungsi $ f(x) = -3 \cos 2 x \, $ dengan periode : $ p = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2} = \pi $

4). Gambar gafik fungsi $ f(x) = -3 \cos 2(x – 45^\circ ) \, $ dengan $ b = 45^\circ \, $ artinya grafik $ f(x) = -3 \cos 2 x \, $ digeser ke kanan alasannya bentuknya negatif sejauh $ 45^\circ $ .

5). Gambar gafik fungsi $ f(x) = -3 \cos 2(x – 45^\circ ) + 1 \, $ dengan $ c = 1 \, $ artinya grafik $ f(x) = -3 \cos 2(x – 45^\circ ) \, $ di geser ke atas sejauh $ c = 1 \, $ satuan alasannya nilai $ c \, $ positif.

Ingat : $ \pi =180^\circ $

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri
       Untuk fungsi sin dan cos, cara memilih nilai maksimum dan minimumnya merupakan sama. Sementara untuk fungsi tan terdapat nilai maksimum tak hingga kemudian ($ \infty$)dan nilai minimum negatif tak hingga kemudian ($- \infty$). Sebenarnya untuk memilih nilai maksimum dan minimum suatu fungsi trigonometri sanggup memakai metode grafik, maksudnya kita gambar dahulu grafiknya, klimaks pada bukit merupakan nilai maksimumnya dan titik terendah pada lembahnya merupakan nilai minimum. Hanya saja akan butuh waktu yang usang apabila kita harus menggambar grafiknya terlebih dahulu. Kali ini kita akan memilih nilai maksimum dan minimumnya dengan rumus.

Misalkan fungsi $ f(x) = a\sin g(x) + c \, $ dan $ f(x) = a \cos g(x) + c \, $ ,
Nilai maksimum $ = |a| + c $
Nilai Minimum $ = -|a| + c $

Nilai maksimum dan minimumnya sanggup dipakai untuk memilih nilai amplitudonya. Amplitudo = $ \frac{1}{2} $ (nilai maksimum $ – \, $ nilai minimum )

Contoh :
4). Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi-fungsi trigonometri berikut:
a). $ f(x) = 3 \sin 2x + 5 $
b). $ f(x) = -2 \cos 3(x + 98^\circ ) – 7 $
c). $ f(x) = 5 \cos 3(x + 134^\circ ) $
Penyelesaian :
a). Bentuk $ f(x) = 3 \sin 2x + 5 \rightarrow a = 3, \, c = 5 $
Nilai maksimum $ = |a| + c = |3| + 5 = 3 + 5 = 8 $
Nilai Minimum $ = -|a| + c = -|3| + 5 = -3 + 5 = 2 $

Baca Juga:   Tips Cara Menghafal Rumus Trigonometri Sudut Berelasi

b). Bentuk $ f(x) = -2 \cos 3(x + 98^\circ ) – 7 \rightarrow a = -2, \, c = -7 $
Nilai maksimum $ = |a| + c = |-2| + (-7) = 2 -7 = -5 $
Nilai Minimum $ = -|a| + c = -|-2| + (-7) = -2 – 7 = -9 $

c). Bentuk $ f(x) = 5 \cos 3(x + 134^\circ ) \rightarrow a = 5, \, c = 0 $
Nilai maksimum $ = |a| + c = |5| + 0 = 5 + 0 = 5 $
Nilai Minimum $ = -|a| + c = -|5| + 0 = -5 + 0 = -5 $

Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri dalam bentuk fungsi kuadrat
       dari nilai maksimum fungsi trigonometri di atas, sanggup disimpulkan rentang nilai $ \sin g(x) \, $ dan $ \cos g(x) \, $ merupakan $ -1 \leq \sin g(x) \leq 1 \, $ dan $ -1 \leq \cos g(x) \leq 1 \, $ .
Misalkan ada bentuk fungsi kuadrat : $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ ,
Jika nilai $ a > 0 , \, $ maka diperoleh nilai minimum pada dikala $ x = \frac{-b}{2a} $
Jika nilai $ a < 0 , \, $ maka diperoleh nilai maksimum pada dikala $ x = \frac{-b}{2a} $

Pada fungsi trigonometri, bentuk $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ , variabel $ x \, $ dimengganti dengan sin, atau cos, atau tan (misal : $ f(x) = a\sin ^2 x + b \sin x + c $ ).

