Hubungan Dua Garis Lurus

Posted on

         Pondok Soal.com – Sebelumnya telah dibahas wacana “Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya” serta “Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus“. Kali ini kita akan membahas wacana hubungan dua garis lurus. Untuk memudahkan mempelajari bahan ini, sebaiknya pelajari dahulu bahan “Gradien“. Hubungan dua garis yang akan dipelajari merupakan dua garis yang sejajar (berimpit) dan tegak lurus (berpotongan).

         Hubungan dua garis lurus sangat penting untuk kita pelajari alasannya yaitu biasanya untuk memilih besarnya gradien (kemiringan) suatu garis bergantung dari garis lain. Dengan mengetahui kekerabatan kedua garis, maka kita niscaya sanggup memilih gradien masing-masing. Selain penerapannya pada garis lurus secara langsung, kekerabatan dua garis khususnya gradiennya juga berkhasiat saat kita mempelajari bahan garis singgung kurva dan garis singgung bulat serta garis singgung pada irisan kerucut.

Hubungan Dua Garis Lurus
Macam – macam Hubungan Dua Garis Lurus
       Misalkan diketahui dua garis lurus $ ax+by=c \, $ dan $ px+qy=r \, $ . Ada sedikit kekerabatan yang sanggup kita peroleh dari kedua garis tersebut, yaitu :

*). sejajar
       Dua garis sejajar syaratnya gradiennya sama ($m_1=m_2$).
Jika dilihat dari koefisiennya, syarat kedua garis sejajar yaitu $ \frac{a}{p} = \frac{b}{q} $ . Jika $ \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r} \, $ , maka kedua garis tersebut berimpit. Dan apabila $ \frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} , \, $ maka kedua garis niscaya berpotongan.

*). Tegak lurus
       Dua garis tegak lurus syaratnya persobat semua gradien kedua garis akhirnya $ -1 \, $ atau $ m_1 \times m_2 = -1 $.
Jika dilihat dari koefisiennya, syarat dua garis tegak lurus yaitu $ \frac{a}{b} = -\frac{q}{p} $ .

Contoh :
1). Dari Persamaan garis berikut, manakah pasangan garis yang sejajar dan tegak lurus!
a. $ 2x – y = 5 $
b. $ 6x + 2y -3 = 0 $
c. $ x + 2y -7 = 0 $
d. $ -4x + 2y = 1 $
e. $ -x + 3y – 7 = 0 $
Penyelesaian :
*). Kita tentukan gradien masing-masing
Konsep : $ ax+by=c \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = – \frac{a}{b} $
a. $ 2x – y = 5 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = – \frac{2}{-1} = 2 $
b. $ 6x + 2y -3 = 0 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = – \frac{6}{2} = -3 $
c. $ x + 2y -7 = 0 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = – \frac{1}{2} $
d. $ -4x + 2y = 1 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = – \frac{-4}{2} = 2 $
e. $ -x + 3y – 7 = 0 \rightarrow m = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = – \frac{-1}{3} = \frac{1}{3} $
*). Garis yang sejajar merupakan garis a dan garis d.
*). Garis yang tegak lurus merupakan garis a dan c, serta garis b dan garis e.

Baca Juga:   Gradien Dan Menyusun Persamaan Garis Lurus

2). Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-1,-3) dan sejajar dengan garis $ y = -3x + 5 $ !
Penyelesaian :
garis $ y = -3x + 5 \rightarrow m_1 = -3 $
*). Karena garis yang dicari sejajar dengan garis $ y = -3x + 5, \, $ maka gradiennya sama, sesampai kemudian gradien garis yang dicari merupakan $ m = m_1 = -3 $
*). Menyusun persamaan garis lurusnya
garis melalui titik $(x_1,y_1) =(-1,-3) \, $ dan gradien $ m = -3 $
$ \begin{align} y – y_1 & = m(x-x_1) \\ y – (-3) & = -3(x-(-1)) \\ y + 3 & = -3(x+1) \\ y + 3 & = -3x – 3 \\ y & = -3x – 6 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya merupakan $ y = -3x – 6 $

3). Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-1,-3) dan tegak lurus dengan garis $ y = -3x + 5 $ !
Penyelesaian :
garis $ y = -3x + 5 \rightarrow m_1 = -3 $
*). Karena garis yang dicari tegak lurus dengan garis $ y = -3x + 5, \, $ maka $ m_1.m_2 = -1 \rightarrow -3. m_2 = -1 \rightarrow m_2 = \frac{1}{3} \, $ . artinya gradien garis yang kita cari merupakan $ m = \frac{1}{3} $
*). Menyusun persamaan garis lurusnya
garis melalui titik $(x_1,y_1) =(-1,-3) \, $ dan gradien $ m = \frac{1}{3} $
$ \begin{align} y – y_1 & = m(x-x_1) \\ y – (-3) & = \frac{1}{3}(x-(-1)) \\ y + 3 & = \frac{1}{3}(x+1) \\ 3y + 9 & = x + 1 \\ x – 3y & = 8 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya merupakan $ x – 3y = 8 $

