Invers Fungsi Eksponen Dan Logaritma

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah sebelumnya kita membahas artikel “fungsi invers dan komposisi”, kita lanjutkan dengan pembahasan bahan Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma. Invers fungsi eksponen dan logaritma ini sengaja kita bahas sendiri lantaran bentuknya yang unik dan perlu teman-teman ketahui bahwa fungsi eksponen dan fungsi logaritma merupakan dua fungsi yang saling invers. Ini artinya, invers fungsi eksponen merupakan fungsi logartima, dan berlaku juga sebaliknya ialah invers fungsi logaritma merupakan fungsi eksponen.

         Materi-materi yang harus kita kuasai untuk memudahkan mempelajari bahan Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma yaitu definisi logaritma, definisi invers fungsi, dan invers fungsi komposisi. Mari kita baca penterangannya berikut ini.

Definisi logaritma
       Definisi logartima :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
dengan $ a, \, b, \, c \, $ merupakan bilangan real
dan syaratnya $ a > 0, \, a \neq 1 , \, $ dan $ b > 0 $.

Definisi Invers Fungsi
       Misalkan ada fungsi $ y = f(x) \, $ yang bijektif, maka invers fungsinya merupakan :
$ \begin{align} y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1} (y) \end{align} $

Invers Fungsi Komposisi
       Berikut merupakan invers fungsi komposisi :
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) & = (g^{-1} \circ f^{-1} ) (x) \\ (g \circ f)^{-1} (x) & = (f^{-1} \circ g^{-1} ) (x) \end{align} $

Contoh soal invers fungsi eksponen dan logaritma :
1). Tentukan invers dari fungsi $ f(x) = 3^x $?
Penyelesaian :
*). Untuk memilih invers fungsi, kita ubah $ f(x) = y $ sesudah itu kita gunakan definisi invers fungsi sesampai lalu menjadi $ x = f^{-1} (y) $. Untuk sanggup memilih inversnya, kita harus memakai definisi logaritma.
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} f(x) & = 3^x \\ y & = 3^x \end{align} $
Definisi logaritma :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
atau
$ \begin{align} b = a^c \Leftrightarrow c = {}^a \log b \end{align} $
Sesampai lalu :
$ \begin{align} y = 3^x \Leftrightarrow x = {}^3 \log y \end{align} $
Artinya $ f^{-1} (y) = {}^3 \log y \, $ atau $ f^{-1} (x) = {}^3 \log x $ .
Jadi, invers dari $ f(x) = 3^x \, $ merupakan $ f^{-1} (x) = {}^3 \log x. \, \heartsuit $

Baca Juga:   Daerah Asal Dan Tempat Hasil Komposisi Fungsi

2). Tentukan invers dari fungsi eksponen $ g(x) = 5^{2x + 1} $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} g(x) & = 5^{2x + 1} \\ y & = 5^{2x + 1} \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi logaritma)} \\ 2x + 1 & = {}^5 \log y \\ 2x & = {}^5 \log y – 1 \\ 2x & = {}^5 \log y – {}^5 \log 5 \, \, \, \, \, \, \, \text{(sifat logaritma)} \\ 2x & = {}^5 \log \frac{y}{5} \\ x & = \frac{1}{2} \times {}^5 \log \frac{y}{5} \, \, \, \, \, \, \, \text{(sifat logaritma)} \\ x & = {}^5 \log \left( \frac{y}{5} \right)^\frac{1}{2} \\ x & = {}^5 \log \sqrt{\frac{y}{5} } \\ g^{-1} (y) & = {}^5 \log \sqrt{\frac{y}{5} } \\ \text{ atau } & \\ g^{-1} (x) & = {}^5 \log \sqrt{\frac{x}{5} } \end{align} $
Jadi, invers fungsi $ g(x) = 5^{2x + 1} \, $ merupakan $ g^{-1} (x) = {}^5 \log \sqrt{\frac{x}{5} } $.

3). Tentukan invers dari fungsi eksponen $ f(x) = {}^2 \log x $ ?
Penyelesaian :
*). Definisi logaritma :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
atau
$ \begin{align} c = {}^a \log b \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} f(x) & = {}^2 \log x \\ y & = {}^2 \log x \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi logaritma)} \\ x & = 2^y \\ f^{-1} (y) & = 2^y \\ \text{atau} & \\ f^{-1} (x) & = 2^x \end{align} $
Jadi, invers fungsi $ f(x) = {}^2 \log x \, $ merupakan $ f^{-1} (x) = 2^x $.

