Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari “Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar“, kita akan lanjutkan lagi bahan integral yang berkaitan dengan Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri. Sifat-sifat integral tak tentu juga berlaku pada integral fungsi trigonometri. Untuk memudahkan, silahkan baca bahan “Turunan Fungsi Trigonometri” terlebih dahulu alasannya integral merupakan kebalikan dari turunan.

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri (Rumus Dasar)
       Berdasarkan pengertian integral, $ \int f^\prime (x) dx = f(x) + c $, dimana $ f^\prime (x) \, $ merupakan turuan dari fungsi $ f(x) $ :
Rumus integral Trigonometri :
1). $ f(x) = \sin x \rightarrow f^\prime (x) = \cos x $
artinya $ \int \cos x dx = \sin x + c $
2). $ f(x) = \cos x \rightarrow f^\prime (x) = -\sin x $
artinya $ \int – \sin x dx = \cos x + c \, $ atau $ \, \int \sin x dx = -\cos x + c $
3). $ f(x) = \tan x \rightarrow f^\prime (x) = \sec ^2 x $
artinya $ \int \sec ^2 x dx = \tan x + c $
4). $ f(x) = \cot x \rightarrow f^\prime (x) = -\csc ^2 x $
artinya $ \int – \csc ^2 x dx = \cot x + c \, $ atau $ \, \int \csc ^2 x dx = -\cot x + c $
5). $ f(x) = \sec x \rightarrow f^\prime (x) = \sec x \tan x $
artinya $ \int \sec x \tan x dx = \sec x + c $
6). $ f(x) = \csc x \rightarrow f^\prime (x) = -\csc x \cot x $
artinya $ \int -\csc x \cot x dx = \csc x + c \, $
atau $ \, \int \csc x \cot x dx = -\csc x + c $

Contoh soal integral fungsi trigonometri :
1). Tentukan hasil integral berikut ini :
a). $ \int 2\sin x dx $
b). $ \int \sin x – \cos x dx $
c). $ \int \frac{\sin x + \csc x}{\tan x } dx $
d). $ \int \frac{\tan x + \cot x}{\sin 2 x } dx $

Penyelesaian :
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sec x = \frac{1}{\cos x }, \, \csc x = \frac{1}{\sin x}, \, \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \, \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $.
*). Soal yang ada kita arahkan menjadi bentuk rumus dasar integral trigonometri di atas.
a). $ \int 2\sin x dx = 2 \int \sin x dx = 2(-\cos x ) + c = -2\cos x + c $

b). $ \int \sin x – \cos x dx = -\cos x – \sin x + c $

c). Kita simpelkan soalnya :
$ \begin{align} \int \frac{\sin x + \csc x}{\tan x } dx & = \int \frac{\sin x + \csc x}{ \frac{\sin x}{\cos x} } dx \\ & = \int (\sin x + \csc x) \times \frac{\cos x}{\sin x} dx \\ & = \int ( \sin x . \times \frac{\cos x}{\sin x} + \csc x \times \frac{\cos x}{\sin x} ) dx \\ & = \int ( \cos x + \csc x \cot x ) dx \\ & = \sin x – \csc x + c \end{align} $
Sesampai kemudian, hasil dari $ \int \frac{\sin x + \csc x}{\tan x } dx = \sin x – \csc x + c $.

d). Kita simpelkan soalnya : $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $
$ \begin{align} \int \frac{\tan x + \cot x}{\sin 2 x } dx & = \int \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} }{2 \sin x \cos x } dx \\ & = \int \frac{\frac{\sin x}{\cos x} }{2 \sin x \cos x } + \frac{ \frac{\cos x}{\sin x} }{2 \sin x \cos x } dx \\ & = \int \frac{\sin x}{\cos x . 2 \sin x \cos x} + \frac{\cos x}{\sin x . 2 \sin x \cos x} dx \\ & = \int \frac{1}{\cos x . 2 \cos x} + \frac{1}{\sin x . 2 \sin x } dx \\ & = \int \frac{1}{2} ( \frac{1}{\cos ^2 x } + \frac{1}{\sin ^2 x } ) dx \\ & = \frac{1}{2} \int \sec ^2 x + \csc ^2 x dx \\ & = \frac{1}{2} (\tan x – \cot x ) + c \end{align} $
Sesampai kemudian, hasil dari $ \int \frac{\tan x + \cot x}{\sin 2 x } dx = \frac{1}{2} (\tan x – \cot x ) + c $.

