Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Posted on

         Pondok Soal.com – Sebelumnya kita telah bahas pengertian integral ialah antiturunan atau invers dari turunan suatu fungsi. Sementara integral tak tentu juga ada pada pembahasan “apa bedanya integral tertentu dan tak tentu“. Pada artikel ini kita akan membahas lebih mendalam bahan Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar. Pada pengertian integral, misalkan fungsi $ f(x) \, $ merupakan turunan dari fungsi $ F(x) + c \, $ , maka sanggup kita tulis bentuk integralnya : $ \int f(x) dx = F(x) + c $ . Pada artikel ini juga akan dibahas sifat-sifat integral tak tentu.

Rumus Integral Fungsi Aljabar
       Untuk $ n $ bilangan rasional dengan $ n \neq – 1$, dan $ a, c $ merupakan bilangan real maka berlaku aturan:
i). $ \int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c $
ii). $ \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $

       Khusus untuk pankatnya $ – 1 \, $ maka berlaku hukum :
i). $ \int x^{-1} dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln x + c $
ii). $ \int ax^{-1} dx = \int \frac{a}{x} dx = a \ln x + c $
dengan fungsi $ \ln x \, $ dibaca “len $ x $” yang sama dengan fungsi logaritma dengan basis $ e = 2,718… $

Contoh soal integral fungsi aljabar :
1). Tentukan hasil integral dari bentuk berikut :
a). $ \int x^3 dx $
b). $ \int 6x^3 dx $
c). $ \int \frac{3}{x} dx $
d). $ \int \sqrt{x} dx $
e). $ \int 5\sqrt[3]{x^2} dx $
f). $ \int x^2.\sqrt[3]{x^2} dx $

Penyelesaian :
*). Kita pribadi gunakan rumus integral fungsi aljabar di atas.
*). Kita membutuhkan sifat eksponen :
$ \begin{align} a^{m+n} = a^m.a^n, \, \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \end{align} \, $ dan $ \begin{align} \, \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} \end{align} $
a). $ \int x^3 dx , \, $ artinya $ n = 3 $
$ \int x^3 dx = \frac{1}{3+1}x^{3+1} + c = \frac{1}{4}x^4 + c $.

b). $ \int 6x^3 dx , \, $ artinya $ a = 6, n = 3 $
$ \int 6x^3 dx = \frac{6}{3+1}x^{3+1} + c = \frac{6}{4}x^4 + c = \frac{3}{2}x^4 + c $.

c). $ \int \frac{3}{x} dx , \, $ artinya $ n = -1 $
$ \int \frac{3}{x} dx = \int 3x^{-1} dx = 3 \ln x + c $

d). $ \int \sqrt{x} dx = \int x^\frac{1}{2} dx , \, $ artinya $ n = \frac{1}{2} $
$ \begin{align} \int \sqrt{x} dx & = \int x^\frac{1}{2} dx \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2} + 1 } x^{\frac{1}{2} + 1} + c \\ & = \frac{1}{\frac{3}{2}} x^\frac{3}{2} + c \\ & = \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} + c \\ & = \frac{2}{3}x^{1 + \frac{1}{2} } + c = \frac{2}{3}x^1.x^\frac{1}{2} + c \\ & = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + c \end{align} $
Jadi, hasil $ \int \sqrt{x} dx = \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} + c = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + c $

Baca Juga:   Jumlah Riemann Pada Integral

e). $ \int 5\sqrt[3]{x^2} dx = \int 5 x^\frac{2}{3} dx , \, $ artinya $ n = \frac{2}{3} $
$ \begin{align} \int 5\sqrt[3]{x^2} dx & = \int 5 x^\frac{2}{3} dx \\ & = \frac{5}{\frac{2}{3} + 1} x^{\frac{2}{3} + 1} + c \\ & = \frac{5}{\frac{5}{3} } x^{\frac{5}{3} } + c \\ & = 5 . \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3} } + c \\ & = 3 x^{\frac{5}{3} } + c \\ & = 3 x^{1 + \frac{2}{3} } + c \\ & = 3 x^1.x^{ \frac{2}{3} } + c \\ & = 3 x\sqrt[3]{x^2} + c \end{align} $
Jadi, hasil $ \int 5\sqrt[3]{x^2} dx = 3 x^{\frac{5}{3} } + c = 3 x\sqrt[3]{x^2} + c $

f). $ \int x^2.\sqrt[3]{x^2} dx = \int x^2.x^\frac{2}{3} dx = \int x^{2 + \frac{2}{3}} dx = \int x^\frac{8}{3} dx , \, $ artinya $ n = \frac{8}{3} $
$ \begin{align} \int x^2.\sqrt[3]{x^2} dx & = \int x^\frac{8}{3} dx \\ & = \frac{1}{\frac{8}{3} + 1} x^{\frac{8}{3} + 1} + c \\ & = \frac{1}{\frac{11}{3} } x^{\frac{11}{3} } + c \\ & = \frac{3}{11} x^{\frac{11}{3} } + c \\ & = \frac{3}{11} x^{3 + \frac{2}{3} } + c \\ & = \frac{3}{11} x^3 . x^{ \frac{2}{3} } + c \\ & = \frac{3}{11} x^3 \sqrt[3]{x^2} + c \end{align} $
Jadi, hasil $ \int x^2.\sqrt[3]{x^2} dx = \frac{3}{11} x^{\frac{11}{3} } + c = \frac{3}{11} x^3 \sqrt[3]{x^2} + c $

