Jarak Dua Bidang Pada Dimensi Tiga

Posted on

         Pondok Soal.com – Konsep jarak terakhir yang akan kita bahas yang berkaitan jarak pada dimensi tiga tingkat Sekolah Menengan Atas merupakan Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga. Sebagaimana biasa, konsep jarak yang akan kita hitung dalam bahan Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga merupakan jarak terdekat dari kedua bidang tersebut. Untuk memilih jarak terdekatnya, kita akan menerapkan langkah-langkah yang diharapkan dalam menghitung Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga. Untuk memudahkan dalam mempelajari bahan Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga ini, teman-teman harus menguasai bahan jarak sebelumnya menyerupai jarak dua titik dan jarak titik ke garis dalam artikel “Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang“, “jarak titik ke bidang“, “jarak dua garis“, dan “jarak garis dan bidang pada dimensi tiga“. Materi konsep jarak sebelumnya sangat penting lantaran kita tak sanggup menghitung pribadi jarak dua bidang melainkan menyederhanakan sesampai lalu jaraknya sama dengan jarak titik ke garis atau jarak lainnya yang sudah kita pelajari.

Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga
Misalkan terdapat dua bidang U dan V yang tak saling berpotongan (apabila berpotongan maka jaraknya nol). Perhatikan gambar gambaran di atas, langkah-langkah memilih jarak kedua bidang tersebut ialah :
1). Buat bidang W yang tegak lurus dengan bidang U dan bidang V,
2). Misalkan garis $ g $ dan $ h $ merupakan perpotongan bidang W dengan bidang U dan bidang W dengan bidang V,
3). Jarak U ke V = jarak garis $ g $ ke $ h $.

Ada dua cara untuk memilih jarak $ g $ dan $ h $ ialah :
Cara I :
i). Pilih sembarang satu titik P pada salah satu garis,
ii). Jarak $ g $ dan $ h $ merupakan jarak titik titik P ke garis yang tak memuat P.
Cara II :
a). buat bidang T yang tegak lurus garis $ g $ dan $ h $,
b). bidang U memotong garis $ g $ dan $ h $ masing-masing di titik P dan Q,
c). Jarak $ g $ ke $ h $ = jarak titik P ke titik Q.

Baca Juga:   Cara Menggambar Atau Melukis Kubus

Contoh Soal Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga

1). Sebuah kubus ABCD.EFGH terdapat panjang rusuk 3 cm. Tentukan jarak bidang BCGF dan ADHE!
Penyelesaian :

*). Buat bidang yang tegak lurus BCGF dan ADHE ialah bidang ABFE.
*). ABFE memotong BCGF dan ADHE di BF dan AE, sesampai lalu jaraknya merupakan BF ke AE.
*). Buat bidang tegak lurus BF dan AE ialah ABCD dimana ABCD memotong BF dan AE di A dan B, sesampai lalu jaraknya merupakan A ke B ialah 3 cm.
Jadi, jarak bidang BCGF dan ADHE merupakan 3 cm.

2). Sebuah kubus ABCD.EFGH terdapat panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak bidang BDE dan CFH!
Penyelesaian :

*). Buat bidang yang tegak lurus BDE dan CFH ialah bidang ACGE.
*). ACGE memotong BDE dan CFH di PE dan CQ, sesampai lalu jaraknya merupakan PE ke CQ.
*). Kita pilih titik P pada PE, sesampai lalu jaraknya merupakan P ke CQ ialah panjang PN. Untuk memudahkan perhitungan PN, kita fokus pada segitiga CPQ yang siku-siku di P.
*). Menentukan panjang sisi-sisi CPQ
$ CP = \frac{1}{2}AC = 3\sqrt{2} \, $ cm
PQ = CG = 6 cm
$ CQ = \sqrt{CP^2 + PQ^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 6^2} = 3\sqrt{6}= 3\sqrt{2} \sqrt{3} $
*). Konsep luas segitiga CPQ :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.CP.PQ & = \frac{1}{2}.CQ.PN \\ CP.PQ & = CQ.PN \\ 3\sqrt{2} . 6 & = 3\sqrt{2} \sqrt{3} .PN \\ 6 & = \sqrt{3} .PN \\ PN & = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak BDE dan CFH merupakan $ 2\sqrt{3} \, $ cm.

3). Sebuah kubus ABCD.EFGH terdapat panjang rusuk 4 cm. Titik-titik P, Q, R, dan S terletak di tengah-tengah AB, EF, EH, dan AD. Titik-titik T, U, V, dan W terletak di tengah-tengah BC, FG, GH, dan CD. Tentukan jarak bidang PQRS dan TUVW!
Penyelesaian :

*). Buat bidang yang tegak lurus PQRS dan TUVW ialah bidang ACGE.
*). ACGE memotong PQRS dan TUVW di MN dan XY, sesampai lalu jaraknya merupakan MN ke XY.
*). Buat bidang tegak lurus MN dan XY ialah ABCD dimana ABCD memotong MN dan XY di M dan X, sesampai lalu jaraknya merupakan M ke X.
$ MX = \frac{2}{4}AC = \frac{2}{4} . 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} $
Jadi, jarak bidang PQRS dan TUVW merupakan $ 2\sqrt{2} \, $ cm.

