Jarak Dua Titik Dan Titik Ke Garis

Posted on

         Pondok Soal.com Jarak dua titik dan titik ke garis merupakan salah satu bahan yang cukup penting, biasanya digunakan salah satunya pada bahan persamaan lingkaran. Pada artikel ini, kita akan mempelajari jarak antara dua titik, jarak sebuah titik ke garis, dan menentukan titik tengah apabila diketahui dua titik.

         Jarak dua titik dan titik ke garis ada kaitannya dengan persamaan garis lurus, khususnya bahan jarak titik ke garis. Garis yang digunakan merupakan dalam bentuk persamaan garis lurus ialah $ ax + by + c = 0 \, $ . Untuk konsep jarak yang digunakan merupakan jarak terdekat baik dua titik inginpun titik ke garis.

Jarak dua titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$)
       Untuk memilih jarak titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$), kita misalkan jaraknya sebagai mutlak dari AB. Sesampai lalu rumus jaraknya :
$\begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(\text{selisih } x)^2 + (\text{selisih } y)^2} \\ |AB| & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ & \text{ atau } \\ |AB| & = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \end{align} $

Contoh :
Tentukan jarak titik A(2,1) ke titik B(-3,4) !
Penyelesaian :
*). Menetukan jarak A ke B ($|AB|$) :
$\begin{align} |AB| & = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \\ & = \sqrt{(2-(-3))^2 + (4-1)^2} \\ & = \sqrt{(5)^2 + (3)^2} \\ & = \sqrt{25 + 9} \\ & = \sqrt{34} \end{align} $
Jadi, jarak kedua titik merupakan $ \sqrt{34} $ .

Jarak titik A($x_1,y_1$) ke garis $ ax+by+c=0 $
       Perhatiakan gambar dibawah ini. Terlihat bahwa jarak titik A ke garis merupakan jarak terdekatnya yang dicapai pada ketika garis AD tegak lurus dengan garis $ ax+by+c=0 . \, $ Jarak titik A ke garis $ ax+by=0 $ sama dengan jarak A ke titik D, hanya saja sulit untuk mencari titik D pada garis $ ax+by+c=0 $ . Tapi jangan khawatir saja, kita pribadi sanggup memakai rumus jarak titik ke garis tanpa harus mencari titik D.

Rumus jarak titik A($x_1,y_1$) ke garis $ ax+by+c=0 $ :
$\begin{align} \text{jarak } & = \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \end{align} $

Baca Juga:   Persamaan Lingkaran

Contoh :
Tentukan jarak titik A(3,5) ke garis $ -3x – 4y = – 9 $ !
Penyelesaian :
*). Persamaan garis dirubah dalam bentuk $ ax+by+c=0 $
$ -3x – 4y = – 9 \rightarrow -3x – 4y + 9 = 0 $
*). Jarak A($x_1,y_1$) = (3,5) ke garis $ -3x – 4y + 9 = 0 $
$ \begin{align} \text{jarak } & = \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-3x – 4y + 9}{\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-3.3 – 4.5 + 9}{\sqrt{9 + 16}} \right| \\ & = \left| \frac{-20}{\sqrt{25} } \right| \\ & = \left| \frac{-20}{ 5 } \right| \\ & = \left| -4 \right| \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, jarak titik ke garisnya merupakan 4.

Menentukan titik tengah apabila diketahui dua titik
       Misalkan ada titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$) serta titik tengahnya C, kita akan memilih titik tengah ialah titik antara titik A dan titik B.

Cara memilih titik tengahnya C :
$\begin{align} \text{titik C } & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \end{align} $

Contoh :
Diketahui titik A(3,6) dan B(1, -2). Tentukan titik tengah antara titik A dan titik B!
Penyelesaian :
*). Menentukan titik tengahnya, misalkan titik C :
$\begin{align} \text{titik C } & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{3 + 1}{2} , \frac{6 + (-2)}{2} \right) \\ & = \left( \frac{4}{2} , \frac{4}{2} \right) \\ & = \left( 2,2 \right) \end{align} $
Jadi, titik tengahnya merupakan C(2,2).