Jarak Dua Garis Pada Dimensi Tiga

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas bahan Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga. Sebelumnya juga telah kita bahas jarak pada dimensi tiga adalah jarak dua titik dan jarak titik ke garis pada artikel “Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang“, serta “jarak titik ke bidang pada dimensi tiga“. Sebagai kelanjutannya, kita bahas Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga yang tentu akan lebih sulit dalam penghitungannya dibandingkan dengan konsep jarak sebelumnya. Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga yang kita bahas merupakan jarak antara dua garis yang tak berpotongan, lantaran apabila kedua garis tersebut berpotongan, maka sudah sanggup kita pastikan jaraknya nol.

         Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga akan kita bagi menjadi tiga bab adalah jarak antara dua garis yang sejajar, jarak antara dua garis yang bersilangan tegak lurus, dan jarak antara dua garis yang bersilangan namun tak tegak lurus. Untuk memudahkan mempelajri bahan Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga ini, teman-teman harus menguasai terlebih dahulu konsep jarak titik ke titik, konsep jarak titik ke garis, dan konsep jarak titik ke bidang.

Jarak Dua garis Sejajar pada Dimensi Tiga
Perhatikan gambaran gambar berikut,

garis $ g $ sejajar garis $ l $.

Langkah-langkah memilih jarak kedua garis $ g $ dan $ l $ adalah :
1). Buat bidang W yang tegak lurus terhadap kedua garis,
2). Tentukan titik potong bidang terhadap kedua garis, misalkan berpotongan di P dan Q
3). Jarak $ g $ ke $ l $ = jarak titik P ke Q.

Contoh soal Jarak Dua Garis Sejajar pada Dimensi Tiga:

1). Pada kubus ABCD.EFGH terdapat panjang rusuk 4 cm. Tentukan :
a). Jarak BC dan AD,
b). Jarak BC dan EH,
c). Jarak BG dan AH.
Penyelesaian :
a). Jarak BC dan AD,

*). Kita pilih bidang yang memotong BC dan AD tegak lurus kedua garis tersebut adalah bidang ABFE. Bidang ABFE memotong BC dan AD di A dan B, sesampai kemudian jaraknya merupakan AB adalah 4 cm.
Jadi, jarak BC dan AD merupakan 4 cm.

b). Jarak BC dan EH,

*). Kita pilih bidang yang memotong BC dan EH tegak lurus kedua garis tersebut adalah bidang ABFE. Bidang ABFE memotong BC dan EH di B dan E, sesampai kemudian jaraknya merupakan BE adalah $ 4\sqrt{2} \, $ cm.
Jadi, jarak BC dan EH merupakan $ 4\sqrt{2} \, $ cm.

Baca Juga:   Rumus Umum Banyak Bidang Diagonal Limas

c). Jarak BG dan AH.

*). Kita pilih bidang yang memotong BG dan AH tegak lurus kedua garis tersebut adalah bidang CDEF. Bidang CDEF memotong BG dan AH di P dan Q, sesampai kemudian jaraknya merupakan PQ = AB adalah 4 cm.
Jadi, jarak BG dan AH merupakan 4 cm.

Catatan :
Sebenarnya kita tak harus membuat bidang untuk memilih jarak kedua garis tersebut, namun kita juga cukup membuat sebuah garis bantu yang tentu tegak lurus dengan kedua garis yang ingin kita cari jaraknya.

2). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika titik P merupakan titik perpotongan diagonal bantalan dan titik Q merupakan titik perpotongan diagonal tutup, maka tentukan jarak PE dan CQ!
Penyelesaian :
*). Perhatikan Ilustrasi gambar berikut.

*). Kita buat garis adalah garis AG yang tegak lurus dengan garis PE dan CQ dimana garis AG memotong kedua garis tersebut di titik M dan N. Ini artinya jarak PE dan CQ sama dengan jarak M ke N.
*). Perhatikan garis AG yang merupakan diagonal ruang, titik M dan N membagi garis AG menjadi 3 bab sama panjang sesampai kemudian jarak MN merupakan
Panjang MN $ = \frac{1}{3} AG = \frac{1}{3} \times 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $ .
Jadi, jarak PE dan CQ merupakan $ 2\sqrt{3} \, $ cm.

Jarak Dua garis Bersilangan Tegak Lurus pada Dimensi Tiga
Perhatikan gambaran gambar berikut,

garis $ g $ dan garis $ l $ bersilangan tegak lurus.

Langkah-langkah memilih jarak kedua garis $ g $ dan $ l $ adalah :
1). Buat bidang W melalui garis $ g $ dan tegak lurus garis $ l $,
2). Misalkan bidang W memotong garis $ l $ di titik P,
3). Jarak $ g $ ke $ l $ = jarak titik P ke garis $ g $.

Catatan :
Untuk memudahkan dalam memilih apakah kedua garis bersialngan tegak lurus atau tak, sebaiknya teman-teman menguasa terlebih dahulu bahan “sudut antara dua garis pada dimensi tiga”, lantaran pada artikel ini tak akan kita terangkan lagi mengapa kedua garis tegak lurus atau tak.