Nilai maksimum atau nilai minimum fungsi trigonometri bentuk fungsi kuadrat :
i). Menggunakan nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat ($ x = \frac{-b}{2a} $) .
Metode ini dipakai untuk kasus :
*). Pertanyaan sesuai nilai $ a \, $ ( apabila $ a > 0 \, $ yang ditanya nilai minimum, apabila $ a < 0 \, $ yang ditanya nilai maksimum), dan
*). Nilai sin dan cosnya ada pada interval $ -1 \leq \sin g(x) \leq 1 \, $ dan $ -1 \leq \cos g(x) \leq 1 \, $ .

ii). Menggunakan metode kuadrat sempurna. Metode ini dipakai apabila tak memenuhi kondisi i).
Bentuk Kuadrat tepat :
$ x^2 + bx = (x+\frac{1}{2}b)^2 – (\frac{1}{2}b)^2 \, $ dan $ x^2 – bx = (x – \frac{1}{2}b)^2 – (\frac{1}{2}b)^2 \, $
artinya bentuk fungsi awal dan bentuk kuadrat sempurnanya tetap bernilai sama.

Contoh :
5). Tentukan nilai maksimum dari fungsi trigonometri $ f(x) = -\sin ^2 x + 2\sin x + 3 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsinya : $ f(x) = -\sin ^2 x + 2\sin x + 3 \rightarrow f(x) = -(\sin x ) ^2 + 2\sin x + 3 $
artinya nilai $ a = -1 , \, b = 2, \, c = 3 $
Karena nilai $ a < 0 \, $ maka yang ditanyakan merupakan nilai maksimum, sesuai dengan syarat i).
*). Nilai $ \sin x = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2.(-1)} = 1 $
Interval nilai sin memenuhi interval $ -1 \leq \sin g(x) \leq 1 $
Artinya fungsi $ f(x) = -\sin ^2 x + 2\sin x + 3 \, $ maksimum pada dikala nilai $ \sin x = 1 $
*). Nilai maksimumnya : Substitusi nilai $ \sin x = 1 $
$ \begin{align} f_{maks} = -(\sin x ) ^2 + 2\sin x + 3 = -(1 ) ^2 + 2. 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum fungsinya merupakan 4.

6). Nilai minimum dari $ f(x) = \cos ^2 x – \sqrt{3} \cos x + \frac{3}{2} \, $ diperoleh pada dikala $ x = …. $ ?
Penyelesaian :
*). Dari fungsi : $ f(x) = \cos ^2 x – \sqrt{3} \cos x + \frac{3}{2} \rightarrow a = -1, b = -\sqrt{3}, c = \frac{3}{2} $
Nilai $ a > 0 \, $ , artinya yang ditanyakan merupakan nilai minimum, sesuai dengan pertanyaan dan sesuai dengan syart i).
*). Nilai $ \cos x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(- \sqrt{3})}{2.1} = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
Interval nilai cos memenuhi interval $ -1 \leq \cos g(x) \leq 1 $
Artinya fungsi $ f(x) = \cos ^2 x – \sqrt{3} \cos x + \frac{3}{2} \, $ minimum pada dikala nilai $ \cos x = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
*). Menentukan besar sudutnya.
$ \begin{align} \cos x = \frac{1}{2}\sqrt{3} \rightarrow x = 30^\circ \end{align} $
Jadi, nilai minimum fungsinya diperoleh pada dikala $ x = 30^\circ $ .