4). Tentukan invers dari fungsi eksponen $ h(x) = {}^7 \log ( 3x – 5) $ ?
Penyelesaian :
*). Definisi logaritma :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
atau
$ \begin{align} c = {}^a \log b \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} h(x) & = {}^7 \log ( 3x – 5) \\ y & = {}^7 \log ( 3x – 5) \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi logaritma)} \\ 3x – 5 & = 7^y \\ 3x & = 7^y + 5 \\ x & = \frac{7^y + 5}{3} \\ x & = \frac{1}{3}(7^y + 5) \\ h^{-1}(y) & = \frac{1}{3}(7^y + 5) \\ \text{atau} & \\ h^{-1}(x) & = \frac{1}{3}(7^x + 5) \end{align} $
Jadi, invers fungsi $ h(x) = {}^7 \log ( 3x – 5) \, $ merupakan $ h^{-1}(x) = \frac{1}{3}(7^x + 5) $.

Baca Juga:   Fungsi Komposisi

5). Diketahui fungsi $ f(x) = 3^x \, $ dan $ g(x) = {}^2 \log x $.
Tentukan :
a). $ (f \circ g)^{-1} (x) $
b). $ (g \circ f)^{-1} (x) $
Penyelesaian :
*). Menentukan invers masing-masing fungsi terlebih dahulu :
Invers fungsi $ f(x) = 3^x $ :
$ \begin{align} f(x) & = 3^x \\ y & = 3^x \\ x & = {}^3 \log y \\ f^{-1}(x) & = {}^3 \log x \end{align} $
Invers fungsi $ g(x) = {}^2 \log x $ :
$ \begin{align} g(x) & = {}^2 \log x \\ y & = {}^2 \log x \\ x & = 2^y \\ g^{-1}(x) & = 2^x \end{align} $
*). Menentukan invers komposisi dengan sifat invers komposisinya :
a). Hasil bentuk $ (f \circ g)^{-1} (x) $
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) & = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) \\ & = g^{-1}(f^{-1}(x)) \\ & = g^{-1}({}^3 \log x ) \\ & = 2^{{}^3 \log x} \end{align} $
Jadi, bentuk $ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) = 2^{{}^3 \log x} \end{align} $

b). Hasil bentuk $ (g \circ f)^{-1} (x) $
$ \begin{align} (g \circ f)^{-1} (x) & = (f^{-1} \circ g^{-1})(x) \\ & = f^{-1}(g^{-1}(x)) \\ & = f^{-1}(2^x ) \\ & = {}^3 \log 2^x \end{align} $
Jadi, bentuk $ \begin{align} (g \circ f)^{-1} (x) = {}^3 \log 2^x \end{align} $

6). Diketahui fungsi $ f(x) = {}^3 \log x \, $ dan $ g(x) = \frac{5x – 2}{4x + 7} $. Tentukan hasil $ (f \circ g)^{-1} (x) $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan invers masing-masing fungsi :
Invers fungsi $ f(x) = {}^3 \log x $ :
$ \begin{align} f(x) & = {}^3 \log x \\ y & = {}^3 \log x \\ x & = 3^y \\ f^{-1} (x) & = 3^x \end{align} $
Invers fungsi $ g(x) = \frac{5x – 2}{4x + 7} $ :
$ \begin{align} g(x) & = \frac{5x – 2}{4x + 7} \\ y & = \frac{5x – 2}{4x + 7} \\ y(4x + 7) & = 5x – 2 \\ 4xy + 7y & = 5x – 2 \\ 4xy – 5x & = -7y – 2 \\ x(4y – 5) & = -7y – 2 \\ x & = \frac{-7y – 2}{4y – 5} \\ g^{-1} & = \frac{-7x – 2}{4x – 5} \end{align} $
*). Menentukan hasil $ (f \circ g)^{-1} (x) $ :
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) & = (g^{-1} \circ f^{-1}) (x) \\ & = g^{-1} ( f^{-1}(x)) \\ & = g^{-1} (3^x) \\ & = \frac{-7 \times 3^x – 2}{4 \times 3^x – 5} \end{align} $
Jadi, kesudahannya $ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) = \frac{-7 \times 3^x – 2}{4 \times 3^x – 5} \end{align} $

Baca Juga:   Kumpulan Rumus Cepat Komposisi Fungsi Dilengkapi Contoh

         Demikian pembahasan bahan Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga bahan lain yang berkaitan dengan fungsi dan invers fungsi. Semoga bahan ini sanggup bermanfaat. Terima kasih.