Jarak Garis Dan Bidang Pada Dimensi Tiga

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas bahan Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga . Sebagaimana yang telah kita pelajari, konsep jarak pada dimensi tiga merupakan “jarak terpendek yang kita hitung antara garis dan bidang. Jarak terpendek akan kita peroleh salah satunya saat terbentuk bab yang tegak lurus. Sebelum mempelajari bahan Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga ini, kita juga telah membahas bahan jarak dua titik dan jarak titik ke garis pada artikel “Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang“, bahan “jarak titik dan bidang“, dan “jarak dua garis pada dimensi tiga“. Lalu bagaimana cara menghitung Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga? Tentu kita tak sanggup eksklusif menghitung jarak garis ke bidang, namun yang sanggup kita hitung merupakan jarak titik ke garis atau jarak dua garis atau jarak titik ke bidang, sesampai kemudian kita perlu menyederhanakan biar bentuknya ekuivalen dengan bentuk yang paling simpel. Jadi, untuk memudahkan mempelajari Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga, teman-teman harus menguasai dahulu konsep jarak-jarak sebelumnya pada dimensi tiga.

Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga
       Misalkan terdapat garis $ g $ dan bidang W yang tak berpotongan, perhatikan gambaran gambar di atas. Langkah-langkah Menentukan jarak garis $ g $ ke bidang W adalah :
1). Buat sebuah bidang V yang melalui garis $ g $ dan tegak lurus bidang W,
2). Tentukan perpotongan bidang V dan bidang W, misalkan keduanya berpotongan di sepanjang garis $ l $,
3). Jarak $ g $ ke bidang W = jarak $ g $ ke $ l $.

Ada dua cara untuk memilih jarak $ g $ dan $ l $ adalah :
Cara I :
i). Pilih sembarang satu titik P pada salah satu garis,
ii). Jarak $ g $ dan $ l $ merupakan jarak titik titik P ke garis yang tak memuat P.
Cara II :
a). buat bidang U yang tegak lurus garis $ g $ dan $ l$,
b). bidang U memotong garis $ g $ dan $ l $ masing-masing di titik P dan Q,
c). Jarak $ g $ ke $ l $ = jarak titik P ke titik Q.

Baca Juga:   Sudut Antara Dua Garis Pada Dimensi Tiga

Contoh soal Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga :

1). Pada kubus ABCD.EFGH terdapat panjang rusuk 5 cm. Tentukan jarak BC dan bidang ADHE!
Penyelesaian :

*). Kita buat bidang melalui BC dan tegak lurus ADHE adalah bidang ABCD dimana kedua bidang berpotongan di AD, sesampai kemudian jaraknya merupakan BC ke AD.
*). Buat bidang yang tegak lurus BC dan AD adalah bidang ABFE yang berpotongan dengan garis di A dan B, sesampai kemudian jaraknya merupakan A ke B adalah 5 cm.
Jadi, jarak BC dan bidang ADHE merupakan 5 cm.

2). Pada kubus ABCD.EFGH terdapat panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak AH dan bidang BCGF!
Penyelesaian :

*). Kita buat bidang melalui AH dan tegak lurus BCGF adalah bidang ABGH dimana kedua bidang berpotongan di BG, sesampai kemudian jaraknya merupakan AH ke BG.
*). Buat bidang yang tegak lurus AH dan BG adalah bidang CDEF yang berpotongan dengan garis di P dan Q, sesampai kemudian jaraknya merupakan P ke Q adalah 6 cm.
Jadi, jarak AH dan bidang BCGF merupakan 6 cm.

3). Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, titik P terletak di tengah-tengah BD. Tentukan jarak PG dan bidang AFH!
Penyelesaian :

*). Kita buat bidang melalui PG dan tegak lurus AFH adalah bidang ACGE dimana kedua bidang berpotongan di AQ, sesampai kemudian jaraknya merupakan PG ke AQ.
*). Kita pilih titik P pada garis PG, sesampai kemudian jaraknya merupakan dari titik P ke garis AQ adalah panjang PM.
*). Menentukan panjang sisi segitiga APQ :
$ AP = \frac{1}{2}. AC = 3\sqrt{2} \, $ cm
PQ = CG = 6 cm
$ AQ = \sqrt{AP^2+PQ^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 6^2} = 3\sqrt{6} \, $ cm.
*). Menentukan PM dengan Luas $ \Delta APQ $ :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.AP.PQ & = \frac{1}{2}. AQ.PM \\ AP.PQ & = AQ.PM \\ 3\sqrt{2} . 6 & = 3\sqrt{6}.PM \\ \sqrt{2} . 6 & = \sqrt{2} . \sqrt{3}.PM \\ PM & = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak PG dan AFH merupakan $ 2\sqrt{3} \, $ cm.