Sifat-sifat Integral Tak Tentu
       Untuk memudahkan dalam mengerjakan integral, sebaiknya kita harus menguasai juga sifat-sifat integral tak tentu sebagai berikut :
1). $ \int k dx = kx + c \, $ dimana $ k \, $ merupakan suatu konstanta
2). $ \int k f(x) dx = k \int f(x) dx $
(konstanta sanggup dikeluarkan terlebih dahulu).
3). $ \int [f(x) + g(x) ] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx $
4). $ \int [f(x) – g(x) ] dx = \int f(x) dx – \int g(x) dx $

Catatan :
*). Untuk sifat (3) dan (4), apabila ada sedikit suku suatu fungsi, maka masing-masing suku sanggup diintegralkan langsung.
*). Jika ada bentuk persobat semua fungsi atau pembagian fungsi, maka tak sanggup diintegralkan langsung, tenamun harus dijabarkan terlebih dahulu sesampai lalu terbentuk fungsi $\, ( ax^n + bx^m + cx^k + …. ) $ , sesudah itu gres masing-masing suku kita integralkan.

Contoh soal :
2). Tentukan hasil integral berikut ini :
a). $ \int 3 dx $
b). $ \int 3x^5 dx $
c). $ \int (x^2 + x) dx $
d). $ \int (x^2 – x) dx $
e). $ \int (x^3 – 2x + 5) dx $
f). $ \int (x^2+2)(2x-3) dx $
g). $ \int \frac{x^3+2x^2-1}{3x^2} dx $
h). $ \int \frac{x+4}{\sqrt{x}} dx $
i). $ \int (\sqrt{x} – \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx $

Baca Juga:   Apa Bedanya Integral Tertentu Dan Tak Tentu

Penyelesaian :
a). $ \int 3 dx = 3x + c \, $ (sifat 1)

b). menurut difat (2) :
$ \int 3x^5 dx = 3 \int x^5 dx = 3 . \frac{1}{5+1}x^{5+1} + c = 3 . \frac{1}{6}x^6 + c = \frac{1}{2}x^6 + c $

c). menurut sifat (3) :
$ \int (x^2 + x) dx = \int x^2 dx + \int x dx = \frac{1}{2+1}x^{2+1} + \frac{1}{1+1}x^{1+1} + c = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + c $

d). menurut sifat (4) :
$ \int (x^2 – x) dx = \int x^2 dx – \int x dx = \frac{1}{2+1}x^{2+1} – \frac{1}{1+1}x^{1+1} + c = \frac{1}{3}x^3 – \frac{1}{2}x^2 + c $

e). masing-masing suku pribadi diintegralkan :
$ \begin{align} \int (x^3 – 2x + 5) dx & = \int x^3 dx – \int 2x dx + \int 5 dx \\ & = \frac{1}{3+1}x^{3+1} – \frac{2}{1+1}x^{1+1} + 5x + c \\ & = \frac{1}{4}x^4 – \frac{2}{2}x^2 + 5 + c \\ & = \frac{1}{4}x^4 – \frac{2}{2}x^2 + 5 + c \\ & = \frac{1}{4}x^4 – x^2 + 5 + c \end{align} $

f). Jabarkan dahulu bentuk persobat semuanya, lalu integralkan masing-masing suku :
$ \begin{align} \int (x^2+2)(2x-3) dx & = \int ( 2x^3 – 3x^2 + 4x – 6 ) dx \\ & = \frac{2}{4}x^4 – \frac{3}{3}x^3 + \frac{4}{2}x^2 – 6x + c \\ & = \frac{1}{2}x^4 – x^3 + 2x^2 – 6x + c \end{align} $