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri (Rumus Dasar II)
       Untuk berikut ini, kita akan pelajari rumus integral trigonometri dengan sudut yang lebih kompleks.
Rumus integral Trigonometri :
1). $ f(x) = \sin (ax+b) \rightarrow f^\prime (x) = a\cos (ax + b) $
artinya $ \int a\cos (ax + b) dx = \sin (ax+b) + c $
atau $ \int \cos (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sin (ax+b) + c $
2). $ f(x) = \cos (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\sin (ax + b) $
artinya $ \int – a\sin (ax + b) dx = \cos (ax + b) + c \, $
atau $ \, \int \sin (ax + b) dx = -\frac{1}{a}\cos (ax + b) + c $
3). $ f(x) = \tan (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = a \sec ^2 (ax + b) $
artinya $ \int a \sec ^2 (ax + b) dx = \tan (ax + b) + c $
atau $ \int \sec ^2 (ax + b) dx = \frac{1}{a} \tan (ax + b) + c $
4). $ f(x) = \cot (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\csc ^2 (ax + b) $
artinya $ \int – a\csc ^2 (ax + b) dx = \cot (ax + b) + c \, $
atau $ \, \int \csc ^2 (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cot (ax + b) + c $
5). $ f(x) = \sec (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = a\sec (ax + b) \tan (ax + b) $
artinya $ \int a\sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \sec (ax + b) + c $
atau $ \int \sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sec (ax + b) + c $
6). $ f(x) = \csc (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\csc (ax + b) \cot (ax + b) $
artinya $ \int -a\csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = \csc (ax + b) + c $
atau $ \int \csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = – \frac{1}{a} \csc (ax + b) + c $

Contoh soal integral fungsi trigonometri :
2). Tentukan hasil integral dari :
a). $ \int \sin (2x + 3) dx $
b). $ \int 6\sin (1-3x) dx $
c). $ \int \sec ^2 (4x) dx $
d). $ \int \csc ^2 (-2x + 1) + \sin (2x) dx $
e). $ \int \sec (x – 1) \tan (x-1) dx $
f). $ \int \csc (5x – 3) \cot (5x – 3) dx $

Baca Juga:   Jumlah Riemann Pada Integral

Penyelesaian :
a). $ \int \sin (2x + 3) dx = -\frac{1}{2} \cos (2x + 3) + c $
b). $ \int 6\cos (1-3x) dx = \frac{6}{-3} \sin (1-3x) + c = -2\sin (1-3x) + c $
c). $ \int \sec ^2 (4x) dx = \frac{1}{4} \tan (4x) + c $
d). $ \int \csc ^2 (-2x + 1) + \sin (2x) dx = -\frac{1}{-2} \cot (-2x + 1) – \frac{1}{2} \cos (2x) + c $
$ = \frac{1}{2} \cot (-2x + 1) – \frac{1}{2} \cos (2x) + c $
e). $ \int \sec (x – 1) \tan (x-1) dx = \sec (x-1) + c $
f). $ \int \csc (5x – 3) \cot (5x – 3) dx = -\frac{1}{5} \csc (5x-3) + c $

Rumus Persobat semua Fungsi yang kerap dipakai
       Berikut merupakan rumus persobat semua fungsi trigonometri yang kerap dipakai dalam integral trigonometri :
*). $ 2 \sin A \cos B = \sin (A+B) + \sin (A-B) \, $
atau $ \, \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) + \sin (A-B)] $
*). $ 2 \cos A \sin B = \sin (A+B) – \sin (A-B) \, $
atau $ \, \cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) – \sin (A-B)] $
*). $ 2 \cos A \cos B = \cos (A+B) + \cos (A-B) \, $
atau $ \, \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A+B) + \cos (A-B)] $
*). $ -2 \sin A \sin B = \cos (A+B) – \cos (A-B) \, $
atau $ \, \sin A \sin B = -\frac{1}{2} [\cos (A+B) – \cos (A-B)] $

Dari dua rumus terakshir di atas apabila $ A + B = f(x) \, $ maka kita peroleh :
*). $ \cos ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2p f(x) ] $
*). $ \sin ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 – \cos 2p f(x) ] $

Untuk bahan lebih kompleksnya, silahkan baca : “Rumus Persobat semua, Penjumlahan, dan Pengurangan Trigonometri“.