Baca Juga:   Konsep Jarak Pada Dimensi Tiga Atau Berdiri Ruang

4). Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, titik P, Q, dan M masing-masing terletak di tengah-tengah EF, GH, dan AB. Tentukan jarak MF dan bidang APQD!
Penyelesaian :

*). Kita buat bidang melalui MF dan tegak lurus APQD adalah bidang ABFE dimana kedua bidang berpotongan di AP, sesampai kemudian jaraknya merupakan MF ke AP.
*). Kita pilih titik M pada garis MF, sesampai kemudian jaraknya merupakan dari titik M ke garis AP adalah panjang MN.
*). Menentukan panjang sisi segitiga AMP :
$ AM = \frac{1}{2}. AB = 2 \, $ cm
MP = BF = 4 cm
$ AP = \sqrt{AM^2+MP^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5} \, $ cm.
*). Menentukan MN dengan Luas $ \Delta AMP $ :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.AM.MP & = \frac{1}{2}. AP.MN \\ AM.MP & = AP.MN \\ 2 . 4 & = 2\sqrt{5}.MN \\ MN & = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5}\sqrt{5} \end{align} $
Jadi, jarak MF dan APQD merupakan $ \frac{4}{5}\sqrt{5} \, $ cm.

5). Titik P terletak di tengah-tengah FG pada kubus ABCD.EFGH yang terdapat panjang rusuk 3 cm. Tentukan jarak BP dan bidang ADH!
Penyelesaian :

*). Buat bidang melalui BP dan tegak lurus bidang ADH adalah bidang ABPQ dimana kedua bidang hanya berpotongan di titik A, sesampai kemudian jaraknya merupakan dari titik A ke garis BP adalah AB.
Jadi, jarak BP dan ADH merupakan 3 cm.

6). Titik P dan M masing-masing terletak di tengah-tengah FG dan AD pada kubus ABCD.EFGH yang terdapat panjang rusuk 2 cm. Tentukan jarak BP dan bidang MDH!
Penyelesaian :

*). Buat bidang melalui BP dan tegak lurus bidang MDH adalah bidang ABPQ. Ternyata bidang MDH dan ABPQ tak berpotongan, sesampai kemudian jarak terdekatnya merupakan jarak BP dan MH.
*). Kita pilih titik M pada garis MH, sesampai kemudian jaraknya dari titik M ke garis BP adalah panjang MN. Untuk memilih panjang MN, kita harus fokus pada segitiga BPM.
*). Menentukan panjang sisi segitiganya :
$ \Delta ABM , \, BM = \sqrt{AB^2 + AM^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
$ \Delta BFP , \, BP = \sqrt{BF^2 + FP^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
$ \Delta MQP , \, MP = \sqrt{MQ^2 + QP^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} $
Misalkan panjang $ BN = x $ , maka $ PN = \sqrt{5} – x $
Misalkan $ MN = t $ (yang akan kita cari panjangnya).
*). Menentukan nilai $ x $ dengan pinjaman teorema Pythagoras pada segitiga BNM dan PNM untuk panjang $ t $ :
$ \begin{align} t^2 \, \text{ BNM } & = t^2 \, \text{ PNM } \\ BM^2 – BN^2 & = PM^2 – PN^2 \\ (\sqrt{5})^2 – x^2 & = (\sqrt{8})^2 – (\sqrt{5} – x)^2 \\ 5 – x^2 & = 8 – (5 – 2\sqrt{5}x + x^2) \\ 5 – x^2 & = 8 – 5 + 2\sqrt{5}x – x^2 \\ 2\sqrt{5}x & = 2 \\ x & = \frac{1}{\sqrt{5}} \end{align} $
*). Menentukan panjang MN ($t$) pada segitiga BNM :
$ \begin{align} t & = \sqrt{BM ^2 – BN^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt{5})^2 – x^2} \\ & = \sqrt{5 – \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)^2} \\ & = \sqrt{5 – \frac{1}{5} } = \sqrt{ \frac{24}{5} } \\ & = \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{5}\sqrt{30} \end{align} $
Jadi, jarak BP dan MDH merupakan $ \frac{2}{5}\sqrt{30} $ cm.

Baca Juga:   Sudut Antara Dua Bidang Pada Dimensi Tiga

       Demikian pembahasan bahan Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan dimensi tiga adalah “Jarak dua bidang pada dimensi tiga“.