Irisan Dua Lingkaran

Posted on

         Pondok Soal.comIrisan Dua Lingkaran merupakan bahan matematika peminatan. Materi yang akan dipelajari pada irisan dua lingkaran ialah “kedudukan dua lingkaran“, “garis singgung komplotan lingkaran“, “luas dan keliling irisan dua lingkaran“,  “kuasa pada lingkaran“, dan “berkas lingkaran“. Untuk memudahkan dalam mempelajari irisan dua lingkaran, kita harus menguasai bahan “jarak dua titik“, “panjang busur dan luas juring”, dan “aturan cosinus pada segitiga”. Berikut akan diterangkan sedikit bahan dasar yang diharapkan dalam mempelajari irisan dua lingkaran.

Jarak Dua titik
       Misalkan ada titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$), jarak kedua titik A dan B merupakan :

Jarak = $ |AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } $

Konsep jarak dua titik ini akan dipakai pada bahan “kedudukan dua lingkaran” dan menghitung luas serta keliling irisan lingkaran.

Contoh :
Tentukan jarak titik A(1,2) dan titik B(-2, 6) !
Penyelesaian :
*). Jarak titik A dan B kita simbolkan $ |AB| $ :
$ \begin{align} |AB| & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } \\ & = \sqrt{(-2-1)^2 + (6-2)^2 } \\ & = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2 } \\ & = \sqrt{9 + 16 } \\ & = \sqrt{25 } \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, jarak A dan B merupakan 5 satuan.

Panjang busur, Luas juring, dan Luas Tembereng
       Berikut gambar busur, juring, dan tembereng pada bundar

Rumus dasarnya :
$\begin{align} \text{Panjang Busur AB } & = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2 \pi r \\ \text{Luas Juring AOB } & = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2 \\ \text{Luas Tembereng AB } & = \text{Luas Juring AOB } – \text{Luas Segitiga AOB } \end{align} $

dimana $ r = \, $ jari-jari bundar dan $ \pi = \frac{22}{7} = 3,14 $

Konsep panjang busur, luas juring, dan luas tembereng dipakai untuk bahan “luas dan keliling irisan lingkaran”.

Baca Juga:   Keliling Irisan Dua Bundar Bentuk 3

Contoh :
Perhatikan Gambar di bawah ini. Diketahui panjang jari-jari OA = 10 cm. Jika besar $ \angle AOB = 60^\circ $ , hitunglah :

a). panjang AB ;
b). luas juring OAB;
c). luas tembereng AB.
Penyelesaian :
a). Panjang busur AB ,
$ \begin{align} \text{panjang busur AB } & = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2 \pi r \\ & = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2 \times 3,14 \times 10 \\ & = \frac{1}{6} \times 62,8 \\ & = 10, 47 \end{align} $
b). luas juring OAB ,
$ \begin{align} \text{Luas Juring AOB } & = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2 \\ & = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 3,14 \times 10^2 \\ & = \frac{1}{6} \times 314 \\ & = 52,33 \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga AOB :
Karena $ \angle AOB = 60^\circ $ , maka segitiga AOB sama sisi. Luas segitiga sama sisi merupakan $ \text{Luas } = \frac{1}{4} a^2 \sqrt{3} $ dengan $ a \, $ merupakan sisi segitiga atau di sini nilai $ a \, $ sama dengan jari-jari.
$\begin{align} \text{Luas Segitiga AOB } & = \frac{1}{4} a^2 \sqrt{3} \\ & = \frac{1}{4} 10^2 \sqrt{3} \\ & = 25\sqrt{3} = 43,30 \end{align} $
c). luas tembereng AB
$\begin{align} \text{Luas Tembereng AB } & = \text{Luas Juring AOB } – \text{Luas Segitiga AOB } \\ & = 52,33 – 43,30 \\ & = 9,03 \end{align} $
Jadi, panjang busur AB = 10,47 cm, luas juring AOB = 52,33 cm$^2$ , dan luas tembereng AB = 9,03 cm$^2$.

Aturan Cosinus pada segitiga
       Aturan Cosinus dipakai untuk memilih besarnya sudut suatu segitiga. Misalkan ada segitiga sperti dibawah ini :

Rumus hukum cosinusnya merupakan :
$ BC^2 = AC^2 + AB^2 – 2. AC. AB . \cos A \, $ atau $ \cos A = \frac{AC^2 + AB^2 – BC^2}{2.AC.AB} $

Contoh :
Diketahui segitiga menyerupai gambar berikut.

Tentukan besarnya sudut BAC?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai cosinus sudut BAC :
$ \begin{align} \cos A & = \frac{AC^2 + AB^2 – BC^2}{2.AC.AB} \\ & = \frac{4^2 + 6^2 – 5^2}{2.4.6} \\ & = \frac{16 + 36 – 25}{48} \\ \cos A & = \frac{27}{48} \\ \cos A & = \frac{9}{16} \end{align} $
*). Menentukan besar sudut BAC :
$ \begin{align} \cos \angle BAC & = \frac{9}{16} \\ \angle BAC & = arc \cos \frac{9}{16} \\ \angle BAC & = 55,77^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudut BAC merupakan $ 55,77^\circ $ .

Cara Menentukan besarnya sudut yang diketahui nilai cosinusnya memakai kalkulator
       Untuk sanggup menghitung besarnya sudut yang diketahui nilai cosinusnya, kita harus memakai kalkulator scientific.
Lankah-langkahnya :
Tekan tombol SHIFT —>>> tekan tombol COS
—>>> tekan ANGKAnya —>>> tekan =

Contoh :
Tentukan besarnya sudut BAC apabila diketahui $ \cos \angle BAC = \frac{9}{16} $ !
Penyelesaian :
Tekan tombol SHIFT —>>> tekan tombol COS —>>> tekan $ \frac{9}{16} \, $ —>>> tekan = ,
maka kesannya $ 55,77 $ . Ini artinya besar sudut BAC merupakan $ 55,77^\circ $ .