4). Diketahui garis $ (p+1)x – 3y = 3 $ tegak lurus dengan garis $ 2x + (2p – 1)y + 3 = 0 , \, $ tentukan nilai $ 4p – 1 $
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing
$ (p+1)x – 3y = 3 \rightarrow m_1 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = – \frac{p+1}{-3} = \frac{p+1}{3} $
$ 2x + (2p – 1)y + 3 = 0 \rightarrow m_2 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = – \frac{2}{2p-1} $
*). Syarat dua garis tegak lurus : $ m_1.m_2 = -1 $
$ \begin{align} m_1.m_2 & = -1 \\ \left( \frac{p+1}{3} \right) . \left( – \frac{2}{2p-1} \right) & = -1 \\ \left( \frac{2p+2}{6p – 3} \right) & = 1 \\ 2p + 2 & = 6p – 3 \\ 6p – 2p & = 2 + 3 \\ 4p & = 5 \\ p & = \frac{5}{4} \end{align} $
Sesampai kemudian nilai $ 4p – 1 = 4. \frac{5}{4} – 1 = 5 – 1 = 4 $
Jadi, nilai $ 4p-1 = 4 $

Besarnya sudut antara Dua Garis Lurus
       Misalkan diketahui dua garis lurus $ ax+by=c \, $ dan $ px+qy=r \, $ yang masing-masing terdapat gradien $ m_1 \, $ dan $ m_2 . \, $ Besarnya sudut antara kedua garis merupakan $ \alpha , \, $ yang sanggup ditentukn dengan rumus :
              $ \tan \alpha = \frac{m_1 – m_2}{1+m_1.m_2 } $

Contoh :
Tentukan besarnya sudut yang dibuat oleh kedua garis $ y = \sqrt{3}x + 3 \, $ dan garis $ y = -\sqrt{3}x + 7 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing
$ y = \sqrt{3}x + 3 \rightarrow m_1 = \sqrt{3} $
$ y = -\sqrt{3}x + 7 \rightarrow m_2 = -\sqrt{3} $
*). Menentukan besar sudut kedua garis
$ \begin{align} \tan \alpha & = \frac{m_1 – m_2}{1+m_1.m_2 } \\ & = \frac{\sqrt{3} – (-\sqrt{3})}{1+\sqrt{3}.(-\sqrt{3}) } \\ & = \frac{2\sqrt{3}}{1+ (-3) } \\ & = \frac{2\sqrt{3}}{-2} \\ \tan \alpha & = -\sqrt{3} \end{align} $
Diperoleh $ \tan \alpha = – \sqrt{3} \, $ , menurut tabel trigonometri maka diperoleh $ \alpha = 120^\circ $
Atau sudut terkecil kedua garis merupakan $ 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ $
Jadi, besar sudut yang dibuat oleh kedua garis merupakan $ 60^\circ $ .

Menentukan perpotongan dua garis lurus
       Untuk memilih titik potong dua buah garis, sanggup dilakukan dengan teknik eliminasi dan substitusi. Silahkan baca bahan “Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Contoh
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui perpotongan garis $ 3x – y = 2 \, $ dan garis $ 2x + y = 3 \, $ serta tegak lurus dengan garis $ x – 3y + 2 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kedua garis dengan eliminasi dan substitusi
$\begin{array}{cc} 3x – y = 2 & \\ 2x + y = 3 & + \\ \hline 5x = 5 & \\ x = 1 & \end{array} $
Pers(ii) : $ 2x + y = 3 \rightarrow 2 . 1 + y = 3 \rightarrow y = 3 – 2 = 1 $
Sesampai kemudian titik potong kedua garis merupakan (1,1)
*). Menentukan gradien
$ x – 3y + 2 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{\text{koefisien } x }{\text{koefisien } y } = – \frac{1}{-3} = \frac{1}{3} $
*). Karena garis yang dicari tegak lurus dengan garis $ x – 3y + 2 = 0, \, $ maka $ m_1.m_2 = -1 \rightarrow \frac{1}{3}. m_2 = -1 \rightarrow m_2 = -3 $ . artinya gradien garis yang kita cari merupakan $ m = -3 $
*). Menyusun persamaan garis lurusnya
garis melalui titik $(x_1,y_1) =(1,1) \, $ dan gradien $ m = -3 $
$ \begin{align} y – y_1 & = m(x-x_1) \\ y – 1 & = -3(x-1) \\ y – 1 & = -3x + 3 \\ 3x + y & = 4 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya merupakan $ 3x + y = 4 $