Contoh Soal :
3). Tentukan hasil integral fungsi trigonometri berikut ini :
a). $ \int \sin 5x \cos 2x dx $
b). $ \int 4\cos 7x \sin 4x dx $
c). $ \int 3cos (3x – 1) \cos (2x + 2) dx $
d). $ \int \cos ^2 3x dx $
e). $ \int \sin ^4 5x dx $

Baca Juga:   Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak

Penyelesaian :
a). Gunakan rumus : $ \, \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) + \sin (A-B)] $
$ \begin{align} \int \sin 5x \cos 2x dx & = \int \frac{1}{2} [ \sin (5x+2x) + \sin (5x-2x)] dx \\ & = \int \frac{1}{2} [ \sin (7x) + \sin (3x)] dx \\ & = \frac{1}{2} \int [ \sin (7x) + \sin (3x)] dx \\ & = \frac{1}{2} [ -\frac{1}{7}\cos (7x) – \frac{1}{3} \cos (3x)] + c \\ & = -\frac{1}{14}\cos (7x) – \frac{1}{6} \cos (3x) + c \end{align} $

b). Gunakan rumus : $ \, \cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) – \sin (A-B)] $
$ \begin{align} \int 4\cos 7x \sin 4x dx & = \int 4 . \frac{1}{2} [ \sin (7x + 4x ) – \sin (7x – 4x)] dx \\ & = \int 2 [ \sin (11x ) – \sin (3x)] dx \\ & = 2 [ – \frac{1}{11} \cos (11x ) – (-\frac{1}{3}\cos (3x)) + c \\ & = 2 [ – \frac{1}{11} \cos (11x ) + \frac{1}{3}\cos (3x) + c \\ & = – \frac{2}{11} \cos (11x ) + \frac{2}{3}\cos (3x) + c \end{align} $

c). Gunakan rumus : $ \, \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A+B) + \cos (A-B)] $
$ \begin{align} & \int 3cos (3x – 1) \cos (2x + 2) dx \\ & = \int 3 . \frac{1}{2} [ \cos ((3x – 1) + (2x + 2)) + \cos ((3x – 1) – (2x + 2))] dx \\ & = \int \frac{3}{2} [ \cos (5x + 1) + \cos (x – 3)] dx \\ & = \frac{3}{2} [ \frac{1}{5} \sin (5x + 1) + \sin (x – 3)] + c \\ & = \frac{3}{10} \sin (5x + 1) + \frac{3}{2} \sin (x – 3) + c \end{align} $

d). Gunakan rumus : $ \, \cos ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2p f(x) ] $
$ \int \cos ^2 3x dx $
$ \begin{align} \int \cos ^2 3x dx & = \int \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2 . 3x ] dx \\ & = \int \frac{1}{2} [ 1 + \cos 6x ] dx \\ & = \frac{1}{2} [ x + \frac{1}{6} \sin 6x ] + c \\ & = \frac{1}{2}x + \frac{1}{12} \sin 6x + c \end{align} $

Baca Juga:   Pembuktian Teorema Mendasar Kalkulus I Dan Ii

e). Gunakan rumus : $ \, \sin ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 – \cos 2p f(x) ] $
$ \begin{align} \int \sin ^4 5x dx & = \int \sin ^2 5x \sin ^2 5x dx \\ & = \int (\sin ^2 5x)^2 dx \\ & = \int (\frac{1}{2} [ 1 – \cos 2 . 5x ])^2 dx \\ & = \int \frac{1}{4} [ 1 – \cos 10x ]^2 dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 – 2 \cos 10 x + \cos ^2 10 x ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 – 2 \cos 10 x + \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2 . 10x ] ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 – 2 \cos 10 x + \frac{1}{2} [ 1 + \cos 20x ] ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 – 2 \cos 10 x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 20x ] dx \\ & = \frac{1}{4} [ x – \frac{2}{10} \sin 10 x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} . \frac{1}{20} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{1}{4} [ \frac{3}{2}x – \frac{2}{10} \sin 10 x + \frac{1}{40} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{3}{8}x – \frac{2}{40} \sin 10 x + \frac{1}{160} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{3}{8}x – \frac{1}{20} \sin 10 x + \frac{1}{160} \sin 20x ] + c \end{align} $