Baca Juga:   Jarak Titik Dan Bidang Pada Dimensi Tiga

4). Sebuah kubus ABCD.EFGH terdapat panjang rusuk 2 cm. Titik P dan Q masing-masing terletak ditengah-tengah AE dan CG. Tentukan jarak bidang PFH dan QBD!
Penyelesaian :

*). Buat bidang yang tegak lurus PFH dan QBD ialah bidang ACGE.
*). ACGE memotong PFH dan QBD di PX dan QY, sesampai lalu jaraknya merupakan PX ke QY.
*). Kita pilih titik X pada PX, sesampai lalu jaraknya merupakan X ke QY ialah panjang XN. Untuk memudahkan perhitungan XN, kita fokus pada segitiga XQY.
*). Menentukan panjang sisi-sisi XQY
XY = CG = 2 cm
Pada segitiga CQY :
$ QY = \sqrt{YC^2 + CQ^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3} \, $ cm
QX = QY = $ \, \sqrt{3} \, $ cm
Misalkan $ YN = s $, maka $ NQ = \sqrt{3} – s $
*). Menentukan $ s $ pada $ \Delta XQY $ :
$ \begin{align} t^2 \, (\Delta YNX) & = t^2 \, (\Delta QNX) \\ XY^2 – YN^2 & = XQ^2 – NQ^2 \\ 2^2 – s^2 & = (\sqrt{3})^2 – ( \sqrt{3} – s)^2 \\ 4 – s^2 & = 3 – ( 3 – 2\sqrt{3}s + s^2) \\ 4 – s^2 & = 3 – 3 + 2\sqrt{3}s – s^2 \\ 4 & = 2\sqrt{3}s \\ s & = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{3} \end{align} $
*). Menentukan $ XN = t $ pada segitiga YNX :
$ \begin{align} t & = \sqrt{XY^2 – YN^2} \\ & = \sqrt{2^2 – s^2} \\ & = \sqrt{2^2 – (\frac{2}{3}\sqrt{3} )^2} \\ & = \sqrt{2^2 – \frac{4}{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak PFH dan QBD merupakan $ \frac{2}{3}\sqrt{6} \, $ cm.

5). Sebuah limas T.ABCD dimana semua panjang rusuknya sama ialah 8 cm. Titik P, Q, R, dan S masing-masing terletak ditengah-tengah AB, CD, TD, dan TA. Tentukan jarak PQRS dan TBC!
Penyelesaian :

*). Buat bidang yang tegak lurus PQRS dan TBC ialah bidang TUV.
*). TUV memotong PQRS dan TBC di OK dan TV, sesampai lalu jaraknya merupakan OK ke TV.
*). Kita pilih titik O pada OK, sesampai lalu jaraknya merupakan O ke TV ialah panjang ON. Untuk memudahkan perhitungan ON, kita fokus pada segitiga TOV.
*). Menentukan panjang sisi-sisi TOV :
$ OV = \frac{1}{2}AB = 4 \, $ cm
Pada segitiga TOB :
$ TO = \sqrt{TB^2 – OB^2} = \sqrt{8^2 – (4\sqrt{2})^2} = 4\sqrt{2} \, $ cm
Pada segitiga TVC :
$ TV = \sqrt{TC^2 – CV^2} = \sqrt{8^2 – 4^2} = 4\sqrt{3} \, $ cm
*). Konsep luas segitiga TOV :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.TO.OV & = \frac{1}{2}.TV.ON \\ TO.OV & = TV.ON \\ 4\sqrt{2} . 4 & = 4\sqrt{3}.ON \\ ON & = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3}\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak PQRS dan TBC merupakan $ \frac{4}{3}\sqrt{6} \, $ cm.

Baca Juga:   Konsep Jarak Pada Dimensi Tiga Atau Berdiri Ruang

6). Pada Kubus ABCD.EFGH yang terdapat panjang rusuk 4 cm. Terdapat titik P dan Q masing-masing di tengah-tengah EF dan EH. Tentukan jarak APQ dan BCGF!
Penyelesaian :

*). Perhatikan gambar teladan 6 di atas, bidang APQ dan BCGF tak sejajar sesampai lalu apabila kedua bidang diperluas maka akan berpotongan. Disini kita akan mencari jarak terdekat antara segmen bidang APQ dan BCGF yang tampak pada kubus ABCD.EFGH tanpa adanya perluasan. Jarak terdekat akan kita peroleh dari titik P ke garis FB ialah jarak antara P ke F sebesar 2 cm.
Jadi, jarak APQ dan BCGF merupakan 2 cm.

       Demikian pembahasan bahan Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan dimensi tiga ialah “Sudut antara Dua Garis pada Dimensi Tiga“.