g). Sederhanakan terlebih dahulu, lalu integralkan masing-masing suku :
Sifat eksponen : $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} , \, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ .
$ \begin{align} \int \frac{x^3+2x^2-1}{3x^2} dx & = \int \frac{x^3}{3x^2}+\frac{2x^2}{3x^2}-\frac{1}{3x^2} dx \\ & = \int \frac{x}{3 }+\frac{2 }{3 }-\frac{1}{3x^2} dx \\ & = \int \frac{1}{3}x +\frac{2 }{3 }-\frac{1}{3 } x^{-2} dx \\ & = \frac{1}{3}. \frac{1}{1+1}x^{1+1} +\frac{2 }{3 }x-\frac{1}{3 }. \frac{1}{-2+1} x^{-2+1} + c \\ & = \frac{1}{3}. \frac{1}{2}x^2 +\frac{2 }{3 }x-\frac{1}{3 }. \frac{1}{- 1} x^{- 1} + c \\ & = \frac{1}{6}x^2 +\frac{2 }{3 }x + \frac{1}{3 } . \frac{1}{x} + c \\ & = \frac{1}{6}x^2 +\frac{2 }{3 }x + \frac{1}{3 x} + c \end{align} $

h). Sederhanakan terlebih dahulu, lalu integralkan masing-masing suku :
Sifat eksponen : $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} , \, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} , \, \sqrt{a} = x^\frac{1}{2} $ .
$ \begin{align} \int \frac{x+4}{\sqrt{x}} dx & = \int \frac{x+4}{\sqrt{x}} dx \\ & = \int \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{4}{\sqrt{x}} dx \\ & = \int \frac{x}{x^\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^\frac{1}{2}} dx \\ & = \int x^{1-\frac{1}{2}} + 4x^{-\frac{1}{2}} dx \\ & = \int x^\frac{1}{2} + 4x^{-\frac{1}{2}} dx \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2} + 1} + \frac{4}{-\frac{1}{2} + 1}x^{-\frac{1}{2} + 1} + c \\ & = \frac{1}{\frac{3}{2} } x^{\frac{3}{2} } + \frac{4}{\frac{1}{2} }x^{\frac{1}{2} } + c \\ & = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2} } + 4 . \frac{2}{1} \sqrt{x } + c \\ & = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2} } + 8 \sqrt{x } + c \\ & = \frac{2}{3} x \sqrt{x } + 8 \sqrt{x } + c \end{align} $

Baca Juga:   Cara Cepat Menghitung Luas Tempat Berkaitan Integral

i). Sederhanakan terlebih dahulu, lalu integralkan masing-masing suku :
Sifat eksponen : $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} , \, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} , \, \sqrt{a} = x^\frac{1}{2} $ .
$ \begin{align} \int (\sqrt{x} – \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx & = \int (\sqrt{x} – \frac{1}{\sqrt{x}})(\sqrt{x} – \frac{1}{\sqrt{x}}) dx \\ & = \int (\sqrt{x})^2 – 2. \sqrt{x}. \frac{1}{\sqrt{x}} + \left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^2 dx \\ & = \int x – 2 + \frac{1}{x} dx \\ & = \frac{1}{2}x^2 – 2x + \ln x + c \end{align} $

Pembuktian Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

*). kita ingat kembali rumus turunan dasar fungsi aljabar ialah :
$ y = x^n \rightarrow y^\prime = nx^{n-1} \, \, $ dan $ \, \, y = \ln x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} $.
untuk bahan kompleks turunannya, silahkan baca pada artikel :
Turunan Fungsi Aljabar ” dan “Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponen“.

*). Sesuai dengan pengertian integral, maka bentuk $ \int f(x) dx = F(x) + c \, $ benar apabila berlaku turunan fungsi $ ( F(x) + c ) $ merupakan $ f(x) $, artinya kita tinggal menunjukan $ \frac{d}{dx}(F(x) + c) = f(x) \, $ dimana bentuk $ \frac{d}{dx}(F(x) + c) \, $ merupakan turunan dari $ ( F(x) + c ) $.
*). Pembuktian rumus pertama : $ \int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c $
$ \begin{align} \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c \right) & = (n+1) . \frac{1}{n+1}x^{(n+1) -1 } \\ & = x^n \end{align} $
Kaprikornus terbukti bahwa $ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c \right) = x^2 $ .

*). Pembuktian rumus kedua : $ \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $
$ \begin{align} \frac{d}{dx} \left( \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c \right) & = (n+1) . \frac{a}{n+1}x^{(n+1) -1 } \\ & = ax^n \end{align} $
Kaprikornus terbukti bahwa $ \frac{d}{dx} \left( \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c \right) = ax^2 $ .

*). Pembuktian rumus ketiga : $ \int \frac{1}{x} dx = \ln x + c $
$ \begin{align} \frac{d}{dx} \left( \ln x + c \right) & = \frac{1}{x} \end{align} $
Kaprikornus terbukti bahwa $ \frac{d}{dx} \left( \ln x + c \right) = \frac{1}{x} $ .

*). Pembuktian rumus keempat : $ \int \frac{a}{x} dx = a\ln x + c $
$ \begin{align} \frac{d}{dx} \left( a\ln x + c \right) & = a . \frac{1}{x} = \frac{a}{x} \end{align} $
Kaprikornus terbukti bahwa $ \frac{d}{dx} \left( \ln x + c \right) = \frac{a}{x} $ .