7). Tentukan bentuk kuadrat tepat dari :
a). $ f(x) = x^2 – 4x + 5 $
b). $ f(x) = 2x^2 + 6x – 2 $
c). $ f(x) = -x^2 + 8x + 3 $
d). $ f(x) = \sin ^2 x + 2 \sin x + 9 $
e). $ f(x) = 3\cos ^2 x – 6 \cos x – 1 $
Penyelesaian :
a). Bentuk $ f(x) = x^2 – 4x + 5 $
$ \begin{align} f(x) & = x^2 – 4x + 5 \\ & = (x – \frac{1}{2}. 4)^2 – (\frac{1}{2}.4)^2 + 5 \\ & = (x – 2)^2 – (2)^2 + 5 \\ & = (x – 2)^2 – 4 + 5 \\ f(x) & = (x – 2)^2 + 1 \end{align} $
b). Bentuk $ f(x) = 2x^2 + 6x – 2 $
$ \begin{align} f(x) & = 2x^2 + 6x – 2 \\ & = 2(x^2 + 3x ) – 2 \\ & = 2[(x + \frac{1}{2}.3)^2 – (\frac{1}{2}.3)^2 ] – 2 \\ & = 2[(x + \frac{3}{2})^2 – \frac{9}{4} ] – 2 \\ & = 2(x + \frac{3}{2})^2 – 2.\frac{9}{4} – 2 \\ & = 2(x + \frac{3}{2})^2 – \frac{9}{2} – 2 \\ & = 2(x + \frac{3}{2})^2 – \frac{9}{2} – \frac{4}{2} \\ f(x) & = 2(x + \frac{3}{2})^2 – \frac{13}{2} \end{align} $
c). Bentuk $ f(x) = -x^2 + 8x + 3 $
$ \begin{align} f(x) & = -x^2 + 8x + 3 \\ & = -(x^2 – 8x ) + 3 \\ & = -[(x- \frac{1}{2}.8)^2 – (\frac{1}{2}.8)^2 ] + 3 \\ & = -[(x- 4)^2 – (4)^2 ] + 3 \\ & = -[(x- 4)^2 – 16 ] + 3 \\ & = -(x- 4)^2 + 16 + 3 \\ f(x) & = -(x- 4)^2 + 19 \end{align} $
d). Bentuk $ f(x) = \sin ^2 x + 2 \sin x + 9 $
$ \begin{align} f(x) & = \sin ^2 x + 2 \sin x + 9 \\ & = (\sin x + \frac{1}{2}.2)^2 – (\frac{1}{2}.2)^2 + 9 \\ & = (\sin x + 1)^2 – (1)^2 + 9 \\ f(x) & = (\sin x + 1)^2 + 8 \end{align} $
e). Bentuk $ f(x) = 3\cos ^2 x – 6 \cos x – 1 $
$ \begin{align} f(x) & = 3\cos ^2 x – 6 \cos x – 1 \\ & = 3[\cos ^2 x – 2 \cos x ]- 1 \\ & = 3[(\cos x – \frac{1}{2}.2)^2 – (\frac{1}{2}.2)^2 ]- 1 \\ & = 3[(\cos x – 1)^2 – (1)]- 1 \\ & = 3(\cos x – 1)^2 – 3- 1 \\ f(x) & = 3(\cos x – 1)^2 – 4 \end{align} $

Baca Juga:   Luas Segitiga Jikalau Diketahui Dua Sudut Satu Sisi

8). Tentukan nilai maksimum dari fungsi $ f(x) = \sin ^2 x – 4 \sin x + 5 $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi : $ f(x) = \sin x – 4 \sin x + 5 \rightarrow a = 1 , b = -4 , c = 5 $
Nilai $ a > 0 \, $ , artinya nilai fungsi merupakan minimum, namun yang ditanyakan merupakan nilai maksimum, sesampai kemudian tak memenuhi syarat i).
*). Bentuk fungsi menjadi kuadrat sempurna.
$ \begin{align} f(x) & = \sin ^2 x – 4 \sin x + 5 \\ & = (\sin x – \frac{1}{2}.4 )^2 – ( \frac{1}{2}.4 )^2 + 5 \\ & = (\sin x – 2 )^2 – ( 2 )^2 + 5 \\ & = (\sin x – 2 )^2 – 4 + 5 \\ f(x) & = (\sin x – 2 )^2 + 1 \end{align} $
*). Bentuk $ \sin x – 2 \, $ :
Nilai maks = $ |1| – 2 = -1 \, $ dan nilai min = $ -|1| – 2 = -3 $
Artinya rentang nilai $ \sin x – 2 \, $ merupakan : $ -3 \leq (\sin x – 2) \leq -1 $
Agar fungsi $ f(x) = (\sin x – 2 )^2 + 1 \, $ maksimum pada interval nilai $ -3 \leq (\sin x – 2) \leq -1 \, $ diperoleh pada dikala nilai $ \sin x – 2 = – 3 $ .
*). Menentukan nilai maksimum fungsinya dengan nilai $ \sin x – 2 = -3 $
$ \begin{align} f(x) & = \sin ^2 x – 4 \sin x + 5 \\ f(x) & = (\sin x – 2 )^2 + 1 \\ & = ( -3 )^2 + 1 \\ & = 9 + 1 \\ f(x) & = 10 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = \sin ^2 x – 4 \sin x + 5 \, $ merupakan 10.