Contoh soal Jarak Dua Garis Bersilangan Tegak Lurus pada Dimensi Tiga:

3). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, tentukan jarak AB dan CF!
Penyelesaian :

*). Garis AB dan CF bersilangan tegak lurus. Kita pilih bidang melalui CF dan tegak lurus AB adalah bidang BCGF yang memotong AB di B. Sesampai kemudian jarak AB ke CF sama saja dengan jarak titik B ke CF.
*). Dari gambar, jarak B ke CF sama dengan setengah dari diagonal BG, sesampai kemudian
jarak B ke CF $ = \frac{1}{2}BG = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} $
Jadi, jarak AB dan CF merupakan $ 3\sqrt{2} \, $ cm.

Baca Juga:   Jarak Garis Dan Bidang Pada Dimensi Tiga

4). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, tentukan jarak BG dan DE!
Penyelesaian :

*). Garis BG dan DE bersilangan tegak lurus. Kita pilih bidang melalui BG dan tegak lurus DE adalah bidang BGHA yang memotong DE di Q. Sesampai kemudian jarak BG ke DE sama saja dengan jarak titik P ke BG yang sama juga dengan jarak A ke B lantaran garis AH sejajar BG.
Jarak P ke BG = panjang AB = 6 cm.
Jadi, jarak BG dan DE merupakan 6 cm.

5). Sebuah kubus ABCD.EFGH terdapat panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak BG dan CE!
Penyelesaian :

*). Garis BG tegak lurus dengan garis CE. Kita pilih bidang melalui BG dan tegak lurus CE adalah bidang BDG yang memotong CE di titik P. Sesampai kemudian jarak BG ke CE sama saja dengan jarak titik P ke BG atau panjang PQ.
*). Perhatikan $\Delta GNC $ , panjang GN :
$ GN = \sqrt{CN^2 + CG^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 12^2} = 6\sqrt{6} $
*). Perhatikan $ \Delta GNC $ , luasnya :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.NC. CG & = \frac{1}{2}. GN . PC \\ NC. CG & = GN . PC \\ 6\sqrt{2}. 12 & = 6\sqrt{6} . PC \\ PC & = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = 4\sqrt{3} \end{align} $
*). Perhatikan $ \Delta GPC $ :
$ GP = \sqrt{CG^2 – PC^2} = \sqrt{ 12^2 – (4\sqrt{3})^2} = 4\sqrt{6} $
*). Perhatikan $ \Delta GNB $ :
$ \Delta GPQ $ sebangun dengan $ \Delta GNB $, sesampai kemudian perbandingan sisi yang bersesuaian sama adalah :
$ \begin{align} \frac{PQ}{NB} & = \frac{GP}{GB} \\ \frac{PQ}{6\sqrt{2}} & = \frac{4\sqrt{6}}{12\sqrt{2}} \, \, \, \, \, \, \text{(simpelkan)} \\ \frac{PQ}{1} & = \frac{4\sqrt{6}}{2} \\ PQ & = 2\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak BG dan CE merupakan $ 2\sqrt{6} \, $ cm.

Contoh soal Jarak Dua Garis Bersilangan tak Tegak Lurus pada Dimensi Tiga:

6). Pada kubus ABCD.EFGH yang terdapat panjang rusuk 6 cm, tentukanlah jarak CH dan BD!
Penyelesaian :

*). Garis CH dan BD bersilangan tak tegak lurus. Kita buat bidang melalui CH dan sejajar BD adalah bidang CFH, sesampai kemudian jarak yang kita hitung sama saja dengan jarak garis BD ke bidang CFH. Untuk memudahkan, kita pilih titik P di tengah-tengah BD, sesampai kemudian jaraknya sama dengan jarak P ke bidang CFH. Kita buat bidang melalui titik P dan tegak lurus bidang CFH adalah biang ACGE yang berpotongan dengan bidang CFH di garis CM, sesampai kemudian jaraknya kini sama dengan jarak P ke garis CM adalah panjang PQ.
*). Untuk memudahkan menghitung jarak P ke CM, kita hubungakan titik P ke M dan ke C sesampai kemudian terbentuk segitiga CPM yang siku-siku di P.
*). Perhatikan $ \Delta CGM $,
$ CM = \sqrt{GC^2 + GM^2} = \sqrt{6^2 + (3\sqrt{2})^2} = 3\sqrt{6} $
Panjang $ PC = \frac{1}{2}AC = 3\sqrt{2} \, $ dan PM = 6 .
*). Perhatikan segitiga CPM, dengan konsep luas $ \Delta CPM $ :
$ \begin{align} \frac{1}{2}. PC. PM & = \frac{1}{2}. CM. PQ \\ PC. PM & = CM. PQ \\ 3\sqrt{2}. 6 & = 3\sqrt{6}. PQ \, \, \, \, \, \, \text{(simpelkan)} \\ 6 & = \sqrt{3}. PQ \\ PQ & = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak CH dan BD merupakan $ 2\sqrt{3} \, $ cm.

Catatan :
Perhatikan pola soal nomor 5 dan 6 di atas, kesulitan utamanya merupakan memilih bidang yang dimaksud sesampai kemudian membutuhkan imajinasi yang tinggi untuk sanggup menjawab soal-soal ini. Nah, sebagai alternatif penyelesaian lainnya, kami menyaapabilan penyelesaian jarak antara dua garis memakai konsep vektor yang berdasarkan kami lebih gampang dalam mengerjakannya soal-soalnya bahkan untuk bermacam variasi soal lainnya yang lebih sulti. Silahkan baca artikelnya pada “Aplikasi vektor : Jarak dua garis“.

       Demikian pembahasan bahan Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan dimensi tiga adalah “jarak garis dan bidang pada dimensi tiga“.